FONCTION EXPONENTIELLE
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I que la fonction exponentielle ne s'annule jamais Or, par définition, donc pour tout x, Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante 3) Limites en l'infini Propriété : et
Chapitre 3 : Fonction exponentielle
Chapitre 3 : Fonction exponentielle La naissance de la fonction exponentielle est le fruit d'un long murissement qui n'aboutit qu'à la fin du XVIIe siècle avec Euler Les applications de la fonction exponentielle, nous le retrouvons en économie (calculs des intérêts versés de façon continue), en biologie (mesure de la multiplication des
La fonction exponentielle complexe
DOCUMENT 15 La fonction exponentielle complexe La fonction exponentielle x → ex est d’une grande importance en analyse r´eelle Nous allons introduire ici diff´erentes g´en´eralisations de cette fonction au cas complexe et voir les analogies
Les nombres complexes Le point de vue géométrique
fonction exponentielle : ena =(ea)n • Pour les formules d’Euler, on développe la forme exponentielle : eiθ +e−iθ 2 = cosθ isinθ+cos(−θ)+isin(−θ) 2 = cosθ+isinθ+cosθ−isinθ 2 =cosθ eiθ−e−iθ 2i = cosθ+isinθ−cos(−θ)−isin(−θ) 2i = cosθ+isinθ−cosθ+isinθ 2i =sinθ 3 Ensemble des complexes de module 1 3 1
Nombres complexes - mathematiqueselodiebouchetfr
2 3 Notation exponentielle Dans la suite, on notera ei le complexe cos +isin outT nombre complexe znon nul s'écrit sous la forme exponentielle z= rei ; avec r>0 et réel
Sans titre - Université Paris-Saclay
L’exponentielle d’une matrice nilpotente est, en principe, facile a calculer C’est en particulier un polynome en t,puisque Si N est nilpotente d’ordre p, etN = I +tN + t2 2 N2 +···+ t(p1) (p1) N(p1) 6 1 2 Forme normale de Jordan Puisque l’on peut toujours triangulariser une matrice (sur C), et qu’alors la diagonale contient
Les nombres complexes - Partie II
E Calculer avec la forme exponentielle Question 1 [Solution n°11 p 22] Écrire sous forme exponentielle les nombres et Question 2 [Solution n°12 p 22] Calculer sous forme algébrique puis exponentielle En déduire les valeurs de cosinus et sinus Notation exponentielle 16
Nombres complexes Représentation géométrique Notation
géométrique-Notation exponentielle 3 Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3 1 Argument d'un nombre complexe non nul (O;⃗u,⃗v)est un repère orthonormé direct du plan complexe L'unité de mesure des angles est le radian z C*,z=a+bi M est l'image ponctuelle dez
Sujet et corrigé mathématiques bac s, specialité, Liban 2018
Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1¯i et 1¡i 2 Pour tout entier naturel n, on pose Sn ˘(1¯i)n ¯(1¡i)n a) Déterminer la forme trigonométrique de Sn b) Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse
[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+
[PDF] enlever ecriture scientifique casio graph 35+
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 35+e
[PDF] forme trigonométrique de
[PDF] comment faire une puissance sur une calculatrice casio graph 25+
[PDF] calculatrice ecriture scientifique en ligne
[PDF] confiance au travail définition
[PDF] confiance en soi au travail
[PDF] confiance définition
[PDF] la confiance au travail karsenty
[PDF] coalition
[PDF] management et confiance
[PDF] une petite paragraphe sur la liberté
Terminale SLes nombres
complexes -Partie II
OLIVIER LÉCLUSE
CREATIVE COMMON BY-NC-SA
Aout 20131.0
Table des
matièresObjectifs5
I - Module et argument d'un nombre complexe7 A. Définitions....................................................................................................7
B. Calculs de modules et arguments..................................................................11
C. Représentation géométrique.........................................................................12
D. Problème...................................................................................................12
E. Forme trigonométrique................................................................................12
F. Exercice......................................................................................................15
G. Déterminer un ensemble de points................................................................15
II - Notation exponentielle17 A. Propriétés des modules................................................................................17
B. Calculer avec les modules............................................................................18
C. Propriétés des arguments.............................................................................18
D. Notation exponentielle.................................................................................20
E. Calculer avec la forme exponentielle..............................................................25
III - Test final de la seconde partie27
Solution des exercices29
3Objectifs
Forme trigonométrique :
Module et argument, interprétation et propriétés Notation exponentielle 5I - Module et
argument d'un nombre complexeIDéfinitions7
Calculs de modules et arguments11
Représentation géométrique12
Problème12
Forme trigonométrique12
Exercice15
Déterminer un ensemble de points15
A. Définitions
Définition:Module et Argument
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé , on considère un point M d'affixe non nulle. On appelle module de et on note la mesure de la longueur . On a On appelle argument de et on note toute mesure en radians de l'angle orienté de vecteursComplément:Module d'un nombre complexe
Si alors
Si et sont les affixes respectives de deux points A et B, alors est l'affixe du vecteur etComplément:Argument d'un nombre complexe
Un nombre complexe a une infinité d'arguments, définis à près : Si est l'un d'entre eux, les autres sont de la forme où . On dit que est défini modulo et on note 7Exemple:Exemples
i-i2-21+i 1122Un nombre réel positif a pour argument 0. Un nombre réel négatif a pour argument . Un imaginaire pur a pour argument ou . On peut écrire
B. Calculs de modules et arguments
Q ue stio n 1
[Solution n°1 p 19]Calculer
Q ue stio n 2
[Solution n°2 p 19] On donne l'affixe du point A et l'affixe du point B. Calculer la distance ABQ ue stio n 3
[Solution n°3 p 19]Calculer
Indice :
Module et argument d'un nombre complexe
8Q ue stio n 4
[Solution n°4 p 19]Calculer
C. Représentation géométrique
Vous pouvez reprendre le visionnage de la suite du film Dimensions1 présentant les notions de module et d'argument à partir de la 9ième minute.D. Problème
Soient u et v deux nombres complexes distincts et de même module rQ ue stio n
[Solution n°5 p 20]Démontrer que est imaginaire pur
Indice :
On pourra montrer que
E. Forme trigonométrique
La propriété suivante de justifie aisément par les propriétés des symétries.Fondamental
et si et si Fondamental:Forme trigonométrique d'un complexeSoit un complexe non nul et un argument de
Alors et
L'écriture est appelée forme trigonométrique de1 - http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htmModule et argument d'un nombre complexe
9Complément:Démonstration
Considérons le point du cercle trigonométrique défini par Les vecteurs et sont colinéaires donc l'angle orienté est égal à l'angle orienté Par conséquent les coordonnées de sur le cercle trigonométrique sontSi est l'affixe de , on a
Mais on a donc
DoncModule et argument d'un nombre complexe
10Exemple
Soit On a DoncOn reconnaît dans la parenthèse et
Donc est la forme trigonométrique de
On en déduit que
F. Exercice
Q ue stio n
[Solution n°6 p 20]Déterminer une forme trigonométrique de
Indice :
Attention l'écriture donnée n'est pas une forme trigonométrique car ne peutêtre égal à -2 !
G. Déterminer un ensemble de points
Q ue stio n 1
[Solution n°7 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels queIndice :
On pourra considérer le point et
Q ue stio n 2
[Solution n°8 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels queQ ue stio n 3
[Solution n°9 p 21] Déterminer l'ensemble des points M d'affixe du plan tels que soit imaginaire purIndice :
est imaginaire pur si et seulement siModule et argument d'un nombre complexe
11Notation exponentielle
12II - Notation
exponentielleIIPropriétés des modules17
Calculer avec les modules18
Propriétés des arguments18
Notation exponentielle20
Calculer avec la forme exponentielle25
A. Propriétés des modules
Fondamental
Soit et deux complexes. Alors
Module du conjugué : Module d'un produit : . Module d'un quotient : Inégalité triangulaire :Complément:Démonstration
ce qui donne la première égalité puisque le module est positif. Puisqu'un module est positif, on en déduit que . On procède de manière analogue pour le quotient. L'inégalité triangulaire se justifie aisément grâce à la figure ci-dessous. 13B. Calculer avec les modules
Q ue stio n
[Solution n°10 p 21] Soit un complexe différent de . Montrer que a pour module 1.C. Propriétés des arguments
Fondamental
Pour tous complexes et non nuls, on a :
Pour toutComplément:Démonstration
On note et
Donc on a et
Mais on a aussi , , ,
Donc Et puisque , on peut simplifier les modules pour avoirNotation exponentielle 14 doncEt de la même façon, on a
On en déduit que c'est à dire
car est réel d'où l'égalité La propriété sur se démontre par récurrence en s'appuyant sur la propriété précédente. Pour le quotient, on applique la propriété du produit avec et : donc ce qui donne la formule désirée.D. Notation exponentielle
Soit f la fonction à valeurs dans qui à tout réel associe a pour module 1 et pour argument si est un autre réel, alors le produit a pour module le produit des deux modules donc 1 a pour argument la somme des deux arguments donc DoncSi on dérive , on obtient
Ces deux analogies troublantes avec la fonction exponentielle que nous avons vu au chapitre précédent justifient l'emploi de la notation suivante :Définition:Notation exponentielle
Pour tout réel , on pose
Exemple
, ce qui est un résultat déjà connuComplément
Cette dernière égalité, que l'on peut écrire est parmi les équations les plus célèbres des mathématiques. Elle a l'extraordinaire particularité de lier l'analyse (avec la fonction exponentielle),la géométrie (avec ), l'algèbre (avec i), et l'arithmétique avec l'emploi des
nombres 0 et 1, le tout dans une formule simple et élégante. Elle fait intervenir les5 constantes les plus fondamentale des mathématiques : . C'est l'identité
d'Euler.Fondamental
Tout complexe non nul z s'écrit donc où
Notation exponentielle
15Complément
Sous cette forme, on retrouve aisément les propriétés des modules et des
arguments vu au début de cette section :Si et alors
On voit que pour multiplier deux complexes, on fait le produit des modules et la somme des arguments. On retrouve une formule analogue avec le quotient.E. Calculer avec la forme exponentielle
Q ue stio n 1
[Solution n°11 p 22] Écrire sous forme exponentielle les nombres etQ ue stio n 2
[Solution n°12 p 22] Calculer sous forme algébrique puis exponentielle. En déduire les valeurs de cosinus et sinus Notation exponentielle 16III - Test final de la
seconde partieIII Pour ce test d'auto-évaluation final, vous devez obtenir un minimum de 80% de bonnes réponses. En cas d'échec, révisez la section du cours qui vous a posé des difficultés et retentez à nouveau le test.Exercice 1
est égal à est égal à a pour module 2 et pour argumentExercice 2
L'ensemble des points M d'affixe tels que est :
un segment de droite un cercleégal à l'ensemble des points d'affixe
Exercice 3
L'ensemble des points M d'affixe telle que :
est la droite d'équation est réduit au point A image de a pour équation et 17Exercice 4
est imaginaire pur Vrai FauxExercice 5
Pour tout nombre complexe non nul , les points M d'affixe , N d'affixe et O sont alignés Vrai FauxTest final de la seconde partie
18Solution des
exercices > Solution n°1 (exercice p. 8) > Solution n°2 (exercice p. 8) Donc > Solution n°3 (exercice p. 8)Soit la mesure de l'angle , on sait que
Notre connaissance du cercle
trigonométrique nous dit que ouMais nous savons de plus que donc positif.
Cela nous permet d'exclure .
On conclut que
> Solution n°4 (exercice p. 8)Soit la mesure de l'angle , on sait que
19Notre connaissance du cercle
trigonométrique nous dit que ouMais nous savons de plus que donc négatif.
Cela nous permet de conclure .
On conclut que
> Solution n°5 (exercice p. 9) Multiplions le numérateur et le dénominateur par . On obtient alorsOr on sait que donc
et en simplifiant par r,Donc ce qui prouve que est imaginaire pur.
> Solution n°6 (exercice p. 10)Or on sait que et
(cela se lit sur le cercle trigonométrique).Solution des exercices 20On a donc .
Le module de est 2 et son argument est
> Solution n°7 (exercice p. 10) On considère les point et et et les affixes respectives. représente la distance AM représente la distance BM On recherche donc l'ensemble des points M vérifiant . Ces points sont par définition sur la médiatrice du segment > Solution n°8 (exercice p. 10) donc l'angleLe lieu des points M cherché est donc
la demi-droite représentée ci-contre en rouge, à l'exclusion du point O, l'affixe de ce dernier n'ayant pas d'argument. > Solution n°9 (exercice p. 11)On cherche de telle sorte que
En supposant , par le produit en croix, on obtient l'égalitéEn développant cette expression, on a
Ce qui donne en simplifiant ou
On cherche l'ensemble des points M vérifiant ou Il s'agit du cercle de centre O et de rayon 1, duquel on retirera le point > Solution n°10 (exercice p. 14) et sont conjugués. Ils ont donc même module. OrPuisque , on en déduit que
> Solution n°11 (exercice p. 16) Solution des exercices 21et . On en déduit d'après les valeurs remarquables du cercle trigonométrique que Donc et . On en déduit d'après les valeurs remarquables du cercle trigonométrique que Donc > Solution n°12 (exercice p. 16)
La forme trigonométrique de est donc .
Par identification avec la forme algébrique, on en déduit queSolution des exercices
22quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12