1-1 : Droite d’Euler - 2 (c) ABC O G H
1 ERE S PRODUIT SCALAIRE feuille 27 1-1 : Droite d’Euler - 2 (c) Soit ABC un triangle, O le centre de son centre circonscrit, G son centre de gravité et H le point tel que OH OA OB OC 1 Démontrer que AH BC 0 Qu’en déduit-on ? 2 Donner deux relations semblables faisant intervenir A, B, C et H 3
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APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE - Pierre Lux
3 ) Donner un vecteur normal à la droite d'équation 2x−5y+3=0 4 ) ⃗j est-il un vecteur directeur de la droite d'équation y=4 ? 5 ) La droite d'équation 4x−3y+2=0 est perpendiculaire à une certaine droite d Donner un vecteur directeur de d 6 ) Dire à chaque fois, s'il s'agit d'un vecteur directeur, d'un vecteur
Produit scalaire : TD n
Produit scalaire : TD no 4 I b A b B b I b J H b G IV Relation d’Euler 1 On considère la droite (d) d’équation 2x+3y-5=0 Donne un vecteur directeur
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Géométrie élémentairedu plan
3 1 Produit scalaire et déterminant Exercice 3 3 5 ♥♥ Droite d’Euler d’un triangle Dans un triangleABC non équilatéral et non aplati, on considère l
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Lemmes utiles en geom´ etrie´ - maths-olympiquesfr
Lemme 7 (Droite d’Euler) Les points O, G, et Hsont alignes dans cet ordre et´ GH= 2OG La droite qui contient ces trois points est appelee´ droite d’Euler de ABC Idee´ de la demonstration ´ On note A 0, Bet C0 les milieux de [BC], [CA]et [AB] L’homothetie´ hde centre Get de rapport -1 2 envoie ABCsur A0B 0C0
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Exercice 12 : Puissance d’un point Dans un plan, soit un cercle ( 2) de centre 3 et rayon R, et M un point quelconque On mène par M )une droite sécante au cercle ( 2) qui le coupe en deux points A et B A′ est le point de ( 2 diamétralement opposé à A
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Lemmes utiles en g
´eom´etrie
Thomas Budzinski
Avant-propos
La g´eom´etrie est un domaine o`u une bonne culture peut s"av´erer tr`es utile pour r´esoudre des
exercices. Ce document est une liste (non exhaustive!) de lemmes qui servent fr´equemment,
accompagn ´es de rapides´el´ements de preuve. Certaines d´emonstrations ne sont pas´evidentes, les compl´eter peutˆetre un entraˆınement int´eressant mais il n"est pas n´ecessaire de les connaˆıtre.
Les lemmes soulign
´es nous paraissent particuli`erement importants. Dans toute la suite, sauf indication contraire,ABCd´esigne un triangle. On notea,betcles longueursBC,CAetAB, et,et les angles[CAB,[ABCet[BCA. On notera aussiCson cercle circonscrit etOle centre deCetRson rayon,Hson orthocentre,Gson centre de gravit´e, Ile centre de son cercle inscrit etrle rayon du cercle inscrit. On notera enfinAABCl"aire du triangle.Trigonom´etrie
Lemme 1(Loi des sinus).
asin=bsin=csin =2R=abc2AABCId´ee de la d´emonstration.Pour montrerasin=2R, introduireB0diam´etralement oppos´e`aBsur
Cet consid´erer le triangleBB0C. Pour la derni`ere partie, exprimer l"aire en fonction deb,cetLemme 2(Formule d"Al-Kashi).
a2=b2+c2-2bccos
Id´ee de la d´emonstration.Si vous connaissez le produit scalaire, utilisez-le! Sinon, introduireD,
pied de la hauteur issue deBet calculerADpuisBDetCDpuisaen fonction deb,cet.Lemme 3(Formules d"addition).Pour tous angleset:
-cos(+) =coscos-sinsin -cos(-) =coscos+sinsin -sin(+) =sincos+sincos -sin(+) =sincos-sincosId´ee de la d´emonstration.Utiliser le produit scalaire pour d´emontrer la seconde formule, puis en
d´eduire les autres.
1G´eom´etrie du triangle
Lemme 4(Pˆole Sud).SoitSle point o`u la bissectrice(AI)de[CABrecoupe le cercle circonscrit aABC. AlorsSest le milieu de l"arcBCqui ne contient pasA. De plus,Sest le centre du cercle circonscrit `aABI.Sest g´en´eralement appel´epˆole SudduABC. Id´ee de la d´emonstration.Chasse aux angles : on v´erifie queSBCetSBIsont isoc`eles enS. Lemme 5.Les sym´etriques deHpar rapport`a(AB),(BC)et(CA)sont surC. Id´ee de la d´emonstration.Chasse aux angles. Lemme 6.SoitDle point o`u la bissectrice(AI)recoupe[BC]. On aBDCD =ABAC Id´ee de la d´emonstration.Iest´equidistant de(AB)et(AC)donc : ABAC =AABDAACD=BDCD
Lemme 7(Droite d"Euler).Les pointsO,G, etHsont align´es dans cet ordre etGH=2OG. La droite qui contient ces trois points est appel´eedroite d"EulerdeABC.
Id´ee de la d´emonstration.On noteA0,B0etC0les milieux de[BC],[CA]et[AB]. L"homoth´etiehde centreGet de rapport-12 envoieABCsurA0B0C0. On v´erifie queOest l"orthocentre deA0B0C0, donch(H) =O. Lemme 8(Cercle d"Euler).On noteA0,B0etC0les milieux des cˆot´es deABC,HA,HBetHCles pieds de ses hauteurs etMA,MBetMCles milieux de[AH],[BH]et[CH]. Alors les neuf points A0,B0,C0,HA,HB,HC,MA,MBetMCsont cocycliques sur un cercle appel´ecercle d"Eulerde
ABC. De plus, le centre du cercle d"Euler est le milieu de[OH]et son rayon vautR2Id´ee de la d´emonstration.L"homoth´etiehde la preuve pr´ec´edente envoieOsur le milieu
de [OH], donc le cercle circonscrit`aA0B0C0, not´eC0, est le cercle de centre et de rayonR2 . Une chasse aux angles montre queHA,HBetHCsont sur ce cercle. Enfin, etMAsont les milieux de[HO]et[HA]doncMA=OA2
=R2 doncMAest aussi sur ce cercle, de mˆeme queMBet M C. Lemme 9(Droite de Simson/Steiner).-Soit Pun point du plan etPA,PB,PCses projet´es orthogonaux sur(BC),(CA)et(AB). AlorsPA,PBetPCsont align´es si et seulement si P2C. La droite passant par ces trois points est alors appel´eedroite de SimsondeP. Soient SA,SBetSCles sym´etriques dePpar rapport`a(BC),(CA)et(AB). AlorsSA,SB etSCsont align´es si et seulement siP2C. La droite passant par ces trois points est alors appel´eedroite de SteinerdeP.
Id´ee de la d´emonstration.
Chasse aux angles (comme il y a beaucoup de positions possibles des points les u nspar rapport aux autres, il est recommand´e d"utiliser des angles orient´es).
-SA,SBetSCsont les images dePA,PBetPCpar l"homoth´etie de centrePet de rapport2, donc les trois premiers ont align´es ssi les trois derniers le sont.
2 Lemme 10(Points de contact du cercle inscrit).SoientD,EetFles points o`u le cercle inscrit touche[BC],[CA]et[AB]. On a : -AE=AF=b+c-a2 -BF=BD=c+a-b2 -CD=CE=a+b-c2 Id´ee de la d´emonstration.On notex=AE=AF,y=BF=BDetz=CD=CE: on ax+y=c, y+z=aetz+x=b, et on r´esout le syst`eme... parA. C"est en quelque sorte la "deuxi`eme bissectrice" form´ee par les droites(AB)et(AC). On d ´efinit de mˆeme les bissectrices ext´erieures de[ABCet[BCA. Lemme 11(Cercle exinscrit).-Il existe un unique cer cletangent au segment [BC],`a la demi-droite[AB)au-del`a deBet`a la demi-droite[AC)au-del`a deC. Ce cercle est appel´e cercleA-exinscrit`aABC. Le centr eIAdu cercleA-exinscrit est l"intersection de la bissectrice int´erieure de[CABet des bissectrices ext´erieures de[ABCet[BCA.
Id´ee de la d´emonstration.Similaire`a la preuve correspondante pour le cercle inscrit : les trois
bissectrices sont concourrantes en un point´equidistant de(AB),(BC)et(CA).
Lemme 12(Cercle exinscrit, suite).-IAest sur le cercle centr´e au pˆole SudSpassant parB,CetI, etSest le milieu de[IAI].
Soit D0,E0etF0les point o`u le cercleA-exinscrit touche respectivement[BC],[AC)et [AB). On aAE0=AF0=a+b+c2 ,BD0=BF0=a+b-c2 =CDetCD0=CE0=a+c-b2 =BE.Id´ee de la d´emonstration.
Les triang lesIAIBetIAICsont rectangles enBetC.
Similair e
`a la preuve pour les points de contact du cercle inscrit. Notation.ABd´esignera lalongueur alg´ebriqueentreAetB, c"est-`a-dire queABvaudraABou -ABselon l"ordre dans lequelAetBapparaissent sur la droite(AB). Par exemple,AB AC vaudra ABAC siAest entreBetCcarABetACsont dirig´es dans des sens diff´erents. Par contre, il vaudra+ABAC siBest entreAetCcar alors les deux seront dirig´es dans le mˆeme sens. Lemme 13(Th´eor`eme de M´en´ela¨us).SoientA02(BC),B02(CA)etC02(AB). AlorsA0,B0et C0sont align´es si et seulement si :BA
0CA 0CB 0AB 0AC 0BC 0= +1Id´ee de la d´emonstration.SiA0,B0etC0sont align´es sur(d), on introduit la parall`ele`a(BC)
passant parA: elle coupe(d)enX, puis on applique deux fois le th´eor`eme de Thal`es. Pour la r ´eciproque,´etant donn´esA0etB0, on sait qu"un seul pointC02(AB)est sur(A0B0), et que ce point permet v´erifieAC
0BC 0=CA 0BA 0AB 0CB0. Or, un rapide calcul montre qu"un seul pointC0v´erifie
cette formule. Lemme 14(Th´eor`eme de C´eva).SoientA02(BC),B02(CA)etC02(AB). Alors(AA0),(BB0) et(CC0)sont concourantes si et seulement si :BA 0CA 0CB 0AB 0AC 0BC 0= -1 3 Id´ee de la d´emonstration.Si les trois droites sont concourantes enX, montrer queA0BA0C=AABXA
ACXet deux relations similaires, puis faire le produit. Pour la r´eciproque, c¸a marche comme pour
M´en´ela¨us.
Lemme 15(Th´eor`eme de C´eva trigonom´etrique).Soient(Ax),(By)et(Cz)trois droites passant parA,BetC. Ces trois droites sont concourantes si et seulement si : sin dBAxsin [CAxsindCBysin [ABysindACzsin dBCz=1Id´ee de la d´emonstration.Si les trois droites sont concourantes en un pointX, appliquer la loi
des sinus dans les trianglesABX,BCXetCAX. Pour la r´eciproque, c"est similaire aux deux th ´eor`emes pr´ec´edents. On a besoin de montrer quesinxsin(-x)est strictement croissante. Remarque.Un sens reste vrai avec plus de trois points : si on a un polygone`ansommets avec une droite partant de chaque sommet et si lesndroites sont concourantes, alors on a une formule du m ˆeme type. En revanche, la formule ne suffit pas`a assurer que lesndroites sont concourantes. Lemme 16(Conjugu´e isogonal).SoitXun point du plan. On note(dA)le sym´etrique de(AX) par rapport `a la bissectrice de[CAB, et on d´efinit de mˆeme les droites(dB)et(dC). Alors(dA), (dB)et(dC)sont concourantes en un point appel´econjugu´e isogonaldeX. Id´ee de la d´emonstration.Utiliser le th´eor`eme de C´eva trigonom´etrique. Remarque.On pourra v´erifier queOest le conjugu´e isogonal deH, etIest son propre conjugu´e isogonal.Autres
Lemme 17(Quadrilat`ere circonscriptible).SoitABCDun quadrilat`ere.ABCDest circonscrip- tible (c"est- `a-dire qu"il existe un cercle tangent`a ses quatre cˆot´es) si et seulement siAB+CD=AD+BC.
Id´ee de la d´emonstration.SiABCDest circonscriptible, on fait une "chasse aux tangentes" : on d´ecompose chaque cˆot´e en deux en coupant au point de contact du cercle, et on utilise le fait
queAest´equidistant des points de tangence`a[AB]et[AD]...Pour la r
´eciproque, supposons quitte`a changer les noms des points que[AD)et[BC)se re- coupent enX, et soit!le cercle inscrit`aABX: il touche[AB]enU,[AX]enVet[BX]enW. La conditionAB+CD=AD+BCdonneCD=DV+CW. On a ainsiXV=XV+VW2XD+XC+VD+CW2
=XD+XC+CD2 , donc!est le cercleX-exinscrit`aXCD, donc il est tangent`a [CD], et on savait d´ej`a qu"il´etait tangent aux trois autres cˆot´es. Lemme 18(Diagonales perpendiculaires).SoitABCDun quadrilat`ere. Alors(AC)et(BD)sont perpendiculaires si et seulement si : AB2+CD2=AD2+BC2
Id´ee de la d´emonstration.Si les diagonales sont perpendiculaires, on obtient la formule en ap-
pliquant plusieurs fois le th ´eor`eme de Pythagore. Pour la r´eciproque, on put utiliser la trigo- nom ´etrie mais le plus simple est d"utiliser le produit scalaire pour montrer : AB