§ 3 Produit vectoriel

Produit vectoriel En SI, on déﬁnit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet

Produit vectoriel - F2School

MVA006 Applications de l’Analyse a` la Geom´ etrie–´ Cours n 9 Jacques V´elu (CNAM) Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que

§ 3 Produit vectoriel - delezename

Expression analytique du produit vectoriel (ou définition algébrique du produit vectoriel) En utilisant les propriétés précédentes, nous pouvons exprimer le produit vectoriel en composantes dans une base orthonormée directe i ﬁ,j ﬁ,k ﬁ Pour a ﬁ =a1i ﬁ +a2j ﬁ +a3k ﬁ = a1 a2 a3;b ﬁ =b1i ﬁ +b2j ﬁ +b3k ﬁ = b1 b2 b3 on

Chapitre 23 – Le produit vectoriel

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 2 3 – Le produit vectoriel La définition du produit vectoriel Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur On utilise l’opérateur « × » pour désigner le produit vectoriel

Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 Cours : Le produit vectoriel PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec Exercices avec solutions

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)

Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL

Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med a Propriété : u et v et w trois vecteurs de l’espace E orienté et on a : 1 L’antisymétrie du produit vectoriel: v u u v 2 Bilinéarité du produit vectoriel : u v w u v u v u v w u w u w ku v u kv k u v

Produit mixte et produit vectoriel - Université Paris-Saclay

produit scalairebases orthonorm eesproduit mixteproduit vectorielcalcul a (b c) polaires 3dHadamardLagrange Produit mixte et produit vectoriel Fran˘cois Dubois Applications de l’Analyse a la G eom etrie et Introduction a l’Alg ebre Lin eaire cours num ero 07 CNAM Paris, mars 2020 Conservatoire National des Arts et M etiers, Paris

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel On se place dans ℝ???? un espace vectoriel, muni d’un produit scalaire (espace euclidien) Produit scalaire A - Produit scalaire dans l’espace ℝ???? 1) = 3 ???? ????=???? ???? = × × cos ( , ) 2) = 0 ⇔ ⊥

CALCUL VECTORIEL ET PRODUIT SCALAIRE

calcul vectoriel et produit scalaire: propriÉtÉs et applications Les mathématiques sont l’exploration de tout un monde de conséquences à partir d’une simple définition rigoureuse On a vu dans la 1 re partie de ce cours que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel

3-ème année, mathématiques niveau avancé

Edition 2004-2005

§ 3 Produit vectoriel

Liens hypertextes

Produit scalaire 3D:

Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère):

3.1 Construction

Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs

Etant donné deux vecteurs a®

, b® , on appelle produit vectoriel des vecteurs a® , b® le vecteur c® , noté c® =a®

´b®

, défini de la manière suivante: dans le cas où a® , b® ne sont pas colinéaires, la direction de c® est définie par c®

¦a®

et c®

¦b®

le sens de c® est tel que que le triplet a® ,b® ,c® est direct, c'est-à-dire obéit à la règle de la main droite; la norme de c® est égale à l'aire du parallélogramme sous-tendu par a® ,b® , c'est-à-dire

þc®

þ=þa®

´b®

þ=þa®

þ×h=þa®

þ×þb®

þ×ýsinHjLý où j=a®

,b® a® b®c®jh dans le cas où a® , b® sont colinéaires, on a a® =0® ,b® =0® ousinHjL=0; c'est pourquoi on pose c® =a®

´b®

=0®

ProduitVectoriel-Determinant.nb15

Propriétés

Première propriété

Il découle de la définition que, pour tout vecteur a® , on a a®´a®=0®

Deuxième propriété

b®

´a®=-Ka®´b®

O HantisymétrieL

a® b a® ´b a® b b

´a®

Troisième propriété

Pour toute base orthonormée directe i®

,j® ,k® , on a i®

´j®

=k® ,j®

´k®

=i® ,k®

´i®

=j®

HrègledespermutationscycliquesL

i® j® k® En combinant les propriétés 2 et 3, on obtient j®

´i®

=-k® ,k®

´j®

=-i® ,i®

´k®

=-j®

ProduitVectoriel-Determinant.nb16

Quatrième propriété

Jl×a®N´b®

=l×Ka®´b® O

Dans le cas où l>0, la direction et le sens des deux expressions précédentes sont les mêmes; pour la norme, lorsqu'on

multiplie le côté a® par l, l'aire du parallélogramme est multilpliée par l (dans la figure, l=1.6): a® b® a®´b®l×a® l×a®´b®

Lorsque l<0, les sens des deux membres sont inversés; en effet, pour le membre de gauche, si a®

,b® ,c® est direct, c'est alors -a® ,b® ,-c® qui est direct (dans la figure, l=-1.6): a® b® a®´b®l×a® l×a®´b®

D'une manière analogue, on montre que

a®´Km×b®

O=m×Ka®´b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb17

Cinquième propriété

Ja1+a2N´b®

=a1´b® +a2´b® a®´Kb1+b2O=a®´b1+a®´b2 Démontrons la propriété dans le cas particulier où les vecteurs a1 ,a2,b® sont coplanaires. a1a2a1+a2b®h1h2h1+h2i® j®

Dans une base orthonormée directe i®

,j® ,k® dont les deux premiers vecteurs sont dans le plan de la figure, les produits vectoriels sont des multiples de k® . Pour le cas de figure représenté,

þa1´b®

+a2´b® 0 0

þa1´b®

0 0

þa2´b®

þ=þa1´b®

þ+þa2´b®

h1×þb®

þ+h2×þb®

þ=Hh1+h2L×þb®

þ=þJa1+a2N´b®

Il y a d'autres cas de figures à envisager: il est possible que les deux aires doivent se soustraire, mais la démonstration

demeure semblable.

Quant au cas où les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, nous renonçons à donner une démonstration, mais nous

effectuerons des vérifications au § 3.2. On regroupe les propriétés 4 et 5 en disant que le produit vectoriel est bilinéaire.

ProduitVectoriel-Determinant.nb18

Expression analytique du produit vectoriel (ou définition algébrique du produit vectoriel)

En utilisant les propriétés précédentes, nous pouvons exprimer le produit vectoriel en composantes dans une base

orthonormée directe i® ,j® ,k® . Pour a®=a1i® +a2j® +a3k® a1 a2 a3 ;b® =b1i® +b2j® +b3k® b1 b2 b3 on a a®´b® =Ka1i® +a2j® +a3k®

O´Kb1i®

+b2j® +b3k® O= a1b1i®

´i®

+a1b2i®

´j®

+a1b3i®

´k®

+a2b1j®

´i®

a2b2j®

´j®

+a2b3j®

´k®

+a3b1k®

´i®

+a3b2k®

´j®

+a3b3k®

´k®

0® +a1b2k® +a1b3 K-j®

O+a2b1K-k®

O+0®

+a2b3i® +a3b1j® +a3b2K-i®

O+0®

Ha2b3-a3b2L i®

+Ha3b1-a1b3L j® +Ha1b2-a2b1L k® a1 a2 a3 b1 b2 b3 a2b3-a3b2 a3b1-a1b3 a1b2-a2b1

HVoirFormulairesettablesL

3.2 Vérifications

Puisque, dans l'établissement de la formule du produit vectoriel, nous avons sauté une démonstration, effectuons des

vérifications. L'expression analytique du produit vectoriel possède les 5 propriétés du § 3.1 Ces vérifications sont laissées au soin du lecteur. L'expression analytique du produit vectoriel vérifie la définition géométrique

Direction

c®×a®= a2b3-a3b2 a3b1-a1b3 a1b2-a2b1 a1 a2 a3 =Ha2b3-a3b2L a1+Ha3b1-a1b3L a2+Ha1b2-a2b1L a3= a1 a2b3-a1 a3b2+a2 a3b1-a1a2 b3+a1a3 b2-a2a3 b1=0Doncc®¦a®

D'une manière analogue c®

¦b®

Retenons le résultat:

Ka®´b®

O¦a®etKa®´b®

O¦b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb19

Sens

Pour la base canonique i®

,j® ,k® , la vérification de la troisième propriété établit que le sens est correct. Nous reparlerons du cas général dans le § 4 en utilisant le critère du déterminant. Norme

Nous allons démontrer que

þa®´b®

þ2=þa®þ2þb®

þ2sin2 HjL

En effet, d'une part

þa®´b®

D'autre part,

þa®þ2þb®

þ2sin2 HjL=þa®þ2þb®

þ2I1-cos2 HjLM=

þa®þ2þb®

þ2-Kþa®þþb®

þcos HjLO

2 =þa®þ2þb®

þ2-Ka®×b®

O 2

Ia12+a22+a32M Ib12+b22+b32M-Ha1 b1+a2 b2+a3 b3L2=

a22b12+a32b12-2a1a2b1b2+a12b22+a32b22-

2a1a3b1b3-2a2a3b2b3+a12b32+a22b32

ce qui établit l'égalité suivante dans laquelle j désigne l'angle entre les vecteurs a®

et b®

þa®´b®

þ=þa®þ×þb®

þ×Ìsin HjLÌHVoirFormulairesettablesL

Géométriquement, la norme du produit vectoriel a®

´b®

représente l'aire du parallélogramme sous-tendu par les vecteurs a® ,b® , ce que nous notons comme suit:

[PDF] § 3 Produit vectoriel - delezename

3-ème année, mathématiques niveau avancé

Edition 2004-2005

§ 3 Produit vectoriel

Liens hypertextes

Produit scalaire 3D:

3.1 Construction

Etant donné deux vecteurs a®

´b®

¦a®

¦b®

þc®

þ=þa®

´b®

þ=þa®

þ×h=þa®

þ×þb®

þ×ýsinHjLý où j=a®

´b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb15

Propriétés

Première propriété

Deuxième propriété

´a®=-Ka®´b®

O HantisymétrieL

´a®

Troisième propriété

Pour toute base orthonormée directe i®

´j®

´k®

´i®

HrègledespermutationscycliquesL

´i®

´j®

´k®

ProduitVectoriel-Determinant.nb16

Quatrième propriété

Jl×a®N´b®

D'une manière analogue, on montre que

O=m×Ka®´b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb17

Cinquième propriété

Ja1+a2N´b®

Dans une base orthonormée directe i®

þa1´b®

þa1´b®

þa2´b®

þ=þa1´b®

þ+þa2´b®

þ+h2×þb®

þ=Hh1+h2L×þb®

þ=þJa1+a2N´b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb18

O´Kb1i®

´i®

´j®

´k®

´i®

´j®

´k®

´i®

´j®

´k®

O+a2b1K-k®

O+0®

O+0®

Ha2b3-a3b2L i®

HVoirFormulairesettablesL

3.2 Vérifications

Direction

D'une manière analogue c®

¦b®

Retenons le résultat:

Ka®´b®

O¦a®etKa®´b®

O¦b®

ProduitVectoriel-Determinant.nb19

Pour la base canonique i®

Nous allons démontrer que

þa®´b®

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Propriétés