ax + bx + c Par la méthode Somme et Produit
algébrique ( 4x3 2+ 44x + 127x + 105 ) cm3 Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si on sait que la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ? 1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme: + 57x Volume = Aire base X hauteur = volume hauteur 4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 3
Produit maximal de deux nombres connaissant leur somme
Le produit de deux nombres dont la somme des carrés est constante est maximal lorsqu’ils sont égaux 2°) Démonstration (dans le cadre algébrique*) x et y sont deux réels tels que x y a 2 2 où a est un réel fixé (positif, bien entendu)
c’est transformer une somme algébrique en un produit I
Définition : Factoriser une expression, c’est transformer une somme algébrique en un produit I Factorisations avec facteur commun Les premières factorisations, vues en 5°, utilisaient la propriété de la distributivité et la présence d’un facteur commun comme dans les exemples suivants : – –
2de Factorisation Module - WordPresscom
2de Calcul algébrique - Développer Module 1 Somme et produit a Compléter le tableau : Expression Somme ou produit ? Nombre de termes ou de facteurs 3x produit 2 facteurs 5x² - 3x + 1 somme 3 termes
2 Calc algebriqueM - maths et tiques
d’une expression algébrique p60 n°1 : Reconnaître la forme d’une expression algébrique ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 I Somme de termes et produit de facteurs 1 Exemples : Sommes (ou différences) de termes Produits de facteurs x – 3 (2x + 4) + 3x (5 – x) – (9 + 9x) 3 + (2 + 3x)(x – 2)
I Développer et réduire une expression
I Développer et réduire une expression Définition n°1 Développer c’est transformer un produit en une somme algébrique Remarque n°1 Réduire une expression, c’est « regrouper les termes semblables » et faire les calculs Exemple n°1 (2x+3)(x−4) = 2x 2−8x+3x−12 = 2x −5x−12 produit → somme → expression réduite
Sommes, produits, récurrence
0 et P 1 lors de l'étape d'initialisation, et on prouve P n+2 à l'aide de P n et P n+1 lors de l'hérédité • on peut même avoir besoin pour prouver l'hérédité que la propriété soit véri ée pour tous les entiers inférieurs Dans ce cas, on parle de récurrence forte : le plus simple est de modi er la dé nition de la propriété P
Cours de mathématiques MPSI
Soit A une partie finie de C, la somme des éléments de A est notée P a2A a et le produit des éléments de A est noté Q a2A a Par convention, lorsque A est vide, la somme est nulle et le produit vaut 1 Définition 3 1 (somme et produit sur une partie finie) Remarque 3 1 – Ces opérations étant commutatives dans C, l’ordre n’a
Racines nièmes de l’unité
Calculer leur somme et leur produit 2) Cas n = 3 a) Montrer que 1)z3 −1= (z − 1)( z2 + z + et en déduire qu’il y a trois racines troisièmes de l’unité dont on déterminera la forme algébrique b) On note j = 2 3 2 1 − + i Mettre j sous forme exponentielle, et montrer que chaque racine troisième de l’unité est une puissance de j
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1 sur 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr CALCUL ALGEBRIQUE Activité conseillée Activité conseillée p20 n°1 : Reconnaître la forme d'une expression algébrique p60 n°1 : Reconnaître la forme d'une expression algébrique ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 I. Somme de termes et produit de facteurs 1. Exemples : Sommes (ou différences) de termes Produits de facteurs x - 3 (2x + 4) + 3x (5 - x) - (9 + 9x) 3 + (2 + 3x)(x - 2) (6x + 1)( x - 1) 2(1 + 6x) (8 - x)(2 + x) (3 + 8x)(x - 8)2 Remarque : x-2
3est appelé un quotient. C'est le produit de 3 et de l'inverse de 2 - x. 2. Valeurs " interdites » : Pour certaines expressions dépendantes de x, il existe des valeurs de x pour lesquelles on ne peut pas calculer l'expression. Exemple : Soit A(x) = 5
4 x x. Pour x = -4, 4 + x = 0. Il n'est donc pas possible de calculer A(-4). Pour l'expression A(x), x désigne un nombre réel différent de -4. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p35 n°1 à 4 p35 n°6 et 7 Ecrire des phrases exprimant des expressions algébriques p75 n°1 à 5 p83 n°105, 106 Ecrire des phrases exprimant des expressions algébriques ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
2 sur 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr II. Développer et factoriser 1. Distributivité Définitions : Développer c'est transformer un produit en une somme (ou différence) de termes. Factoriser c'est transformer une somme en un produit de facteurs. Exemple : x(4 - y) = 4x - xy On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition (ou la soustraction). Dans l'exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2. Double-distributivité Propriété : 3. Identités remarquables Propriété : Pour tous nombres réels a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 DEVELOPPER FACTORISER DEVELOPPER FACTORISER
3 sur 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exemples :
x-5 2 =x 2 -2×x×5+5 2 =x 2 -10x+25 2x-1 2x+1 =2x 2 -1 2 =4x 2 -1 x 2 +6x+9=x 2 +2×3×x+3 2 =x+3 2Méthode : Développer une expression Vidéo https://youtu.be/o6qVMmA3oTQ Développer et réduire l'expression suivante :
A=x+2 4x-3 -x7-xOn développe le membre de gauche en appliquant la double-distributivité et le membre de droite en appliquant la distributivité.
A=x+2 4x-3 -x7-x =4x 2 -3x+8x-6-7x+x 2 =5x 2 -2x-6Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p35 n°8 p35 n°10 p36 n°11 à 14 p39 n°61 p75 n°6 à 10 p75 n°11 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 4. Factoriser Méthode : Factoriser une expression Vidéo https://youtu.be/UGTFELhE9Dw Factoriser les expressions suivantes :
B=32+3x
-5+2x 2+3xC=2-5x
2 -2-5x 1+xD=51-2x
-4+3x 2x-1E = 3x
2 - xPour factoriser, il faut trouver dans chacun des termes de l'expression un facteur commun. Il s'agit ici de 2 + 3x. B = 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x) = (2 + 3x)(3 - (5 + 2x))
4 sur 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr = (2 + 3x)(3 - 5 - 2x) = (2 + 3x)( -2 - 2x) C = (2 - 5x)2 - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)(2 - 5x) - (2 - 5x)(1 + x) = (2 - 5x)((2 - 5x) - (1 + x)) = (2 - 5x)(2 - 5x - 1 - x) = (2 - 5x)(1 - 6x ) Lorsque le facteur commun n'est pas immédiatement apparent, il est parfois possible de modifier l'écriture d'un des termes de l'expression pour faire apparaître un facteur commun : D = 5(1 - 2x) - (4 + 3x)(2x - 1) = 5(1 - 2x) + (4 + 3x)(1 - 2x) = (1 - 2x)(5 + (4 + 3x)) = (1 - 2x)(9 + 3x) E = 3x2 - x = 3x2 - x x 1 = x(3x - 1) Exercices conseillés Exercices conseillés p36 n°17 et 18 p75 n°12, 13 p81 n°76, 77 p80 n°64, 65 p81 n°74* ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Méthode : Factoriser en utilisant une identité remarquable Vidéo https://youtu.be/tO4p9TzMrls Factoriser l'expression suivante : A = (3x + 1)2 - 49 On reconnaît une identité remarquable du type a² - b² = (a - b)(a + b) avec a = 3x + 1 et b = 7. A = (3x + 1)2 - 49 = (3x + 1)2 - 72 = ((3x + 1) - 7)((3x + 1) + 7) = (3x + 1 - 7)(3x + 1 + 7) = (3x - 6)(3x + 8)
5 sur 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p36 n°19 à 21 p36 n°23 p40 n°64 p36 n°22 p75 n°14, 15, 17, 16*, 18* ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 III. Réduire au même dénominateur Définition : Réduire au même dénominateur c'est transformer une somme (ou une différence) de deux fractions en une seule fraction. Propriété : Pour tout nombre a, b, c et d, réels on a :
a b c d ad bd bc bd ad+bc bdMéthode : Réduire au même dénominateur Vidéo https://youtu.be/Id_udNTKsqI Réduire les expressions suivantes au même dénominateur :
A= 7x x-2 5 3-x B=3+ 5x 2x+1 A= 7x x-2 5 3-x 7x3-x x-2 3-x 5x-2 3-x x-2 7x3-x -5x-2 x-2 3-x21x-7x
2 -5x+10 x-2 3-x -7x 2 +16x+10 x-2 3-x B=3+ 5x 2x+1 3 1 5x 2x+1 32x+12x+1 5x 2x+1 32x+1
+5x 2x+1
6x+3+5x
2x+1 11x+3 2x+1Exercices conseillés Exercices conseillés p36 n°25 à 27 p80 n°67, 68 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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