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FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1
1 Montrer que f est impaire et continue sur 2 Montrer que f est de classe C1 sur 3 Donner le tableau des variations de f 4 (Q GpGXLUH O¶H[LVWHQFH G¶XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire Correction 1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ° z
1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
C'est ce qu'il fallait montrer Le cas des isomorphismes est évidemment le plus favorable pour ce qui est de préserver les caractères libre et générateur des familles Corollaire 1 8 Si u: EFest un isomorphisme entre R-espaces vectoriels alors l'image arp u d'une aseb de Eest une aseb de F
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FONCTIONS DE CLASSE C1
La notion de classe
1Cpour une fonction est
présente en analyse (étude de fonctions numériques à une variable réelle, intégrations par parties) et en probabilités (fonction de e variable aléatoire à densité). de plusieurs exercices, nous allons travailler cette notion.Ces exercices nous permettront
(continuité, dérivabilité, limites, dérivées). Cours1) Définition
Une fonction numériqueféfinie sur un intervalleIest dite de classe 1 Csi elle est dérivable sur cet intervalle et si sa dérivée'fest continue sur cet intervalle.2) Propriétés
a) Si fetgsont deux fonctions de classe 1Csur un intervalleIalors les
fonctions fgetfgsont de classe 1CsurI͘
Si de plus
gI, alors f g est de classe 1CsurI.
b) Si fest une fonction de classe 1Csur un intervalleIet si gest une
fonction de classe 1Csur un intervalleJfI ,alors
la fonction gffest de classe 1CI͘
Remarque.
La fonction
fétant de classe 1CI, elle est dérivable donc
continue sur cet intervalle.FONCTIONS DE CLASSE
C 1 (théorème des valeurs intermédiaires), on peut donc affirmer que fIest un intervalle.Exercice 1
On considère la fonction numériquefde la variable réellextelle que0 si 0
sinon lnx fx x x 1) f.2) La fonction
f est-elle dérivable en 0 ?3) Justifier que la fonction
fest de classe 1Csur 0,1.
4) Dresser le tableau des variations de la fonction
f. (On y fera apparaître les différentes limites et la valeur defe)On considère la suite
vtelle que 0 3vet 1 ,ln n n n vnvv 1 ln n v, n 1n v, n5) Montrer que
n nve , n ve, n v, n6) Justifier que la suite
vconverge et déterminer sa limite.Correction
1. lnx x existe si et seulement si 0xet ln 0x. lnx x existe si et seulement si 0xet 1x.0fexiste donc la fonctionfest définie sur 0,1 1,1,
2. Pour
001ln0,1 , 00ln
x x fx f xxxxx puisque 0 limln x xLa fonction
fest donc dérivable en 0 et'0 0fFONCTIONS DE CLASSE C110
3. La fonctionfest de classe
1Csur0,1et sur1,comme quotient de
fonctions de classe 1C0,1 et sur
1,.Pour établir le caractère
1Cde la fonctionfsur chaque
intervalle ouvert on utilise les théorèmes généraux rappelés en début de chapitre. 22 211lnln 1 1 10,1 1, , 'ln(ln )ln lnxx
xxxfxxxxx 0 limln x x donc 01lim 0ln
x x et 201lim 0ln
x xFinalement
0 lim ' 0 ' 0 ' x fx f f continue en 0.La fonction
fest de classe 1Csur0,1.
4. 221ln 1ln 10,1 1, , 'ln lnxx
xxxfxxx est du signe de ln 1x : ln 1 0 ln 1xxxe ln 1 0 ln 1xxxeLa fonction
fest dérivable donc continue en 0 : 0 lim 0 0 x fx f 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx 1 1 1 lim 1 limlim ln 0 x x x x fxx11FONCTIONS DE CLASSE C1
lnlim 0 x x x (Limite usuelle)lim x fx x 0 1 e 'fx - - 0 + fx 0 e5. Montrons le résultat par récurrence. On note
nPn v e
Initialisation :
03ve , puisque 2.718e.
Hérédité : on suppose que pour un
0n, n ve et on veut montrer que 1n ve Si n ve, alors 1nn fv v fe e car la fonctionfest croissante sur ,e.Conclusion :
n nve , n ve, n v, n 6. 11ln,ln ln
nn nn nn nn vvnvv vvvv nn1n1 v, n vv 1 nn1 1 0 ln 1 1 ln 00 ln 1 0 n nn nnn nn ve ve v v v v ve vLa suite
n vest décroissante et minorée par e : elle converge vers un réel Le. 1 ln n n n vvv . On passe à la limite quand ntend vers : lnLLL car la fonction lnest continue en Le.On a donc
ln 0 1 ln 0 0lnLLLLLLLLL ou Le. CommeLe, on a Le : la suite
n vconverge vers e.FONCTIONS DE CLASSE C112
Exercice 2
Soit f par :
2 1si 0 0si 0 x exfxx x 1.Montrer que f est impaire et continue sur
2.Montrer que f est de classe
1Csur .
3.Donner le tableau des variations de f.
4. f impaire.Correction
1. La fonction
fest définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc ,xx ,x,x,. 2211 si 0
0 si 0
xx eexfx fxxx x : f est impaireLa fonction
2 1 x xe 2 1 x eest continue sur comme composée et différence de fonctions continues sur , par conséquent la fonctionfest continue sur ,0et sur 0,comme quotient de fonctions continues dont le les.Continuité en 0 :
2 2 00 11 xx exe x 2 2 00 1 x x1xe, on a donc 2 000 lim lim 0 0 xx xfx x fx x fx 2 0 x x 0 x xce qui assure la continuité de la fonction fen 0.Conclusion : la fonction
fest continue sur2. La fonction
2 1 x xe 2 1 x eest de classe 1C sur comme composée et
différence de fonctions de classe 1Csur, par conséquent la fonctionfest
de classe 1 Csur ,0et sur 0,comme quotient de fonctions de classe 1 Cs.13FONCTIONS DE CLASSE C1
Etude en 0
a) Dérivabilité en 0 Pour 2 2000010, 1 lim 100
x x fx ffx fexxxx 00001li1li1lim
00La fonction
f est donc dérivable en 0 et'0 1f. b) Continuité de 'f en 0. 2222 22
211211,0 0, , '
xxx xe x eexxfxxx Pour x au voisinage de 0, 1 x exox donc 2 221 x exox 2