[PDF] Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle base E0 est ME0(b) = tP M E(b)P 2 1 3 Forme bilin´eaire et dualit´e Soit b: E × E → Kune forme bilin´eaire sym´etrique Pour tout x ∈ E, l’application b(·,x) : E −→ K y 7−→ b(y,x) est une forme lin´eaire sur K, c’est `a dire un ´el´ement du dual E∗ Proposition 2 6

Université Claude Bernard Lyon 1

Esera un espace vectoriel (en général de dimension finie) et bune forme bilinéaire symé-trique de forme quadratique associée qsur E Le corps de base est de caractéristique différente de 2 et sera souvent R ou C selon le contexte Question 1 FDonner trois exemples de formes bilinéaires symétriques Un, en terme de coor-

The Batalin-Vilkovisky Algebra on Hochschild Cohomology

d’une algèbre associative unitaire munie d’une forme bilinéaire symétrique non dé-générée La structure d’algèbre de Gerstenhaber induite est celle introduite dans l’article originel de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild On étend ce résultat au cas d’une algèbre A-infinie unitaire munie d’une forme

Méthode d’éléments finis pour la résolution numérique de

forme bilinéaire symétrique définie sur Vh par 0zn [JrhJrh qh (x) qh (y) Log dyh (x) dyh (y) L'erreur commise en remplaçant qh par q proviendra donc, d'une part de l'approximation de q par une fonction qh de Vh, d'autre part de l'appro-ximation de la frontière T par TA a) Choix de F approximation Fh

A2013 MATH - AlloSchool

2) Montrer que pour tous a,b 2 Rn⁄, a›b est une forme bilinéaire sur Rn Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit symé-trique On rappelle que le rang d’une forme bilinéaire symétrique ’: Rn £RnR est égal au rang de la matrice ¡ ’(ei,ej) ¢ 1Éi,jÉn où (ei)1ÉiÉn est une base quelconque de Rn 2

Chapitre 2 Formes quadratiques - Claude Bernard University Lyon 1

théorie part du bon pied En effet, dans ce cas, il est équivalent de définir une forme quadratique q sur E et une forme bilinéaire symétrique b sur E ⇥E via les formules b(x,y)= q(x+y)q(x)q(y) 2,q(x)=b(x,x) L’étude des formes quadratiques se ramène alors à celle des formes bilinéaires symé-triques

L HALPERN 13 septembre 2005

En particulier les fonctionnelles de la forme J(u) = a(u;u), où a est une forme bilinéaire symé- trique continue sur V sont -convexes si et seulement si 8u 2 V;2a(w;w) > kwk 2

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - École Polytechnique

Sur l’espace R[X] des polynômes à coefficients réels, on considère la forme bilinéaire (on ne demande pas de vérifier que c’est une forme bilinéaire) définie par 8P,8Q : = Z +1 0 P(x)Q(x)e xdx Question II 2 Montrer que c’est un produit scalaire

Sujet de mathématiques II TSI 2007 - AlloSchool

Partie II - Endomorphismes invariants d’une forme quadratique II A - Forme quadratique associée à une matrice symétrique II A 1) a) Montrer que, pour toute matrice symétrique réelle , on définit une forme bilinéaire symétrique en posant On notera la forme quadratique associée

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Jonathan Eyal Europe Correspondent O nly a few years ago, shestruggled to get the minimum of 500 signa-tures required to get her name on the ballot

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Chapitre 2

Formes bilin´eaires sym´etriques,

formes quadratiques

2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques

Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.

2.1.1 D´efinition

D´efinition 2.1

Une application

b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).

On dit quebestsym´etriquequand

?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.

Exemples:

1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 5

6CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

2.

E=R2. Le produit scalaire usuel

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.

E=C([-1,1],R). L"application

C

0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R

(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.

E=Mn(K). L"application

M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).

2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique

On suppose

Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.2

La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.

Exemple:µ3 1

1-2

est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etrique

µµx1

x 2 ,µy1 y

2

?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.

2.1. FORMES BILIN

´EAIRES SYM´ETRIQUES7

Rappel : Changement de base.

D´efinition 2.3

La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.

Proposition 2.4

Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)

La matrice de

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est M

E?(b) =tP ME(b)P .

2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e

Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.

Proposition 2.6

L"application

b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.

D´efinition 2.7

Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.

8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.

Proposition 2.8

Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).

2.1.4 Orthogonalit´e

Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.9

SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2