Géométrie groupe A : Puissance d’un point

Partie 1 Puissance d’un point par rapport a un cercle 1 a) On trace la ﬁgure ci-apr`es pour illustrer la situation b) Par construction, le point O est le milieu de [AA 0] donc [] est un diam`etre de C De plus, on a ´egalement B qui appartient a C donc le triangle ABA 0 est rectangle en Il s’ensuit que −−→ A 0 B et AB sont

Puissance d’un point - Mathniquecom

1 Puissance d’un point par rapport a un cercle - Axe radical de deux cercles - Position relative de deux cercles 1 1 Puissance d’un point par rapport a un cercle 1 1 1 Soit un cercle de centre O et de rayon r Soit un point M du plan Une droite passant par M coupe en deux points A et B On note A0 le point diam etralement oppos e a A sur

Puissance d’un point par rapport à un cercle O

Puissance d’un point par rapport à un cercle O n considère un cercle et un point P Une droite variable passant par P coupe le cercle en deux points éventuellement confondus M et M’ On s’intéresse au produit des distances PM PM’ Pour exprimer cette quantité, choisissons un repère centré au centre du cercle et tel que le point

Produit scalaire, puissance d’un point par rapport à un

2Puissance d’un point par rapport à un cercle Si A,B,Csont trois points alignés, on rappelle que ABAC, produit algébrique des longeurs ABet AC, est égal par déﬁnition à AB AC 2 1Déﬁnition et premières propriétés Déﬁnition 12 (et propriété) Soit un cercle de centre Ode rayon R Soit Mun point quel-conque du plan

Puissance dun point par rapport à un cercle

Puissance d'un point par rapport à un cercle Présentation de l'activité (C) est un cercle, M un point du plan et d une droite passant par M On se propose d'étudier le produit scalaire $\vec{MA} \vec{MB}$ où A et B sont les points d'intersection, lorsqu'ils existent, de la droite d et du cercle (C) Public / Niveau

1 Puissance d’un point par rapport a un cercle

La puissance et l’inversion A El Kacimi Soit (P; V) un plan ﬃ euclidien Si M et N sont deux points de P, la norme jj MNjj du vecteur MN sera not ee simplement MN (c’est la longueur du segment [MN]) 1 Puissance d’un point par rapport a un cercle Soient un cercle de centre O et de rayon ˆ > 0 et S un point de P Par S on m ene deux

Puissance d’un point - Corrig e

UNE DEMARCHE EXPERIMENTALE EN MATHEMATIQUES PUISSANCE D’UN

Mots clefs: démarche expérimentale, Mathématiques, essai, puissance d’un point par rapport à un cercle, produit scalaire Abstract – In our contribution we tried to develop and lead an experimental approach around the "power of a point on a circle " This sequence of teaching / learning took place during the execution of the course

Géométrie groupe A : Puissance d’un point

Géométrie groupe A : Puissance d’un point 13 mars 2021 1 Cours Déﬁnition 1 (Puissance d’un point) La puissance du point C par raport au

Puissance dune droite par rapport à un cercle

PUISSANCE DUKE DKOITE PAR RAPPORT A IV CERCLE ; PAR M L GRELIER En dualisant point par point la théorie de la puis-sance du point par rapport à un cercle, ainsi que celle des axes radicaux de deux cercles, nous sommes amenés à considérer : i° Le cercle comme un lieu de points; 2° Le cercle comme une enveloppe de tangentes; 3° La

Géométrie groupe A : Puissance d"un point

13 mars 2021

1 Cours

Définition 1.(Puissance d"un point)La puissance du point C par raport au cercle est la valeur

CBCD=CFCE=OC2r2

oùOest le centre du cercle etrle rayon. Elle ne dépend pas de la droite choisie.Démonstration.

dEDC=dCFBcar les pointsE;F;B;Dsont cocycliques. Puis- qu"ils partagent le même angle enC, les trianglesFBCetEDCsont semblables.

ConclusionBCFC

=CECD )BCCD=FCCE: Cette valeur est donc identique pour toutes les droites passant parCcoupant le cercle. Dans le cas limite où la droite est tangeante au cercle en E alors la puissance du point est égale àCE2:IciOE?EC. Par le théorème de Pythagore,OE2+ EC

2=OC2,OE2=r2. La puissance du point est donc aussi égale à

2=OC2r2:1

Remarque1.La puissance du point est nulle quand le point est sur le cercle.

On a la réciproque de la puissance d"un point

Proposition 1.Soit5pointsC;B;D;EetFtel que

BCCD=FCCE

alors les pointsB;D;F;Esont cocycliques. Dans plusieurs exercices, le jeu est comme pour la chasse aux angles de faire une chasse " à la puissance » pour montrer que des points sont cocycliques. Définition 2.(Axes radicaux)Soient1et2deux cercles. L"axe radical est l"ensemble des points tel que la puissance du point par rapport au premier cercle est égale à la puissance du point par rapport au deuxième cercle. Proposition 2.L"axe radical est une droite perpendiculaire au segment qui lie

les centre des deux cercles.Démonstration.SoitXsurO1O2tel que la puissance deXsur le premier cercle

(O1X2R2) est égale à la puissance sur le second cercleO2X2r2. SoitPsur la droite perpendiculaire à(O1O2)passant parX. On a alors O

1P2R2=O1X2+XP2R2=XP2+O2X2r2=O2P2r2:

La puissance dePpar rapport au premier cercle est bien égale à la puissance

par rapport au deuxième cercle.Proposition 3.Si les deux cercles se coupent enBetDalors l"axe radical est

égale à(BD).

2 Démonstration.Ici la puissance deBégale à0pour le premier cercle et pour le deuxième cercle. DoncBappartient à l"axe radical. Même chose pourD,D

appartient à l"axe radical.Théorème 1.(orthocentre)Les hauteurs d"un triangles se coupent en un point.Démonstration.On trace les trois cercles1,2et3de diamètre respective-

mentAB,BCetAC. Et on noteHA,HBetHCles pieds des hauteurs issues respectivement deA,BetC. PuisqueAHA?HAB,HAappartient à1. (Dans un triangle rectangle le diamètre du cercle circonscrit est égale à l"hypothénus.). Même chose pour les autres cercles2;3et les autres pointsHB;HC. On a alors que -HA21etHA23, -HB21etHB22, -HC22etHC23,

On en déduit alors que

- L"axe radicale des cercles1et3est égale à(AHA). - L"axe radicale des cercles1et2est égale à(BHB). 3 - L"axe radicale des cercles2et3est égale à(CHC). " Les hauteurs sont les axes radicaux associés aux cercles dont les diamètres sont les cotés du triangles. » On noteHl"intersection entre(AHA)et(BHB). Alors la puissance deH par rapport à1est égale à la puissance deHpar rapport à2qui est égale à la puissance deHpar rapport à3. On en déduit queHappartient également

à l"axe radical de2et3.

Conclusion les trois hauteurs(AHA);(BHB)et(CHC)se coupent enH.Proposition 4.(Des quadrilatères.)SoitF;C;B;DetD;B;E;Gdes quadri-

latères inclus dans des cercles. Les droites(FC);(BD)et(EG)se coupent un même point (ou sont parallèles) si et seulement si les pointsF;C;E;Gsont cocycliques.Démonstration.Supposons que les droites se coupent un pointA. Puisque la puissance enApour le premier cercle ne dépend pas de la droite on a que

ACAF=ABAD:

De même pour le deuxième cercle :

ABAD=AEAG:

ConclusionACAF=AEAGet donc (par la réciproque de la puissance

d"un point) les pointsC;F;E;Gsont cocycliques.Remarquer que dans la preuveu précédente on aurait pu aller plus vite en

disant queAappartient à l"axe radical des deux cercle et donc la puissance de Apar rapport à chacun des cercles sont égaux :ACAF=AEAG.

2 Exercices

Exercice 1.Deux cercles1et2se coupent enAetB. Une tangente commune à ces deux cercles les coupe respectivement enCetD. Montrer que(AB)coupe [CD]en son milieu. 4 Solution 1.La puissance deXpar rapport à1=XD2car(XD)est tangeant à1. De même la puissance deXpar rapport à2=XC2car(XC)est tangeant à2. PuisqueXest sur l"axe radical de1;2les puissances sont

égales. Conclusion

2=XD2:

Exercice 2.Soit ABC un triangle acutangle. La perpendiculaire à (AC) passant par B coupe le cercle de diamètre [AC] en P et Q, et la droite perpendiculaire à (AB) passant par C coupe le cercle de diamètre [AB] en R et S. Montrons que

P, Q, R, S sont cocycliques.Solution 2.On a appris que l"orthocentreHest le points d"intersections des

axes radicaux des cercles de diamètreAB,ACetBC. Les puissance deHpar rapport à chacun de ces cercles sont donc égales. En particulier

HPHQ=HRRS

et donc les pointsR;S;P;Qsont cocycliques (par la réciproque de la puissance d"un point). Exercice 3.Soit ABC un triangle et D le pied de la bissectrice issue de B. On note E le second point d"intersection du cercle circonscrit du triangle de BDC avec (AB) et F le second point d"intersection du cercle circonscrit du triangle

ABD avec (BC). Montrons que AE = CF.

5 Indication : On pourra utiliser la propriété des bissectrices : DAAB =DCCB )ADCB=ABDC:Solution 3.On calcule la puissance deApar rapport à2de deux manières différentes

AEAB=ADAC

Même chose pour la puissance deCpar rapport à1

CFCB=CDCA:

Alors AECF =ADACAB

CBCDCA=ADCBABCD= 1

où on a utiliser la propriété de la bissectrice de l"énoncé. ConclusionAE=CF. Exercice 4.Soit ABC un triangle, et H son orthocentre. Soit M un point de (CA), et N un point de (AB). Les cercles de diamètres [BM] et [CN] se coupent en P et Q. Montrer que P, Q et H sont alignés.

Solution 4..

Exercice 5.Soit ABC un triangle isocèle en B. Les tangentes en A et B au cercle circonscritGde ABC se coupent en D. Soit E le second point d"intersection de (DC) avecG. Prouver que (AE) coupe [DB] en son milieu. 6 Solution 5.Avec une chasse aux angles, on va montrer queBDest tangeant au cercle passant parD;E;A. PuisqueA;E;B;Csont cocycliques,dAEC=dABC: PuisqueDest l"intersection des tangeantesADBest un triangle isocèle. DoncdDBA=12 (180dADB) = 9012 dABC. DoncdADB=dABC:ConclusiondADE= dAECet alors(DB)tangeant au cercleADE. MaintenantXest sur l"axe radiale des cerclesABCetAED. Donc la puis- sance deXpar rapport au premier cercle =XB²est égale à la puissance par

rapport au deuxième cercle=XD2. DoncXD=XB.Exercice 6.: Un cercle coupe les trois côtés [AB], [BC] et [CA] d"un triangle

équilatéral ABC chacun en deux points, comme sur la figure ci-dessous. Montrer que la somme des longueurs des trois segments en gras est égale à la somme des trois segments en pointillés. Exercice 7.Soient A, B, C et D quatre points distincts alignés dans cet ordre. SoientG1 etG2 Les cercles de diamètres respectifs [AC] et [BD], qui s"intersectent en X et Y . On considère O un point arbitraire sur (XY ) qui ne soit pas sur la droite originelle. (CO) recoupeG1 en M, (BO) recoupeG2 en N. Montrer que (AM),(DN) et (XY ) sont concourantes. 7quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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