Le PRODUIT VECTORIEL

Produit vectoriel En SI, on déﬁnit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet

Produit vectoriel - F2School

MVA006 Applications de l’Analyse a` la Geom´ etrie–´ Cours n 9 Jacques V´elu (CNAM) Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que

§ 3 Produit vectoriel - delezename

Expression analytique du produit vectoriel (ou définition algébrique du produit vectoriel) En utilisant les propriétés précédentes, nous pouvons exprimer le produit vectoriel en composantes dans une base orthonormée directe i ﬁ,j ﬁ,k ﬁ Pour a ﬁ =a1i ﬁ +a2j ﬁ +a3k ﬁ = a1 a2 a3;b ﬁ =b1i ﬁ +b2j ﬁ +b3k ﬁ = b1 b2 b3 on

Chapitre 23 – Le produit vectoriel

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 2 3 – Le produit vectoriel La définition du produit vectoriel Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur On utilise l’opérateur « × » pour désigner le produit vectoriel

Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 Cours : Le produit vectoriel PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec Exercices avec solutions

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)

Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL

Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med a Propriété : u et v et w trois vecteurs de l’espace E orienté et on a : 1 L’antisymétrie du produit vectoriel: v u u v 2 Bilinéarité du produit vectoriel : u v w u v u v u v w u w u w ku v u kv k u v

Produit mixte et produit vectoriel - Université Paris-Saclay

produit scalairebases orthonorm eesproduit mixteproduit vectorielcalcul a (b c) polaires 3dHadamardLagrange Produit mixte et produit vectoriel Fran˘cois Dubois Applications de l’Analyse a la G eom etrie et Introduction a l’Alg ebre Lin eaire cours num ero 07 CNAM Paris, mars 2020 Conservatoire National des Arts et M etiers, Paris

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel On se place dans ℝ???? un espace vectoriel, muni d’un produit scalaire (espace euclidien) Produit scalaire A - Produit scalaire dans l’espace ℝ???? 1) = 3 ???? ????=???? ???? = × × cos ( , ) 2) = 0 ⇔ ⊥

CALCUL VECTORIEL ET PRODUIT SCALAIRE

calcul vectoriel et produit scalaire: propriÉtÉs et applications Les mathématiques sont l’exploration de tout un monde de conséquences à partir d’une simple définition rigoureuse On a vu dans la 1 re partie de ce cours que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 Cours : Le produit vectoriel PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec Exercices avec solutions 1) 0; ; ;i j k

orthonormé et;;i j k

la base qui lui est associée. [) et il regarde vers laxe [) ; On aura deux [) : 1er cas : [) est à la droite de lobservateur On dit que la base ;;i j k

est indirecte de même pour le Repère 0; ; ;i j k

2eme cas : [) est à la gauche de On dit que la base ;;i j k

est directe de même pour le Repère 0; ; ;i j k Propriété : 2) Remarques 1)Soit B;;i j k une base directe. Les bases : ;;i k j ; (;;k j i ; ;;j i k obtenues par la permutation de deux vecteurs sont des bases indirectes. 2)Les bases ;;i j k ; ;;i j k ; ;;i j k sont des base indirectes 3)les bases : ;;j k i ;;;k i j obtenues par une rotation circulaire, sont des bases directes. 4)Soit B;;i j k une base directe, ;;u v w une autre base de 3 ; la base B est directe si et seulement si det ; ; 0u v w

II) DEFINITION DU PRODUIT VECTORIEL. Soient u

et v deux vecteurs dans 3. 1)On suppose que u et v sont non colinéaires. Soit un point dans lespace ; ils existent deux et tels que : u AB et v AC

,les points , et étant non alignés, ils définissent un plan () dans lespace (). Le produit vectoriel des deux vecteurs u

et v est le vecteur w AD tel que : () () La base ;;AB AC AD est directe. = × × où la mesure de BAC Le vecteur w est indépendant du choix des représentants des vecteurs u et v Si u et v sont colinéaires ; on pose que leur produit vectoriel est 0

On note w u v

Exemple : u

et v deux vecteurs tels que : 1u et 3v et ;3uv

Calculer : uv

III) PROPRIETES DU PRODUIT VECTORIEL 1) Propriétés : 1)0uu

2)Le produit vectoriel est antisymétrique : v u u v

3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w

u v w u w v w

2) Interprétation géométrique triangle. Soient u

et v deux vecteurs dans 3 , quon suppose non colinéaires tels que : u AB et v AC et w AD u v Définition du produit vectoriel : = × × où la mesure

Le PRODUIT VECTORIEL

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 2 est : 1

2ABCS AC BH et on a : sinBH

AB donc : sinBH AB et par suite : 1sin2ABCS AC AB u u et donc 2ABC ABCDAD S S Propriété 1:Soient , et trois points non alignés on a AB AC

: est la surface du parallélogramme ABAC Propriété 2 : Soient , et trois point non alignés, la surface du triangle est : 1

2ABCS AB AC

PRODUIT VECTORIEL Soit B;;i j k

une base orthonormée directe de 3, Considérons deux vecteurs ;;u x y z et ;;u x y z

3V on a donc : u xi yj zk

et u x i y j z k

On a : 0ii

et 0jj et 0kk eti j k et j k i et k i j

0yx k yy yz i

0zx j zyi zz

Propriété :Soient B;;i j k

une base orthonormée directe de 3, et deux vecteurs ;;u x y z et ;;u x y z on a : Exemple1 : 1;1;1u et 2;1;2v deux vecteurs: Calculer : uv

1 1 1 2 1 201 2 1 2 1 1u v i j k i j k i k

Exemple2 :2u i j k

et32v i j k

Calculer : uv

V) APPLICATIONS. 1) Alignement de 3 points. Propriété :Soient , et trois point dans , et sont alignés si et seulement siAB

etAC sont colinéaires ce qui est équivalent à 0AB AC Soient , et trois point dans lespace, le vecteurAB AC est normal sur () donc : (, , ) () 0AM AB AC cartésienne du plan () Exemple : orthonormée directe 0; ; ;i j k

on considère les points0;1;2A et1;1;0Bet 1;0;1C 1)Déterminer les coordonnées du vecteurAB AC

et vérifier que les points A et B et C sont non alignés 2)Calculer la surface du triangle ABC 3)Déterminer une équation cartésienne du plan ABC Solution :1) ;;B A B A B AAB x x y y z z

1;0; 2AB

et 1; 1; 1AC

0AB AC

Donc les points A et B et C sont non alignés

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 3 2) 1

2ABCS AB AC

2222 1 1 6AB AC

Donc : 6

2ABCS 3) 2 1 1AB AC i j k

un vecteur normal du plan ABC Donc une équation cartésienne du plan ABCest de la forme : 0ax by cz d 2; 1; 1AB AC

donc 2a et 1b et 1c Donc : 2 1 1 0x y z d ABC Et on a : 0;1;2AP donc : 0 1 2 0d donc 3d DoncABC : 2 1 1 3 0x y z DoncABC : 2 3 0x y z 3) Intersection de deux plans Soient () et () deux plan sécants dans n

un vecteur normal sur () et m un vecteur normal sur () Si u est un vecteur .0nu et .0mu et on sait que : . . 0m n m n n m on en déduit que u et nm sont colinéaires et par suite nm

Propriété :Soient () et () deux plan dans n

est un vecteur normal sur () et m est un vecteur normal sur (), si n et m sont non colinéaires alors () et () se coupent nm

Exemple : orthonormé Quelle est l'intersection des plans d'équations respectives P2 1 0x y z et P2 2 0x y z Solution :1; 1;2n

et 2;1; 1n deux vecteurs normaux respectivement de P et P On a : 1 1 1 2 1 2 les plans Pet P sont sécants suivant une droite D et 1;5;3u

est un vecteur directeur deD et la droite D passe par 1;5;3A (il suffit de donner par exemple 0z et résoudre le système et calculer xet y) Donc : une représentation paramétrique de Dest :D

1 5 3 xt yt zt quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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Produit vectoriel - MATHEMATIQUES

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Chapitre 23 – Le produit vectoriel

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Produit mixte et produit vectoriel - Université Paris-Saclay

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel

CALCUL VECTORIEL ET PRODUIT SCALAIRE

2eme cas : [) est à la gauche de On dit que la base ;;i j k

II) DEFINITION DU PRODUIT VECTORIEL. Soient u

On note w u v

Exemple : u

Calculer : uv

2)Le produit vectoriel est antisymétrique : v u u v

3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w

2) Interprétation géométrique triangle. Soient u

Le PRODUIT VECTORIEL

2ABCS AC BH et on a : sinBH

2ABCS AB AC

PRODUIT VECTORIEL Soit B;;i j k

3V on a donc : u xi yj zk

On a : 0ii

0yx k yy yz i

0zx j zyi zz

Propriété :Soient B;;i j k

1 1 1 2 1 201 2 1 2 1 1u v i j k i j k i k

Exemple2 :2u i j k

Calculer : uv

1;0; 2AB

0AB AC

Donc les points A et B et C sont non alignés

2ABCS AB AC

2222 1 1 6AB AC

Donc : 6

2ABCS 3) 2 1 1AB AC i j k

Propriété :Soient () et () deux plan dans n