1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
M´ethode : Pour montrer qu’une famille a` n el´ ´ements est li ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que´ le nombre de pivots est < a` n; cela fournit en meme temps une base de l’espace ˆ Exercice 6 1) Montrez que la famille F = ((1,1,1,1),(2,1,−1,0),(4,3,1,2)) est liee, et trouver une base de´ l’espace engendre par cette
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1 Montrer que f est impaire et continue sur 2 Montrer que f est de classe C1 sur 3 Donner le tableau des variations de f 4 (Q GpGXLUH O¶H[LVWHQFH G¶XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire Correction 1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ° z
1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
C'est ce qu'il fallait montrer Le cas des isomorphismes est évidemment le plus favorable pour ce qui est de préserver les caractères libre et générateur des familles Corollaire 1 8 Si u: EFest un isomorphisme entre R-espaces vectoriels alors l'image arp u d'une aseb de Eest une aseb de F
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S
´eance Alg`ebre Lin´eaire : corrections.
Remarque g
´en´erale :les exercices qui suivent ne pourront sans doute pas tousˆetre trait´es dans les 3
heures; mais un certain nombre pourraˆetre cherch´e`a la maison.
1 Montrer qu"un espace est (ou n"est pas) un espace vectoriel
une intuition de ce qu"est un espace-vectoriel (non courbe, non born´e, contenant 0). Pour montrer que
En"est pas un espace vectoriel, on peut montrer que0/?E, ou qu"il existeaetbdansEaveca+b non dansE, ou en montrant qu"il existea?Eavecλa /?Epour un certainλ?R. Exercice 1Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels : a)E={(x,y,z)?R3:x2+y2+z2= 1}. b)F={(x,y,z)?R3:x+y+z= 0oux= 0} c)G={f:R→R:?10f2(x)dx= 1}.
d)Hest l"ensemble des matrices de taille2×2inversibles.Correction
a)(0,0,0)/?E. b)(0,1,0)?F,(1,-1,0)?F, et la somme(1,0,0)/?F. pour c) et d), regarder l"´el´ement nul.
Exercice 2SoitEunR-espace vectoriel, etAetBdeux parties deE. Montrez l"´equivalence entre (i) et (ii) : (i)A?Best un s.e.v. deE. (ii)A?BouB?A. Correction(ii) implique facilement (i). Si (i) vrai et pas (ii), on peut trouvera?Aetb?Bavec a /?Betb /?A. Mais alorsa+b?A?B: faire deux cas et arriver`a une contradiction. -M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :on peut montrer queEest un sous-espace vectoriel d"un espace dont on sait qu"il est un espace vectoriel. Exercice 3Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels : a)F={f:R→R:?10f(x)dx= 0}.
b)G={f:R→R: limx→+∞f(x) =f(1)}. c)H={(un)n?N:un+un+1= 2un+2}. d)H={f:R→R: 2π-p´eriodique}. CorrectionOn sait que l"ensemble des fonctions deRdansRest un espace vectoriel : reste`a mon-trer (pour a), b) et d)) queF,GetHcontiennent 0 et sont stables par combinaisons lin´eaires (facile).
Pour b) similaire.
1-M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :on peut montrer queEpeut s"´ecrire
V ect(...).
Exercice 4Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels, dont on pr´ecisera une
base : a)E={(x,y,z,t)?R4:x+y+z= 0,y+ 2z+t= 0}. b)Gest l"ensemble des matrices carr´ees de taille 3 dont la diagonale est nulle. Correctiona) On trouverE=V ect((-1,1,0,1),(-1,0,1,-2)).b)Gest engendr´e par les matrices dont les coefficients sont nuls, sauf un des coefficients, non sur la
diagonale, qui est´egal`a 1.
-M´ethode :Pour montrer qu"un espaceEest un espace vectoriel :EcrireEcomme le noyau d"une application lin´eaire.
2 Ecritures
´equivalentes d"un espace vectoriel
M´ethode :On peut´ecrire un espace vectoriel sous forme d"´equations ou sous la forme de Vect(...). Il
faut savoir passer d"une forme `a l"autre.- SiE={(x1,...,xn)v´erifiantcertainesequations...};on´eliminecertainescoordonn´eesde(x1,...,xn)
a l"aide des´equations. - SiE=V ect(u1,...,uk); on´ecritx?Esi et seulement si il existe un uniquea1,...,aktel que x=?aiui. On r´esoud alors le syst`eme pr´ec´edent (`a param`etrex).Exercice 5
a) Ecrire sous forme d"´equations l"espaceE=V ect{(1,1,1),(0,1,0)}.
b) Ecrire sous forme de Vect l"espaceE={(x,y,z) :x+y+z= 0}. Correctiona) On trouverE={(x,y,z) :x=z}. Pour b) on trouveE=V ect((1,0,-1),(0,1,-1)).3 Famille libre, li
´ee,base
M´ethode :Pour montrer qu"une famille`an´el´ements est li´ee, on peut effectuer un pivot, et montrer que
le nombre de pivots est<`an; cela fournit en mˆeme temps une base de l"espace.Exercice 6
1) Montrez que la familleF= ((1,1,1,1),(2,1,-1,0),(4,3,1,2))est li´ee, et trouver une base de
l"espace engendr´e par cette famille.
2) Trouver le param
`etrekr´eel tel que la familleH= ((1,1,1),(1,2,3),(1,-2,k))soit li´ee. CorrectionPour 1), une base est((1,1,1,1),(2,1,-1,0)). Pour 2), on trouvek=-5. M´ethode :Pour montrer qu"une famille est libre, on´ecrit qu"une combinaison lin´eaire`a coefficients
quelconques de cette famille est nulle, et l"on montre qu"alors les coefficients de cette combinaison sont
2 nuls. Exercice 7Montrez que les familles suivantes sont libres :1)F= (ex,ln(x),x), famille de l"espace des fonctions deR?+dansR.
2)H= ((1,0,-1),(0,1,2),(1,1,2)).
3) Si(e1,...,en)est une famille libre, montrez que(f1,...,fn)est libre, o`uf1=e1,f2=e1+e2, ...,
f i=e1+...+eipouri= 1,...,n. CorrectionPour 1) Sia.ex+b.ln(x)+c.x= 0pour toutx >0: on divise parexpuis on fait tendrexvers+∞d"o`ua= 0. Puis on prendx= 1, d"o`uc= 0. Puis en prenantx= 2,b= 0. Pour 2) simple r´esolution
de syst `eme. Pour (3), on utilise la d´efinition de libre, et on r´esoud. M´ethodePour montrer qu"une famille est une base : si on est en dimension finie, on montre que c"est
une famille libre den´el´ements d"un espace de dimensionn. Sinon, on ecrit l"espace comme Vect de la
famille en question. Exercice 8Montrez que la famille suivante est une baseF= (?0 1
1 0? ,?1 0 0 0? ,?0 0 0 1? famille de l"espace des matrices sym´etriques carr´ees de taille 2.
CorrectionSi l"on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le syst`eme est libre.
Exercice 9SoitF={(
(a b c 0d e 0 0f) ):a,b,c,d,e,fr´eels}. Montrer queFest un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension.CorrectionOn trouve 6 pour la dimension. Cet espace est engendr´e par les matrices`a coefficients nuls sauf
un coefficient, non en dessous de la diagonale, qui est 1.4 Inverse d"une matrice
M´ethode :Pour trouver l"inverse d"une matrice, soit on utilise la m´ethode du pivot, soit on utilise une
equation polynˆomiale v´erifi´ee par la matrice....Exercice 10
1) SoitA=(
(1 0 2 0-1 11-2 0)
). CalculerA3-A. En d´eduire queAest inversible, et calculer son inverse.2) SoitAune matrice carr´ees de taillentelle queA3+A2+In= 0. Montrez queAest inversible et
trouver son inverse.Correction1) On trouverA3-A= 4I3. DoncA(A2-I2)4
=I3d"ou l"inversibilit´e et l"inverse deA. Pour2) on remarqueA(-A2-A) =I3d"o`u l"inverse deAest-A2-A.
3Exercice 11
SoitAune matrice carr´ee d"ordre 2`a coefficients dansR.1) Montrer queA2-tr(A)A+det(A)I2= 0.
2) En Supposant queAest inversible, calculer l"inverseA-1deA.
CorrectionPour 1) simple calcul. Pour 2) m´ethode similaire`a l"exercice pr´ec´edent. 5 R´esolution d"un Syst`eme lin´eaire
M´ethode :La principale difficult´ee pour les´etudiant est d"´eviter de faire disparaˆıtre une´equation par
des manipulations non autoris ´ee. Une bonne mani`ere de travailler cela est de consid´erer des syst`emes`a pa- ram `etres, qui synth´etisent une bonne partie des difficult´es. Exercice 12D´eterminer les valeurs du r´eelatel que le syst`eme suivant : x+y-z= 1 x+ 2y+az= 22x+ay+ 2z= 3
i) n"admet pas de solution ii) admet une et une seule solution iii) admet une infinit´e de solutions.
CorrectionCe syst`eme admet une et une seule solution si et seulement siaest diff´erent de3et de-2,
n"admet pas de solution poura=-2et admet une infinit´e de solutions poura= 3.Exercice 13D´eterminer les valeurs des r´eelsa,b,ctel que le syst`eme suivant admet au moins une
solution : x+ 2y-3z=a3x+ 8y-14z=b
2x+ 4z=c
CorrectionSi et seulement sic-8a+ 2b= 0.
6 Calcul de Puissancen-`eme de matrice
M ´ethode :Calculer la puissancen-`eme d"une matrice : - On ´ecrit la matriceM=A+BavecAB=BAet on utilise la forume de binˆome de Newton, en esp´erant que pourkassez grand,AkouBksoit nul.
- On tente de deviner l"expression deMken regardant les premiers termes, puis l"on fait une r´ecurrence
(ceci est particuli `erement facile si la matriceMest solution d"un´equation alg´ebrique). 4Exercice 14
1) SoitA=?3 2
-2 2? . Montrer queAn=13 ?2n+2-(-1)n2n+1-2(-1)n -2n+1+ 2(-1)n-2n+ 4(-1)n?2) SoitA=(
(1 1 3 0 1 20 0 1)
). CalculerAnpour tout entiern. CalculerA-1.CorrectionPour 1) r´ecurrence. Pour 2), on´ecritA=I3+N, o`uNnilpotente, et on utilise le binˆome
de Newton. On trouveAn=( (1n n2+ 2n0 1 2n
0 0 1)
). PourA-1on trouve( (1-1-1 0 1-20 0 1)
), en faisant une analogie avec le D.L. de11+x...
7 Calcul de Noyau, d"image
M´ethode :D´eterminer l"image d"une application lin´eaire. Ecrire sous forme de Vect l"image d"une ap-
plication lin ´eaire : ecrire Imf=Vect{f(e1),...,f(en)}o`u(e1,...,en)est une base de l"espace de d´epart; pour trouver une base de cet espace, effectuer par exemple un pivot. M´ethode :D´eterminer le noyau d"une application lin´eairef: r´esoudre l"´equationf(x) = 0.
Exercice 15Trouver une base de Imfet de Kerf, avec :