Produit d’un vecteur par un nombre, cours pour la classe de
1 Produit d’un vecteur par un nombre D e nition : Soit (O;~i;~j) un rep ere du plan Soit ~u un vecteur de coordonn ees x y dans ce rep ere Soit k un nombre r eel On appelle vecteur produit de ~u par k, le vecteur de coordonn ees kx ky dans le rep ere (O;~i;~j) Propri et es : Soient k, k0 deux nombres r eels et ~u, ~v deux vecteurs k~u+
1 – Translations et vecteurs
Produit d'un vecteur par un nombre réel Produit d'un vecteur par un nombre réel Définition Soit u un vecteur non nul et k un nombre réel non nul, alors le vecteur ku résultant de la multiplication de u par k, est défini par : sa direction : la même que celle de ü, son sens : celui de ü si k > O, I'opposé de celui de si k < O,
Colin´earit´e de vecteurs I Produit d’un vecteur par un
Colin´earit´e de vecteurs I Produit d’un vecteur par un nombre r´eel Exemple 1 Soit →−u un vecteur du plan S l’on pose →−v = →−u +→−u +→−u +→−u +→−u alors on peut le noter →−v = 5→−u Remarque Les vecteurs →−u et 5→−u ont la mˆeme direction et le mˆeme sens
PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL - matheclairfr
PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL I Vecteurs du plan (rappel) : Un vecteur est un trajet que l’on représente à l’aide d’une flèche 1°) Égalité de deux vecteurs On dit que deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont : - la même direction - le même sens - la même longueur Exemple : Remarque:
Vecteurs - mathgmfr
Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Coordonnées Définition Définition : Produit d’un vecteur par un nombre réel Soit ~u un vecteur et k un nombre réel non nul, alors le vecteur k~u est défini par : sa direction : la même que celle de ~u; son sens : celui de ~u si k > 0, l’opposé de ~u si k < 0; −2~u ~u 1 3 ~u
Vecteurs - mathgmfreefr
Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un réel Coordonnées Définition Définition : Produit d’un vecteur par un nombre réel Soit ~u un vecteur et k un nombre réel non nul, alors le vecteur k~u est défini par : sa direction : la même que celle de ~u; son sens : celui de ~u si k > 0, l’opposé de ~u si k < 0; −2~u ~u 1 3 ~u
Vecteurs - mathgmfr
par un réel k, alors le vecteur k~u a pour coordonnées kx ky Propriété : multiplication par un réel 2 −2 −4 −4 −2 O 2 4 6 ~u 4 2 −2~u −8 −4 1,5~u 6 3 Les vecteurs ~u et 1,5~u ont le même sens car 1,5 > 0 et les vecteurs ~u et −2~u ont des sens contraires car −2 < 0 5 Norme d’un vecteur Dans une base orthonormée
Exercices corrigés - AlloSchool
Rappel : Produit scalaire et normes de vecteurs Le produit scalaire d’un vecteur ⃗⃗ par un vecteur ⃗ est le nombre réel noté ⃗⃗ ⃗ défini par : ⃗⃗ ⃗ ‖⃗⃗‖ ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ⃗⃗‖ Tout d’abord, analysons l’énoncé est un parallélogramme donc les égalités vectorielles suivantes sont vérifiées :
I Rappels et Définition 1) Norme dun vecteur
Calculer un produit scalaire à l’aide du cosinus Soit un triangle équilatéral ABC de côté 10 cm Calculer le produit scalaire ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel Écrire par exemple ⃗ =0⃗ est une maladresse à éviter Exercices : n° 23 et 24 page 243 II
Vecteurs du plan - eolipylefreefr
Éléments caractéristiques d’un vecteur non nul : direction, sens et norme (ou longueur) Vecteurs égaux, vecteurs opposés, vecteurs colinéaires, vecteur nul Somme de deux vecteurs Produit d’un vecteur par un nombre réel Coordonnées d’un vecteur dans le plan rapporté à
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Produit d'un vecteur par un nombre, cours pour la classe de seconde
F.Gaudon
13 mai 2010
Table des matieres
1 Produit d'un vecteur par un nombre
22 Traduction vectorielle de proprietes geometriques
32.1 Milieux de segments
32.2 Alignement et parallelisme
3 1 Produit d'un vecteur par un nombre, cours pour la classe de seconde1 Produit d'un vecteur par un nombre
Denition :Soit (O;~i;~j) un repere du plan. Soit~uun vecteur de coordonneesx y dans ce repere. Soitkun nombre reel. On appellevecteur produit de~u park, le vecteur de coordonneeskx ky dans le repere (O;~i;~j).Proprietes : Soientk,k0deux nombres reels et~u,~vdeux vecteurs. k~u+k0~u= (k+k0)~u k(k0~u) = (kk0)~u k(~u+~v) =k~u+k~v k~u= 0 si et seulement sik= 0 ou~u=~0Preuve :Soientx
y les coordonnees de~udans (O;~i;~j). Alors le vecteurk~ua par denition pour coordonnees kx ky , le vecteurk0~ua pour coordonneesk0x k 0y , le vecteurk~u+k0~ua donc pour coordonnees kx+k0x ky+k0y ce qui s'ecrit aussi(k+k0)x (k+k0)y . On reconna^t les coordonnees de (k+k0)~uce qui demontre la premiere propriete. Les autres proprietes se demontrent de la m^eme maniere.Exemple :
Soient~uet~vdeux vecteurs.
3(~u+ 2~v)5~u+ 3~v= 3~u+ 6~v5~u+ 3~v
= 3~u+ 6~v5~u+ 3~v =2~u+ 9~v Exemples de placement de points veriant une egalite vectorielle : SoientA,BetCtrois points. SoitMle point deni par :~AM= 3~BC2~AC. Exprimons~AMen fonction de~ABet~AC:AM= 3(~BA+~AC)2~AC
= 3 ~BA+ 3~AC2~AC = 3 ~BA+~AC =3~AB+~AChttp://mathsfg.net.free.fr2 Produit d'un vecteur par un nombre, cours pour la classe de seconde soientAetBdeux points. Placement du pointNtel que~AN= 4~BN.AN= 4(~BA+~AN) d'apres la relation de CHASLES)
AN= 4~BA+ 4~ANd'apres la proprietek~u+k~u0=k(~u+~u0) AN4~AN= 4~BA+ 4~AN4~ANen ajoutant l'oppose de 4~AN3~AN= 4~BAd'apres la proprietek~u+k0~u= (k+k0)~u
AN=43 ~BA AN=43 ~AB2 Traduction vectorielle de proprietes geometriques
2.1 Milieux de segments
Propriete :SoientA,BetItrois points.Iest le milieu du segment [AB] si et seulement si ~AI=~IBsi et seulement si~AI=12 ~AB.Preuve :Immediat
2.2 Alignement et parallelisme
Denition :Deux vecteurs non nuls sontcolineairessi il existe un reelknon nul tel que~v=k~u.http://mathsfg.net.free.fr3 Produit d'un vecteur par un nombre, cours pour la classe de secondeRemarque :
Deux vecteurs~uet~vsontcolin eairessi ils o ntla m ^emedirection .Exemple :
Soient~uet~vde coordonnees respectives5
3 et15 9 dans un repere.~uet~vsont colineaires car~v=3~uou~u=13 ~v. Proprietes :SoientA,BetCtrois points.A,BetCsont alignes et distincts si et seulement si il existe un nombre reelknon nul tel que~AB=k~AC; SoientA,B,CetDquatre points. Les droites (AB) et (CD) sont paralleles si et seulement si les vecteurs ~ABet~CDsont colineaires.Exemple (ou l'on retrouve le theoreme reciproque de THAL ES) : SoitABCun triangle. SoientMetNdeux points tels que~AM=k~ABet~AN=k~ACoukest un nombre reel quelconque. On a~MN=~MA+~ANd'apres la relation de CHASLES, donc~MN=k~AB+k~AC=k(~BA+~AC) d'ou ~MN=k~BCa nouveau d'apres la relation de CHASLES.~MNet~BCsont donc colineaires doncles droites (MN) et (BC) sont paralleles ce qui constitue une autre demonstration de la reciproque du
theoreme de THALES vue les annees precedentes. Propriete :On suppose~uet~vnon nuls.~uet~vsontcol ineairessi et seulemen ts iles coordonnees des vecteurs sont proportionnelles c'est a dire si et seulement sixy0=yx0.Preuve dans le cas oux,y,x0ety0sont non nuls : ~uet~vsont colineaires si et seulement si~u=k~voukest un reel c'est a dire si et seulement six=kx0 ety=ky0c'est a direxx 0=yy