Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire
F HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche Méthode 9 : Montrer qu’une application est linéaire 1 La méthode
Ensembles et applications
(a) Montrer que Aet Bsont en bijection si et seulement si CardA= CardB (b) Montrer qu'il existe une application injective de Avers Bsi et seulement si CardA CardB En déduire qu'il existe au moins deux Montréalais avec le même nombre de cheveux (c) Montrer qu'il existe une application surjective de Avers B si et seulement si CardA CardB
Chapitre 5 Applications - univ-rennes1fr
Remarques -• L’´ecriture avec les quantificateurs est souvent plus commode pour montrer qu’une application est injective • L’expression”auplus” signifie qu’un´el´ementde F soit n’a pas d’ant´ec´edent, soit en a un Proposition 5 6 – Soit f : E −→ F une application L’application f est bijective si chaque
Applications linéaires - Mathématiques en ECS1
Méthode 19 2 (Montrer qu'une application est linéaire) Pourmontrer qu'une application fn'est pas linéaire, on met en défaut le point 2'a ou le point 2'b de la méthode précédente Pour cela, onexhibe un contre-exemple Méthode 19 3 (Montrer qu'une application n'est pas linéaire) L(E;F) est l'ensemble des applications linéaires de
IV Applications lin eaires
D e nition Une application lin eaire de Edans Fest une application f:EFtelle que pour tous vecteurs u;v2Eet tout scalaire 2K, f(u+ v) = f(u) + f(v), f( u) = f(u) Si F= Kon dit que fest une forme lin eaire Si F= E, fest appel ee un endomorphisme Pour montrer que fest une application lin eaire, il su t de v eri er que
1 Applications linéaires, Morphismes, Endomorphismes
Exemples 1) Soient Eet F deux espaces vectoriels alors l' application nulle , qui à tout x2Efait correspondre 0 F le zéro de F, est une application linéaire (véri cation laissée au lecteur) 2) L'application x72xest une application linéaire de R dans R En revanche, l'appli-cation carrée, x7x2, n'en est pas une 3) Pour x
15 Exemples fondamentaux d’applications différentiables
Alors toute application bi-linéaire continue B : E 1 ⇥ E 2 F est différentiable en tout point (a 1,a 2) 2 E 1 ⇥ E 2 et sa différentielle est l’application linéaire E 1 ⇥ E 2 F définie par (h,k) 7B(a 1,k)+B(h,a 2) 5) Plus généralement : Application multilinéaire continues Toute application multilinéaire continue L : E 1
Cours - Applications lineaires - Christophe Bertault
Définition (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels On appelle application linéaire de E dans F toute application f: E −→F qui préserve les combinaisons linéaires : ∀x, y ∈E, ∀λ,µ∈K, f (λx +µy)=λf (x)+µf (y) L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F)
Corrig´es d’exercices pour le TD 3 - Monteillet
2 Montrer que k· kp n’est pas une norme pour p∈]0,1[ 3 Montrer que k· kp est une norme pour p∈ [1,∞] 4 Montrer que pour tout x∈ Rn,kxkp → kxk∞ quand p→ +∞ Solution 1 Comme Bp est sym´etrique par rapport aux deux axes de coordonn´ees, il suffit de tracer le graphe de
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Chapitre 5
Applications
1. D´efinitions et exemples
D´efinition 5.1 -SoientEetFdeux ensembles. Une applicationfdeEdansFest un"proc´ed´e" qui permet d"associer `a chaque ´el´ementxdeEun unique ´el´ementydeF; cet
´el´ementyest alors not´ey=f(x), on l"appellel"image de x et on dit quexestunant´ec´edent
deyparf. On dit queEest l"ensemble de d´epart defet queFest l"ensemble d"arriv´ee de f.On notef:E-→Fouf:E-→F
x?-→f(x). L"ensembleG={(x,y)?E×F|y=f(x)}est appel´e le graphe def. Exemples -On d´efinit une applicationfen prenant :E={1,2,3}, F={1,2,3,4}, f(1) =f(2) = 1, f(3) = 4. Alors, l"image de 3 est 4 et 1 a deux ant´ec´edents :1 et 2.
32
1 4 3 2 1Diagramme sagittal
3214321
Diagramme cart´esien
L"application Logarithme : ln :R?+-→R
x?-→ln(x)L"application :R3-→R3
(x,y,z)?-→(2x+ 3y,x-y+z,y+ 5z) L"application appel´ee "premi`ere projection" ou "premi`ere coordonn´ee" : p1:R×R-→R
(x,y)?-→xL"application "identit´e" :IdE:E-→E
x?-→x Contre-exemples -Les ´enonc´es suivants sont faux ou incomplets : "L"application deCdansCqui associe `a chaquezdeCune de ses racines carr´ees complexes". "L"application deRdansRd´efinie parf(x) = 1/x"."L"applicationfd´efinie surZparf(x) =x2"
Composition des applicationsRemarques -On note souventF(E,F) l"ensemble des applications deEdansF.
On parle plus g´en´eralement de fonctions : une fonctionfd"un ensemble Edans un ensembleFassocie `a chaque ´el´ementxdeEun ´el´ement deF au plus; l"ensemble des ´el´ementsxdeEauxquels elle associe un ´el´ement ydeFest appel´e le domaine de d´efinition de la fonctionfet not´eDf. Sixappartient `aDf, l"´el´ementyqui lui est associ´e est not´ey=f(x). On peut alors construire l"application (encore not´eefpar abus de langage), f:Df-→F x?-→f(x)et c"est elle qu"on ´etudie en fait. Par exemple, si on parle de "la fonction r´eelle de la variable r´eelle d´efinie parf(x) = 1/x", on aDf=R?, et on ´etudie l"applicationf:R?-→R x?-→1/x.2. Egalit´e - Restriction - Prolongement
D´efinition 5.2 -Soientf:E-→Fetf1:E?-→F?deux applications. On dit qu"elles sont ´egales et on notef=f1si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :E=E?, F=F?et?x?E, f(x) =f1(x).
Exemples -Soientf:?R-→R
x?-→cos(x)etf1:?R-→R x?-→2cos2(x/2)-1Alors, on a f=f1.Les trois applicationsf:?R-→R
x?-→x2,g:?R-→R+ x?-→x2eth:?R +-→R x?-→x2, sont deux `a deux distinctes. D´efinition 5.3 -SoientEetFdeux ensembles,E1un sous-ensemble deE,f:E-→F etf1:E1-→F. On suppose que pour tout ´el´ementxdeE1, on af(x) =f1(x). Alors, on dit quef1estlarestriction def`aE1et quefestunprolongement def1`aE. On note f1=f|E1.
Exemple -Dans le deuxi`eme exemple ci-dessus,hest la restriction def`aR+, etfest un prolongement deh`aR. Mais l"applicationk:R-→Rtelle que (?x?R+, k(x) =x2et ?x?R?-k(x) = 0) est un autre prolongement deh. (Dessiner et comparer les graphes de ces trois applications). Remarque -Lorsquefest une application deEdansFetF1un sous-ensemble deF tel que pour tout ´el´ementxde E l"´el´ementf(x) appartienne `aF1, on consid`ere souvent l"applicationg:E-→F1 x?-→f(x). C"est le cas dans le deuxi`eme exemple pour les applicationsf etg, si on prendF1=R+. Exercice -Soitf:R+-→Rl"application donn´ee parf(x) = 1pour toutxtel que distincts def`aR. Quelle est la restriction def`a[0,1]? Trouver une application gdeR+dansNtelle que pour toutx?R+, g(x) =f(x). - 24 -Applications
3. Composition des applications
D´efinition 5.4 -Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. On d´efinit une application de E dans G not´eeg◦fen posant ?x?E, g◦f(x) =g(f(x)).On l"appelle application compos´ee degetf.
Remarques -Soientfetgdeux ´el´ements deF(E,E) ; les deux applicationsf◦get g◦fsont d´efinies, mais en g´en´eral elles ne sont pas ´egales. Par exemple, si on af:R-→R x?-→x2etg:R-→R x?-→2x, on obtientg◦f:R-→R x?-→2x2et f◦g:R-→R x?-→4x2et ces deux applications sont diff´erentes (prouvez le). On a (g◦f)◦h=g◦(f◦h) (lorsque cela a un sens). Soientfetgdeux applicationsf:E-→F,g:F1-→Go`uF1est un sous-ensemble deFtel que pour toutx?E, f(x) appartienne `aF1; soit f1:E-→F1
x?-→f(x). L"applicationg◦f1est souvent encore not´eeg◦fpar abus de langage. Exercice -SoitE={1,2,3}, f:E-→Eetg:E-→Eles applications d´efinies par f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 3. Calculerf◦f, f◦get g◦f. A-t-onf◦g=g◦f?4. Bijection - Injection -Surjection
Proposition et d´efinition 5.5 -Soitf:E-→Fune application.1 - On dit quefest une surjection ou quefest surjective si chaque ´el´ementydeFest
l"image d"un ´el´ement deEau moins, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equation
y=f(x) a au moins une solution dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?x?E, y=f(x)2 - On dit quefest une injection ou quefest injective si la proposition suivante est vraie :
?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?).c"est-`a-dire si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ement deEau plus, ou encore, si
pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a au plus une solution dansE.3 - On dit quefest une bijection ou quefest bijective si elle est `a la fois injective et
surjective. Preuve : on va d´emontrer l"´equivalence concernant l"injectivit´e.1) Supposons que tout ´el´ement deFadmette au plus un ant´ec´edent parf. Soientx
etx?deux ´el´ements deEtels quef(x) =f(x?). Posonsy=f(x). C"est un ´el´ement deFqui admetxetx?pour ant´ec´edents. Orya au plus un ant´ec´edent. Donc x=x?. On a montr´e que, si tout ´el´ement deFa au plus un ant´ec´edent parf, l"application fest injective.2) Supposons qu"il existe un ´el´ement deFqui n"admette pas au plus un ant´ec´edent
parf. Notonsyun de ces ´el´ements.ya (au moins) deux ant´ec´edents distinctsx etx?. Par d´efinition d"un ant´ec´edent, on af(x) =f(x?) =y. On a doncx?=x?et f(x) =f(x?). On a montr´e?(x,x?)?E2,(x?=x?etf(x) =f(x?)),c"est-`a-dire la n´egation de "?(x,x?)?E2,(f(x) =f(x?) =?x=x?)," c"est-`a-dire quefn"est pas injective. On a donc montr´e l"implication r´eciproque par contrapos´ee. - 25 -Etude des bijectionsRemarques -L"´ecriture avec les quantificateurs est souvent plus commode pour montrer
qu"une application est injective. L"expression "au plus" signifie qu"un ´el´ement deFsoit n"a pas d"ant´ec´edent, soit en a un. Proposition 5.6 -Soitf:E-→Fune application. L"applicationfest bijective si chaque ´el´ementydeFest l"image d"un ´el´ementxdeEet d"un seul, c"est-`a-dire si pour chaque ´el´ementydeF, l"´equationy=f(x) a une solutionxet une seule dansE, ce qui s"´ecrit : ?y?F,?!x?E, y=f(x)Remarques -Soitf:E-→Fune application.
Pour montrer quefn"est pas injective, il suffit de trouver deux ´el´ements distinctsxetx?deEtels quef(x) =f(x?). Pour montrer quefn"est pas surjective, il suffit de trouver un ´el´ementy deFqui n"a aucun ant´ec´edent.Exemples -
Soitvl"application de [0,1] dansRd´efinie parv(x) =x2-3x. Montrons quevest injective. Soientxetx?deux ´el´ements de [0,1]. Supposonsv(x) =v(x?). On a donc (x-x?)(x+x?-3) = 0, d"o`ux=x?oux+x?-3 = 0. Mais commexetx?sont a montr´e (?x,x??E,(v(x) =v(x?) =?x=x?)),doncvest injective. Maisvn"est pas r´eel strictement positif, l"´equationy=f(x) n"a aucune solution dans [0,1]. Soitu:R-→R+l"application telle queu(x) = 0 six <-1 etu(x) =x+ 1 six≥ -1. Les r´eels-1 et-2 sont distincts et ont la mˆeme image :u(-1) =u(-2) = 0. Doncu n"est pas injective. Montrons queuest surjective. Soityun r´eel positif. On veut montrer qu"il existe au moins un ´el´ementxdeRtel quey=u(x). Posonsx=y-1. On a alors x≥ -1 ety=x+ 1, doncy=u(x). On a donc montr´e que pour touty?R+, il existe au moins unx?Rtel quey=u(x), c"est-`a-dire queuest surjective.5. Etude des bijections
D´efinition 5.7 -Soitf:E-→Fune bijection. Alors, l"application deFdansEqui `a chaque ´el´ementydeFassocie l"unique ´el´ementxdeEsolution de l"´equationy=f(x) est appel´ee application r´eciproque defet not´eef-1. Remarque -Si f est bijective,x?Eety?F, il est ´equivalent de dire "xest un ant´ec´edent deypourf", "y=f(x)", "x=f-1(y)" ou "yest un ant´ec´edent dexpourf-1".Exemples -
Soithl"application de{1,2,3}dans{1,5,7}telle queh(1) = 5,h(2) = 1 eth(3) = 7; elle est bijective. Sa r´eciproqueh-1est l"application de{1,5,7}dans{1,2,3}donn´ee parh-1(1) = 2, h-1(5) = 1, h-1(7) = 3.Consid´erons la bijectionl:R-→R
x?-→x3. L"application r´eciproque delestl-1:R-→R x?-→3⎷ x.Exercice -Montrer que l"applicationh:R-→R
x?-→2x-1est bijective et d´eterminerh-1. Proposition 5.8 -Soitf:E-→Fune application bijective. Alors1)f-1est bijective et (f-1)-1=f,
2)f-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF
- 26 -Applications
Preuve : 1) Soitxun ´el´ement deE. On consid`ere l"´equationx=f-1(y)(dans laquelle l"inconnue estyet la donn´eex). On veut montrer que cette ´equation a une solution dansFet une seule. Par d´efinition def-1, cette ´equation ´equivaut `a l"´equation y=f(x). Elle a donc une seule solution et c"estf(x), d"o`u le r´esultat.2) Il faut montrer quef-1◦fest une application deEdansEet que pour
toutx?E, f-1◦f(x) =x. Or on af:E-→Fetf-1:F-→E, donc f -1◦f:E-→E. D"autre part, soitxappartenant `aE, et posonsy=f(x); on a alorsf-1◦f(x) =f-1(y) =xpar d´efinition def-1. D"o`uf-1◦f=IdE. On fait de mˆeme pour montrer quef◦f-1=IdF.La propri´et´e 2 de la proposition pr´ec´edente caract´erise l"application r´eciproquef-1. On a
en effet la proposition suivante : Proposition 5.9 -Soitf:E-→Fune application. On suppose qu"il existe une application g:F-→Etelle queg◦f=IdEetf◦g=IdF. Alors,fetgsont bijectives,g=f-1et f=g-1. Preuve : montrons quefest bijective. Soityun ´el´ement deF. On veut montrer que l"´equationy=f(x)(o`uxest l"inconnue,yla donn´ee) a une et une seule solution dansE. Sixest solution, on ag(y) =g◦f(x)et commeg◦f=IdE, on ax=g(y); inversement, six=g(y),xappartient `aEetf(x) =f◦g(y); commef◦g=IdF, on af(x) =y, doncxest solution. Il y a une solution et une seule et c"estg(y). De tout ceci, on d´eduit quefest bijective etg=f-1. Le reste de la proposition est une cons´equence de la proposition pr´ec´edente.