Crible d Eratosthene - Free
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Jean Le Hir, 18 novembre 2007 Page 1 sur 2
Crible d"Ératosthène
Principe
Un nombre entier supérieur ou égal à deux est premier si et seulement s"il n"admet pas d"autre diviseur
entier que lui-même et le nombre 1.Afin de constituer la liste des nombres premiers inférieurs à un certain nombre entier N, on se propose de
programmer la méthode du crible d"Ératosthène qui consiste à construire un tableau de vérité
estpremier []k, k variant dans l"intervalle 2N××. A priori, tous les nombres sont premiers : estpremier[]k true= Le nombre 2 est le premier nombre premier, nous pouvons donc donner la valeur false à tous les éléments du tableau estpremier qui sont multiples de 2.Le nombre 3 apparaît alors comme étant le deuxième nombre premier, nous pouvons donc donner la
valeur false à tous les éléments du tableau estpremier qui sont multiples de 3, etc. etc. etc.Exemple
Le tableau estpremier des entiers inférieurs à 31 est initialisé à la valeur true.2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30true true true true true
true true true true true true true true true true true true true true true true true true true true true true true true2 étant premier, on déclare non premiers les multiples de 2 :
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
true true false true false true false true false true false true false true false true false true false true false true false true false true false tru = = = = =30 e false=3 étant premier, on déclare non premiers les multiples de 3 :
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29true true false true false
true false false false true false true false false false true false true false false false true false true false false false = = = =30 true false= = A ce stade, nous savons déjà que 4 n"est pas premier, ainsi que tous les multiples de 4. Il nous reste à noter comme non-premiers les multiples de 5 :2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 2
true true false true false true false false false true false true false false false true false true false false false true false false false false false = = = =9 30 true false= =Le tableau de vérité est alors correct. En effet, il est inutile de s"intéresser à un nombre tel que 6 dont le
carré 36 est supérieur à 30 : si un nombre n"est pas premier, l"un au moins de ses diviseurs est inférieur ou
égal à sa racine carrée.
Nous en déduisons la liste des nombres premiers inférieurs à 31 : []2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés JLH 18/11/2007 Page 2 sur 2Algorithme
Écrire un algorithme qui réalise le crible d"Ératosthène et traduire cet algorithme en langage MAPLE.
On s"attachera en particulier à ne pas réaliser de multiplication (et encore moins de division). En effet, ces
opérations sont très coûteuses en temps machine.Enfin, on veillera à ne pas réaliser de tests inutiles. Le programme devra être optimisé.
Complément
Soit *nÎ? et nP l"ensemble des nombres premier inférieurs à n. Pour les " grands nombres », le cardinal
de nP est très bien approché par ( )ln nf nn= et encore mieux par ( )ln 1 ng nn=-. Étudier expérimentalement, sans démonstration, le comportement des suites Cardn f n