Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Formes quadratiques Si l >0, la forme quadratique Q est de rang 4 et de signature (3;1) 5 1èresolution La matrice de la forme quadratique Qdans la base
TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS
La forme f n’a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par d e nition) Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ou 2 K n(K)2 En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg
Formes quadratiques Espaces euclidiens
D´efinition 2 1 Une application q : E −→ K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee : 1 il existe une forme bilin´eaire sym´etrique φ sur E ×E telle que ∀x ∈ E, q(x) = φ(x,x) 2 q est une application de E dans K s’exprimant comme un polynˆome de degr´e 2, homog`ene
Formes quadratiques - Espaces euclidiens Exercices
Universit´e de Rennes 1 Pr´eparation au CAPES de math´ematiques Formes quadratiques - Espaces euclidiens Exercices Exercice n 1 VRAI ou FAUX Soient K = R ou C, E un K-e v de dimension n et q,q0 deux formes quadratiques sur E Pour chacune des
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
3) On dit que q est une forme quadratique sur E si l’on a D(x, y, z) = 0 ∀(x, y, z), c’est-à-dire si B est une forme bilinéaire (nécessairement symétrique) B est dite associée à la forme q 4) Montrer que si K est de caractéristique ≠ 2, toute forme quadratique q admet une unique forme bilinéaire symétrique associée, B
Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ
servent à rØduire une forme quadratique à la forme diagonale par les di⁄Ørentes mØthodes, en montrant le lien spØci–que entre ce cours et le cours d™algŁbre 3 qui traite la diagonalisation des endomorphismes et
unicefr
Created Date: 12/6/2004 6:03:00 PM
Formes Hermitiennes - Espaces Hermitiens
FormesHermitiennes-EspacesHermitiens Proposition-Définition On suppose que Eest de dimension finie n2N Soient ’une forme hermitienne, qla forme quadratique hermitienne associée et e= (e
Corrig´e du devoir surveill´e n 1
Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin´eaire f : R3 ×R3 → R d´efinie par
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Ecole Normale Superieure 1ere annee
Ann ee 2015-2016 Algebre 1TD7 : formes quadratiques
Exercices?: a preparer a la maison avant le TD, seront corriges en debut de TD. Exercices??: seront traites en classe en priorite.Exercices? ? ?: plus diciles.
Exercice 1 :?
Decomposer sous forme de combinaison lineaire de carres les formes quadratiques reelles suivantes; en
deduire leur signature et leur rang. a)f(x;y;z) =x22y2+xz+yz. b)f(x;y;z) = 2x22y26z2+ 3xy4xz+ 7yz. c)f(x;y;z) = 3x2+ 3y2+ 3z22xy2xz2yz. d)f(x;y;z;t) =xy+yz+zt+tx: e)f(x1;:::;xn) =P1i f)f(A) = tr(A2), pourA2Mn(R). g)f(A) = tr(tAA), pourA2Mn(R). h)f(A) = tr(A)2, pourA2Mn(R). Solution de l'exercice1. On applique l'algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes
quadratiques. On obtient : a)f(x;y;z) =x+z2 22yz4
2z28 . Donc sign(f) = (1;2) et rang(f) = 3. b)f(x;y;z) = 2x+34 yz2258 y85 z2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. c)f(x;y;z) = 3x+y3 z3 2+83 yz2 22z2. Donc sign(f) = (2;1) et rang(f) = 3.
d)f(x;y;z) =14 (x+z+y+t)214 (x+zyt)2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. e) On peut par exemple remarquer que la matrice associee afdans la base canonique admet pour valeurs propres12 avec multipliciten1 (avec des vecteurs propres de la formeeie1, 2in, ou (ei) est la base canonique) etn12
avec mutiplicite 1 (utiliser la trace). Donc on en deduit que sign(f) = (1;n1) et rang(f) =n. f) La forme polaire defest la forme bilineaire symetrique (A;B)7!tr(AB). On remarque que la restriction defau sous-espaceSn(R) des matrices symetriques est denie positive, alors que la restriction defau sous-espaceAn(R) des matrices antisymetriques est denie negative. En outre, ces deux sous-espaces sont en somme directe et engendreMn(R), et ils sont orthogonaux pourq. Cela assure que sign(q) = (dim(Sn(R));dim(An(R))) =n(n+1)2 ;n(n1)2 et rang(f) = n 2. On peut aussi trouver directement la decomposition en carres en remarquant que siA=
(ai;j), on a f(A) =X i;ja i;jaj;i=X ia 2i;i+ 2X
i2i;i+12
X iSolution de l'exercice1. On applique l'algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes
quadratiques. On obtient : a)f(x;y;z) =x+z2 22yz42z28 . Donc sign(f) = (1;2) et rang(f) = 3. b)f(x;y;z) = 2x+34 yz2258 y85 z2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. c)f(x;y;z) = 3x+y3 z3 2+83 yz2
22z2. Donc sign(f) = (2;1) et rang(f) = 3.
d)f(x;y;z) =14 (x+z+y+t)214 (x+zyt)2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. e) On peut par exemple remarquer que la matrice associee afdans la base canonique admet pour valeurs propres12 avec multipliciten1 (avec des vecteurs propres de la formeeie1,2in, ou (ei) est la base canonique) etn12
avec mutiplicite 1 (utiliser la trace). Donc on en deduit que sign(f) = (1;n1) et rang(f) =n. f) La forme polaire defest la forme bilineaire symetrique (A;B)7!tr(AB). On remarque que la restriction defau sous-espaceSn(R) des matrices symetriques est denie positive, alors que la restriction defau sous-espaceAn(R) des matrices antisymetriques est denie negative. En outre, ces deux sous-espaces sont en somme directe et engendreMn(R), et ils sont orthogonaux pourq. Cela assure que sign(q) = (dim(Sn(R));dim(An(R))) =n(n+1)2 ;n(n1)2 et rang(f) = n2. On peut aussi trouver directement la decomposition en carres en remarquant que siA=
(ai;j), on a f(A) =X i;ja i;jaj;i=X ia2i;i+ 2X
iB(P;Q) =Z
1 0 tP(t)Q0(t)dtetf(P) =B(P;P): a) Montrer queBest une forme bilineaire. Est-elle symetrique? Antisymetrique? b) La formefa-t-elle des vecteurs isotropes non nuls? c) Calculer la matrice defdans la base (1;X;:::;Xn). d) Pourn= 2, determiner la signature def. La formefest-elle positive? Negative?Solution de l'exercice2.
a) La linearite de l'integrale assure queBest bilineaire. On aB(1;X) = 1=2 etB(X;1) = 0 et doncBn'est ni symetrique ni antisymetrique. b) On af(1) = 0 et donc 12Rn[X] est un vecteur isotrope. c) Notons que la forme polaire defn'est pasBmais sa symetrisee, a savoir B s(P;Q) :=12 (B(P;Q) +B(Q;P)): Un petit calcul assure que la matrice def(i.e. deBs) dans la base indiquee estMn=i+j22(i+j1)1i;jn.
d) La signature est (1;2).Exercice 3 :?
SoitKun corps de caracteristique dierente de 2. SoitPunK-espace vectoriel de dimension 2, muni d'une forme quadratiquef. Quelles sont valeurs possibles pour le nombre de droites isotropes def?Donner un exemple dans chaque cas.
Solution de l'exercice3.
| La formefn'a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par denition). Or il existe une forme quadratique anisotrope surPsi et seulement si le corpsKn'est pas quadratiquement clos : il sut de considerer la formef(x;y) =x2y2surK2, ou2 K n(K)2. En particulier, ce cas n'arrive pas sur un corps algebriquement clos. | La formefa une unique droite isotrope si et seulement si rang(f) = 1. Ceci arrive sur tout corpsK, il sut de considerer par exemple la forme quadratiquef(x;y) =x2surK2(la seule droite isotrope est la droite d'equationx= 0). | La formefa exactement deux droites isotropes si et seulement si elle est hyperbolique, i.e. non degeneree et admettant un vecteur isotrope. Une telle forme existe sur tout corpsK, comme le montre l'exemplef(x;y) =x2y2surK2(droites isotropes d'equationsx+y= 0 etxy= 0). | Supposons que la formefait au moins 3 droites isotropes. Notons alorsv1;v2;v3trois vecteurs isotropes deux-a-deux non proportionnels. Puisque (v1;v2) est une base deP, il existe;2K tels quev3=v1+v2. On applique la formef, et si on notebla forme polaire def, on obtient0 =f(v3) =f(v1+v2) =2f(v1) +2f(v2) + 2b(v1;v2) = 2b(v1;v2):
Doncb(v1;v2)6= 0, donc la matrice defdans la base (v1;v2) est la matrice nulle (c'est une base orthogonale formee de vecteurs isotropes), doncf= 0. Finalement, une forme quadratique sur un plan vectoriel admet soit aucune droite isotrope, soit unedroite isotrope, soit deux droites isotropes, soit toutes les droites dePsont isotropes. Tous ces cas
arrivent sur tout corpsK, sauf le premier (aucune droite isotrope) qui existe si et seulement siKn'est
pas quadratiquement clos.Exercice 4 :??
SoitKun corps de caracteristique dierente de 2 et soitEunK-espace vectoriel de dimension nie. Soientfetf0des formes quadratiques surEveriantf1(0) = (f0)1(0). 2 a) SupposonsKalgebriquement clos. Montrer qu'il existea2Ktel que l'on aitf0=af. b) Donner un contre-exemple pourK=RetE=R2.Solution de l'exercice4.
a) Soientbetb0les formes bilineaires respectives defetf0. Sifest totalement isotrope, le resultat est clair. Supposons que ce ne soit pas le cas : il existex2Eavecf(x)6= 0. Posons a=f0(x)f(x)12K. Soity2E. Les polyn^omesaf(y+x) etf0(y+x) deK[] sont de degre 2, ont m^emes racines par hypothese, et ils ont m^eme coecient dominantf0(x) : ils sont donc egaux puisqueKest algebriquement clos. En particulier, on af0(y) =af(y). Donc f 0=af. b) Il sut de considerer les formes quadratiquesx2+y2etx2+ 2y2.Cet exercice est un cas tres particulier du theoreme des zeros de Hilbert (le Nullstellensatz de Hilbert) :
soitKun corps algebriquement clos,IK[X1;:::;Xn] un ideal et notonsZ(I) l'ensemble des zeros communs a tous les polyn^omes deI. Sifest un polyn^ome qui s'annule surZ(I), alors il existen2N tel quefn2I.