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RESISTANCE DES MATERIAUX

SOMMAIRE Chapitre 1 Chapitre 1 :::: INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1- But de la RDM 2- Principe du calcul de RDM 3- Hypothèses générales de la RDM 4- Efforts intérieurs (torseur de cohésion)

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Résistance des Matériaux - 3 - I S I T V Ce cours de résistance des matériaux a pour objectif d'approfondir la mécanique des solides élastiques, puis à partir de la mécanique des milieux continus, nous introduirons la

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RESISTANCE DES MATERIAUX 1 OBJECTIF DE LA R D M La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des éléments d’une construction (arbres de transmission, axes, bâtiments, ponts, ) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu’ils supportent les charges auxquelles ils sont soumis

Résistance des matériaux

S S Résistances des Matériaux – théorie des poutres Page 1 sur 4 I I I M Z Résistance des matériaux HYPOTHESES NECESSAIRES A LA THEORIE DES POUTRES : Matériau: Il est continu (à une échelle macroscopique tout le volume considéré est rempli de façon

RESISTANCE DES MATERIAUX (RDM) PREMIERE PARTIE

Résistance Des Matériaux Généralités A ZINE 2 Notion de poutre La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples

TD : Résistance des matériaux (torsion)

CPGE – PT Mr Pernot TD : Résistance des matériaux (torsion)

Travaux dirigés de résistance des matériaux

Résistance des matériaux Sommaire Travaux dirigés de résistance des matériaux 1

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- 1 -

RESISTANCE DES MATERIAUX

1 OBJECTIF DE LA R.D.M.

IM UpVLVPMQŃH GHV PMPpULMX[ HVP O·pPXGH GH OM UpVLVPMQŃH HP GH OM GpIRUPMPLRQ GHV pOpPHQPV G·XQH

construction (arbres de transmission, M[HV NkPLPHQPV SRQPV"B GMQV OH NXP GH GpPHUPLQHU RX

2 HYPOTHESES DE LA R.D.M.

IM UpVLVPMQŃH GHV PMPpULMX[ 5BGB0B VH NMVH VXU XQ ŃHUPMLQ QRPNUH G·O\SRPOqVHV simplificatrices :

ƒ Le matériau est :

o homogène : on admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points (matériaux parfaits sans défauts) o isotrope : on admet que les matériaux ont, en un même point, le même comportement dans toutes les directions (valable uniquement pour les matériaux non fibrés O\SRPOqVH QRQ YMOMNOH SRXU OH NRLV SMU H[HPSOH" ƒ Les pièces étudiées sont assimilables à des poutres Ń·HVP j GLUH : o grande longueur par rapport aux autres dimensions o forme droite (ou très faiblement courbée) o section constante (ou variant très progressivement) o H[LVPHQŃH G·XQ plan de symétrie dans le sens de la longueur. ƒ Les actions mécaniques sont comprises dans le plan de symétrie de la poutre ou sont symétriques par rapport à celui-ci. ƒ IHV GpIRUPMPLRQV VRQP IMLNOHV GRQŃ RQ VXSSRVH TXH OHV SRLQPV G·MSSOLŃMPLRQ GHV $B0B QH bougent pas après déformation.

A B A B

Avant déformation Après déformation F F

- 2 -

3 TORSEUR DE COHESION

$ILQ GH GpPHUPLQHU OHV HIIRUPV j O·LQPpULHXU G·XQH SRXPUH HIIRUPV GH ŃROpVLRQV LO HVP QpŃHVVMLUH GH

réaliser sur cette poutre une coupure fictive par un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne. La

poutre est alors divisée en deux parties appelées " Tronçons ».

Le torseur de cohésion PRGpOLVH O·MŃPLRQ PpŃMQLTXH G·XQH SMUPLH GH OM SRXPUH VXU XQH MXPUH

x x y z O G

Coupure

fictive y z (1) (2) y z O G z (1) y x Ty Tz N Mt Mfy Mfz 12 cohésion 1 Ext 2 Ext

4 CONTRAINTES LOCALES DANS LE MATERIAU

I·$B0B GH ŃROpVLRQ VH PUMGXLP HQ GLIIpUHQPV SRLQPV GH OM VHŃPLRQ pPXGLpH par des contraintes

locales.

Ces contraintes peuvent être de 2 types :

ƒ contraintes normales

, perpendiculaires à la section.

ƒ contraintes tangentielles

, parallèles à la section. section de la poutre

élément de

surface de la section et

V·H[SULPHQP HQ pascal (Pa) ou

en méga-pascal (Mpa)

1 Pa = 1 N/m2

1 MPa = 1 N/mm2

- 3 -

5 CARACTERISTIQUES MECU

6XLYMQP O·LQPHQVLPp GHV ŃRQPUMLQPHV TX·RQ OXL MSSOLTXH OH PMPpULMX j GHV ŃRPSRUPHPHQPV

différents :

ƒ déformations élastiques : le matériau se déforme sous la contrainte puis revient en

SRVLPLRQ LQLPLMOH ORUVTX·RQ VXSSULPH OHV HIIRUPVB

ƒ déformations plastiques : le matériau se déforme sous la contrainte et reste déformé

ORUVTX·RQ VXSSULPH OHV HIIRUPVB

ƒ rupture : sous la contrainte, le matériau se rompt. Pour caractériser chaque matériau, on utilise alors les paramètres suivants : ƒ E : module de Young ŃRHIILŃLHQP G·pOMVPLŃLPp ORQJLPXGLQMOH ƒ G : module de Coulomb ŃRHIILŃLHQP G·pOMVPLŃLPp PUMQVYHUVMOH ƒ Re : résistance élastique du matériau

ƒ Rp : résistance plastique du matériau

Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements) :

Matériau Re (MPa) Rp (MPa) E (MPa) G (MPa)

235 340 200 000 80 000

Acier spéciaux 700 930 200 000 80 000

Fonte 200 100 000 40 000

Aluminium (Duralumin) 200 330 72 000 32 000

5.1 R

1 Essai de traction

On choisira comme exemple un essai de traction. Cet essai est une expérience qui permet de

mesurer le degré de résistance à la rupture d'un matériau quelconque, indépendamment de la

forme de l'objet sollicité, ou la performance d'un assemblage mécanique. Cet essai consiste à placer une petite barre du matériau à étudier entre les mâchoires d'une machine de traction qui tire sur la barre jusqu'à sa rupture. On enregistre l'allongement et la force appliquée, que l'on convertit ensuite en déformation et contrainte. L'essai de traction donne plusieurs valeurs importantes, notamment : ƒ le module de Young E, ou module d'élasticité longitudinale ; ƒ la limite élastique 5H RX ǔH TXL VHUP j ŃMUMŃPpULVHU XQ GRPMLQH conventionnel de réversibilité ;

ƒ la limite à la rupture Rm RX ǔm.

2 Définition de la traction

Une poutre est sollicitée à la traction simple ORUVTX·HOOH est soumise à 2 efforts dits " normaux », directement opposés, qui

PHQGHQP j O·MOORQJHUB

0 00 00 CohG GR N T - 4 -

3 ssai de traction

Cet essai est réalisé sur une machine

TXL SHUPHP G·MSSOLTXHU PUqV

progressivement un effort de traction F sur une éprouvette MILQ G·pPXGLHU son allongement l.

On enregistre sur un graphe la

contrainte normale en fonction de

O·MOORQJHPHQP UHOMPLIB

La courbe fait apparaître 2 zones :

- Zone de déformation élastique - Zone de déformation plastique a) Zone OA : zone de déformation élastique

I·MOORQJHPHQP HVP SURSRUPLRQQHO j OM ŃOMUJHB 6L RQ VXSSULPH O·HIIRUP O·pSURXYHPPH UHSUHQG VM

longueur initiale. Le point A donne la résistance élastique du matériau. FHPPH ]RQH SHUPHP GH GpPHUPLQHU OH PRGXOH G·pOMVPLŃLPp ORQJLPXGLQMO E (module de YOUNG). Il

ŃMUMŃPpULVH O·MSPLPXGH GX PMPpULMX j VH GpIRUPHU et correspond à la pente de la droite OA. La

relation entre la contrainte et la déformation dans la zone élastique est donnée par la loi de Hooke

Remarque 2Q SHXP IMLUH O·MQMORJLH MYHŃ XQ UHVVRUP ) N[ où k serai la raideur du ressort. b) Zone AC : zone de déformation permanente ou domaine plastique avec rupture en C

La partie (AB) est la partie plastique. La limite élastique est dépassée. Si l'expérience est

interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de décharge est, de

manière simplifiée parallèle à la droite (OA).Lorsque l'effort appliqué s'annule, il persiste une

déformation résiduelle p qui ne disparaît plus. O - 5 -

6 TRACTION COMPRESSION

6.1 Relation Sollicitation Contrainte

Les contraintes normales

dans une section droite (S) sont normales (perpendiculaires) à la section et uniformément réparties. Elles ont pour valeur : S N

ƒ N : effort normal en N

ƒ S : surface de la section en m2

: contrainte normale en Pa La contrainte normale engendrée est identique dans toute la section : traction compression

6.2 Loi de comportement élastique : LOI DE HOOKE

Dans la zone OA, la contrainte

est proportionnelle à la déformation . G·MSUqV OM ORL GH +RRNH on a : .E

ƒ E : module de Young en Pa

: allongement relatif (sans unité) avec 0 L L

L : allongement absolu ou extension

ƒ L0 : longueur initiale de la poutre

7 CISAILLEMENT

7.1 Relation Sollicitation Contrainte

Les contraintes tangentielles

dans une section droite (S) sont tangentes à la section et uniformément réparties. Elles ont pour valeur : T S

ƒ T : effort tranchant en N

ƒ S : surface de la section en m2

: contrainte tangentiel en Pa La contrainte tangentielle engendrée est identique dans toute la section.

7.2 Loi de comportement élastique

ƒ G : module de Coulomb en Pa

ƒ : glissement transversal relatif

- 6 -

8 TORSION

8.1 Quelques expressions de moments quadratiques polaires

6 4aIG 12

22hbbhIG

32
4dIG 32

44dDIG

8.2 Relation Sollicitation Contrainte

GI Mt

ƒ Mt : moment de torsion en N·m

ƒ IG : moment quadratique polaire de la section en m4 : distance au centre de la section en m La contrainte tangentielle engendrée est nulle au centre de la section (fibre neutre) et est de plus en plus élevée

ORUVTX·RQ V·HQ pORLJQHB

8.3 Loi de comportement élastique

GIGMt

ƒ G : module de Coulomb en Pa

x : angle de torsion unitaire en rad·m-1

ƒ ǂ : angle de torsion en rad

ƒ x : longueur de la poutre en m

ƒ IG : moment quadratique polaire de la section en m4 x G

Fibre neutre

M - 7 -

9 FLEXION

9.1 Quelques expressions de moments quadratiques axiaux par rapport à un axe

12

4aIIGyGx

1212

33hbIbhIGyGx

64

4dIIGyGx

64

44dDIIGyGx

Remarque : Relation entre moment quadratique polaire et axial

IO = IOx + IOy

9.2 Relation Sollicitation Contrainte

yI Mf Gz z

ƒ Mfz : moment de flexion en Nm

ƒ IGz : moment quadratique de la

VHŃPLRQ SMU UMSSRUP j O·M[H *] HQ P4

ƒ y : distance par rapport à l·M[H *]

en m y z x y M G IM ŃRQPUMLQPH QRUPMOH HQJHQGUpH HVP QXOOH OH ORQJ GH O·M[H *] ILNUH QHXPUH HP HVP GH SOXV HQ SOXV pOHYpH ORUVTX·RQ V·HQ

éloigne.

9.3 Loi de comportement élastique

''fIEMfGzz

ƒ Mfz : moment de flexion en N·m

ƒ E : module de Young en Pa

ƒ IGz PRPHQP TXMGUMPLTXH SMU UMSSRUP j O·M[H ] GH OM section en m4 ƒ f : flèche (écart verticale par rapport à la position sans sollicitation) en m ƒ I·· GpULYpH VHŃRQGH GH OM IOqŃOH SMU UMSSRUP j O·MNVŃLVVH x

Pour RNPHQLU O·H[SUHVVLRQ GH OM

flèche, on intègre 2 fois la formule précédente. Les constantes qui apparaissent lors des intégrations sont déterminées grâce aux conditions aux limites. - 8 -

10 CONDITION DE RESISTANCE

10.1 Poutres classiques

Il y a résistance de la pièce à la traction si : ƒ Rpe : résistance SUMPLTXH j O·H[PHQVLRQ 0Pa)

ƒ Re : résistance élastique (MPa)

ƒ S : coefficient de sécurité.

Le coefficient de sécurité s permet de prendre en compte les défauts des matériaux utilisés qui

ont tendance à affaiblir les pièces. Ils sont donnés par le cahier des charges et sont souvent

VSpŃLILTXHV MX[ PpPLHUV MpURQMXPLTXH SRQPV NkPLPHQPV PpŃMQLTXHV")

10.2 Poutres non conformes aux hypothèses

Pour les poutres comportant des variations brusques de VHŃPLRQ JRUJHV UMLQXUHV ŃRQJpV SHUoMJHV" OM UpSDUWLWLRQ GH OD FRQWUDLQWH Qquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12