cours FORME QUADRATIQUE - WordPresscom
La matrice de la forme quadratique q s’écrit alors 1,2 1, 1,1 1,2 2,2, 1, 1, 1,; 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n a a a a a a a a a--æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ Ł ł L L M O M O Exemple : Soit l’applicationq définie sur ¡3 par :q x y z x z xy yz(, , 2 2 4) = + + +2 2 On reconnaît la forme
Formes quadratiques r eelles Exemples et applications
{Le produit scalaire dans un espace euclidien a pour forme quadratique associ ee : jj:jj2 {Si q: M n(R) R A 7 tr(tAA) alors la forme polaire associ ee a cette forme quadratique est ’(A;B) = tr(tAB) {Pour une variable al eatoire X admettant un moment d’ordre 2, var(X) est une forme quadratique de forme polaire cov(X,Y)
VI Formes quadratiques, coniques
est une forme quadratique (Relativit e restreinte) : L’espace-temps de Minkowski R4 est muni d’une forme bilin eaire sym etrique, dont la forme quadratique associ ee est la forme de Lorentz : q(x;y;z;t) = x2 + y2 + z2 c2t2; ou c est la vitesse de la lumi ere dans le vide Mathmatiques 3, 2015 VI Formes quadratiques, coniques 8 / 75
TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS
La forme f n’a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par d e nition) Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ou 2 K n(K)2 En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques
respond la forme quadratique $ X" $2= X " X" qui est la norme carr´ee (la longueur carr´ee) du vecteur X" Demˆeme, b a f2(x)dx est une norme carr´ee pour les fonctions (de carr´e int´egrable) sur (a,b) Th´eor`eme de Pythagore Soitf une forme bilin´eaire sym´etrique, Q la forme quadratique associ´ee, on a pour toute paire de vecteurs
UFR MATH EMATIQUES - univ-rennes1fr
D e nition 17 { On dit qu’une forme quadratique qest d e nie si on a, pour tout x2E, (x6= 0 = )q(x) 6= 0) Proposition 18 { Si qest une forme quadratique d e nie, alors sa forme bilin eaire associ ee est non d eg en er ee D emonstration : montrons la contrapos ee Soit ’une forme bilin eaire d eg en er ee, alors il
Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ
servent à rØduire une forme quadratique à la forme diagonale par les di⁄Ørentes mØthodes, en montrant le lien spØci–que entre ce cours et le cours d™algŁbre 3 qui traite la diagonalisation des endomorphismes et de la prØsenter aux Øtudiants de la deuxiŁme annØe L M D MathØ-matiques dans un cours plus simple et comprØhensible
Coniques, quadriques et formes quadratiques
X+ Y en mettant sous forme canonique les poly-nômesaX 2+ Xet Y + Y 12 ATTENTION : l’équation que l’on obtient àl’issue decette dernière réduction res
[PDF] forme quadratique exercice corrigé
[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive
[PDF] forme quadratique matrice
[PDF] montrer que q est une forme quadratique
[PDF] dessin industriel cours pdf
[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corrigés
[PDF] bases du dessin technique pdf
[PDF] dessin technique
[PDF] cours et exercices avec solutions
[PDF] dessin technique exercices corrigés pdf
[PDF] cours de dessin technique mécanique pdf
[PDF] cours d'échographie gratuit
[PDF] manuel d'échographie
[PDF] cours echographie abdominale pdf
Chapitre5.Matricessym´e trique setformesquadratiques.67 Chapitre5.Formesquadr atique setmatricessym´et riques. 1.For mesbilin´eaires ,formesquadratiques
1.1.Forme sbilin´eaireset quadratiques
Onad ´ej `arencontr´elanot iondeformemultilin´eaire(Chap.2).Su runesp acevectorie l E,onappelleformebilin´eair er´eelleuneapplicat ionquifai tcorrespondre`atoutepairede vecteursX,Y!Eunno mbrer´eelf(X,Y),ce tteapplicati on´etantlin´eaireenXetenY, donc f(! 1 X 1 2 X 2 ,Y)=! 1 f(X 1 ,Y)+! 2 f(X 2 ,Y) f(X,µ 1 Y 1 2 Y 2 1 f(X,Y 1 2 f(X,Y 2 ).(1.1) Lafo rmebilin´eaireestd itesym´etriquesif(X,Y)=f(Y,X).Exemples.Leproduitscalaire
X.Ydansl'es paceeuclidienR
n estun eformebil in´eaire sym´etrique.Lacomposantesurunaxed onn ´eduproduitvectoriel X"Ydansl'es pace
R 3 estun eformebil in´eaire,maispassy m´etrique(elleestenfaitantisy m´etrique!).Sig ethsontdeuxfon ctionsd'un evariabler´eelle,int´egrabl essuruni nte rvalle(a,b),f(g,h)= b a g(x)h(x)dxestun eformebil in´eairesym´etriq ueengeth. Lepr emierexemplesugg`ere lad´efinitionsuiva nte:Etantdonn´ee uneformebilin´eaire
Etantdonn´ee laformebilin´eairef(X,Y),on luiass ocieuneformequadrat iqueparQ(X)=f(X,X).(1.2)
Biensˆur, cetteformequadra tiquen'estpaslin ´eaire:Q(!X)=! 2Q(X).In versement
pourtoutef ormequadratique Q,onpeutconstruireuneformebilin´eairesym´etriquef bilin´earit´e etsio nfa itl'hy poth`esequefestsym ´etrique,f(X,Y)= 1 2 (f(X+Y,X+Y)#f(X,X)# f(Y,Y))= 1 2 (Q(X+Y)#Q(X)#Q(Y)).J.-B.Z.7Mars2013
68M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
n cor- respondlaformequadrati que$ X$ 2 X. Xquiestl anormeca rr´ee( lalongueurcarr´ ee) duve cteurX.Demˆeme,
b a f 2 (x)dxestun enormecar r´eepourlesfonctio ns(decarr´e int´egrable)sur(a,b). Th´eor`emedePythagore.Soitfunefo rmebilin´eairesy m´etrique,Qlafo rme quadratiqueassoci´ee,onapourt outepairedevecteursorthogonaux %X,Y:f(X,Y)=0=&Q(X+Y)=Q(X)+Q(Y),(1.4) quid´ec oulede(1.3).1.2.Forme sd´efiniespositi ves
Ondi tquelafor mequadrat iqueQestd´efiniepositivesi %X'=0!EQ(X)>0,(1.5) etdo ncQ(X)=0sietseulementsiX=0.Laformeestsemi-d´efiniepositivesil' in´egalit´e n'estpasstrict e:%X'=0!EQ(X)(0,el leestind´efiniesiQ(X)peutprendreun signeoul'autr eselonla valeurdeX.Parabusdelangageonditd'uneformebilin´eairequ'elleestd´efiniep ositive,s emi-d´efiniepositive, etc,sila formeq uadratiqueassoci´ee l'est.
n estd´ efinipositif,Q( X) d´efinissantlanormecarr´ee,c' est-`a -direlalongueur carr´eeduvecteu rX.Aucontraire,
dansl'es pace-tempsdelaRelativit´erestreinte(espa ced eMinkowski),laformequadratiqueQ(X)=c
2 t 2 #x 2 1 #x 2 2 #x 2 3 estin d´efinie:lesquadrivecteursde" genr etemps" ontune normecarr´ee positive,ceuxde"genreespa ce"unenormecarr´een´egat ive,ceuxde"genre lumi`ere"unenormenulle.Dan sl'espaceR 2 ,laformequadratiqueQ(X)=x 1 x 2 est ind´efinieetlaformeQ (X)=(x 1 #x 2 2 estsemi -d´efiniepositive,pourquoi? Sila formes ym´etriquefestd ´efiniepositive,pourto utepaireX,Ydeve cteursnon colin´eairesettoutr´eel!,levecteur!X+Yn'estpasnul,donc Q(!X+Y)>0est strictementpositif.OrQ(!X+Y)=!
2Q(X)+2!f(X,Y)+Q(Y).
estun trinˆ omeduseconddegr´een!,etlefaitqu'ilesttoujoursstrictementpositifimplique quesond iscrimina ntestn´egatif,donc =f(X,Y) 2 #Q(X)Q(Y)<07Mars2013J.-B.Z.
Chapitre5.Matricessym´e trique setformesquadratiques.69Enre vanchesiXetYsontcolin´ea ires,ilexisteun!
0 telque! 0X+Y=0,etalors
Q(!X+Y)(0s'annuleen!
0 maisnechan gepasd esigne,sondiscrimin antestnul .On obtientainsil'in´egalit´edeSchwarz |f(X,Y)|)(Q(X)Q(Y)) 1 2 ,(1.6) avec´egali t´esietseulementsiXetYsontcolin´ea ires. 3 ,cettein´egalit´enousditque X. Y|)$ X$$ Y$ ouen core,sionserappellel aformul ede trigonom´ etriecos#= X. Y X"" Y" ,que|cos#|)1, avec´egali t´essi#=0ou$donc Xet Ycolin´eaires.Plusg´en´eralement,po urtouteform ebilin´eaired´efiniepositive,l'in´ egalit´edeSchwarz (1.6)nous permetded´e finir(ausignepr`es
et`a 2$pr`es)l'angle#entredeuxvecteurs XetYparcos#=f(X,Y)/(Q(X)Q(Y)) 1 21.3.Repr´ esentationsmatricielles
Supposonsquel'onachoi siunebase e
i dansl'es paceE.Danscettebase,on´ecritles vecteursX= i x i e i etY= i y i e i ,donclaformebilin´eaire f(X,Y)= ij x i y j f(e i ,e j ij x i b ij y j o`ulama triceBdela formebi lin´eaire(danslaba sechoisiee i )estd´efiniepar B=(b ij )b ij =f(e i ,e j ).(1.7)Cettematrice estsym´etrique,b
ij =b ji notationXetYpourlesma tricescol onnesdescomposantesdeXetY,onvoitquel'on peut´ecrir e f(X,Y)=X T BY.Supposonsmaintenantq uel'one
ectueunchangeme ntde basee i *e j i e i a ij (cfChap 1,(2.4)).Commeo nl'avu auchapitre1, lescomposantesXetX d'un vecteurdonn´edansl' ancienneetlanouvel lebasesontre li´ees par X=AX (Chap1, (2.5)).Parcons ´equentla formebilin´eaires'exprimemaintenantselonf(X,Y)=X T BY= X !T A T BAY donc`al' aidedela matriceB =A TBA(etnonp asselonA
#1BAcomme
pouruneapp licationl in´eaire,compareravecChap1,(4.4) !)J.-B.Z.7Mars2013
70M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
2.R ´eductiond'uneformequadratiqu e
Danstoute cettesectionons upposeraquelesf ormesbilin´eairesetlesmatr icesass oci´ees sontsym´etri ques.2.1.Vect eursorthogonaux,vecteursorthon orm´es
D´efinition:Sifestun eformebil in´eairesym´etriqu ed´efiniepositive,onditquedes vecteursX 1 ,···,X k sontorthonorm´es(pourlaforme f)si f(X i ,X j ij autrementditsicesvecteurs sontdeux` adeuxor thogonaux:f(X i ,X j )=0siX i '=X j ets'i lssontnorm´esQ(X i )=1.Lemme1:Sile svecteurs X
1 ,···,X k sontorthon orm´es(pourlaformef),il ssont Lapr euve(´el´ementaire! )estlaiss´eeenexercice.2.2.Proc ´ed´ed'orthonormalisationdeSchmidt
Soitfunefo rmebilin´eairesy m´etriqued´efiniepositive.Th´eor`eme1:
Apartirdetoutsyst`emedekvecteurslin´eairementi nd´ependants X 1 ,···,X k X 1 X k ,combi- naisonslin´eaire sdesX 1 ,···,X k Preuveparr´ecurre ncesurk.Pourk=1,ondisposed'unvecteurX 1 nonnul,d oncdenorme nonnull e.Levecteur X 1 =X 1 /Q(X 1 1 2 estbienn orm´e.Supposo nsalorslapropri´et´e vraiepourtout syst`emedek!1ve cteurs,etconsid´eronslesy st`em edekvecteurslin´eairementin d´ependantsX 1 ,···,X kLeso us-syst`emeX
1 ,···,X k#1 remplitlaconditiond er´ec urrence,onpeutdoncconstruireun syst`emede k!1ve cteursorthonorm´es X 1 X k#1 ,c ombinaisonslin´eairesdesX 1 ,···,X k#1 .Lek-i`emevecteur X k estind´ ependantdeX 1 ,···,X k#1 doncauss ide X 1 X k#1 .Ch erchonsunY=X k k#1 i=1 i X i orthogonal`a X 1 X k#1 :en prenan tleproduitscalairepa rfentrecetYetlesa utres:f(Y, X i f(X k X i i ,on d´ete rmine! i =!f(X k X i ).Fi nalementcevecteurY´eta ntn onn ul( san squ oi X k nesera itpaslin´eaireme ntind´ep endantdes X 1 X k#1 ),ils u tde lenorme rpouro btenir X kY/f(Y,Y)
1 2 ettermi nerlapreuveparr´ecurren ce. Ceth ´eor`emeacommecorollairequel' onp euttoujourstrou verune baseortho normale dansl'es pacevectorielE. Biencompre ndrequeceth´eor`eme,sousl'hypot h`ese del'existenced'uneformebilin´eaired´efiniepositive,nousram `enesurleterrainb ienconn udelag´eom´etrie euclidien ne.
Danslabase orthon orm´ee,lafo rmebilin´eaireprendl'allurefam ili`ereduproduitscalaire7Mars2013J.-B.Z.
Chapitre5.Matricessym´e trique setformesquadratiques.71 "encoord onn´eesrectangulaires",f(X,Y)= i x i y i ,etlanormecarr´eeQ(X)= i x 2 i Unes pacevectorieldot´e d'uneformebilin´eaired´ efiniepositiveestappel´eespaceeuclidien. Exemple.Co nsid´eronsl'espaceEdespoly nˆomesdedegr´e"ndanslavariabl exetd´ efinissonsla formebilin´ea iref(p,q)= 1 #1 p(x)q(x)dx.Ce tteformeest´evid emmentsym´e triqueetd´ efiniepositive. A partirdelabasena turelle {1,x,x 2 ,···x n }del' espaceE,on peut,g rˆaceauproc´ed´e d'orthonormalisat ion deSchm idt,construireunebaseortho norm´eep k (x).Ce sontl espolynˆomes p k (x)=(k+ 1 2 1 2 P k (x), avecP k les"poly nˆomesdeLegendre"P 0 (x)=1,P 1 (x)=x,P 2 (x)= 1 2 (3x 2 !1),etc. (VoirTP1.)Cespolynˆ omesserontrencontr´esparlasuite danslecoursdem´ecaniquequantique,o`uilsj ouentunrˆole
importantdansladescriptio ndumomentang ulaire.