[PDF] Devoir de mathématiques n°8 EXERCICE 1 : Etudier la parité

Exercice N°1 Déterminer la parité des nombres suivants

Exercice N°1 Déterminer la parité des nombres suivants : ; ; ; ; sachant que est entier Exercice N°2 Soit n un entier naturel Montrer que : est paire En déduire que et ont la même parité Exercice N°3 1 Montrez que : est impaire pour tout n entier 2

Exercice N°1 Déterminer la parité des nombres suivants

Lycée Zineb Enafzauia Série d’exercices n°1 Année scolaire 2014/2015 Tronc commun International Professeur :Abdelmajid El Romani Abdelmajid EL Romani Exercice N°1 Déterminer la parité des nombres suivants :

N°1 - e-monsite

Soitn , étudier la parité des nombres suivants: 1) n(n 1) (Le produit de deux nombres consécutifs) 2) n (n 1) (n 2) 3) 4n2 4n 1 Exercice2 : Soient m et n deux nombres entiers naturels, tel que m n 1) Monter que m n et m n ont la même parité 2) Résoudre dans l’équation m2 n2 28 Exercice3 :

Devoir de mathématiques n°8 EXERCICE 1 : Etudier la parité

3 Etudier les variations de f sur ]1 ; 3] et sur[3 ; 5[, dresser et le tableau de variation de f et retrouver le résultat précédent Corrigé du devoir n°8 EXERCICE 1 : Dans chaque cas le domaine de définition est Ñ ou Ñ*, donc, pour tout x ∈ Ñ, – x ∈ Ñ ou pour tout x ∈ Ñ*, – x ∈ Ñ* a) f(1) = 5 et f(– 1) = 5

Série 1 : l ensemble et notions d arithmétique

2 Déterminer la parité des nombres suivants : an 32 3 n cn 21 7 d n n 2 31 Exercices 8: Etudier la parité é des nombres : a 2699 b u351 208 c 533 d u5: Etudier la parité é des nombres : an 12 8 bn 25 cn 46 d n n t8 7, 1 en 63 n 12 g n n 2 3 n 2 Exercices 10: Soit n un entier naturel On pose 2 a 55nn et 2 b 77nn Déterminer ab et ab

np 22 - PanaMaths

1 Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs 2 Soit n un entier relatif Montrer que l’on a : nnpair pair⇔ 2 3 Soit n et p deux entiers relatifs tels que : 3 5 152np22+ = Montrer que n et p sont de même parité Analyse Les deux premières questions sont classiques et doivent être connues (i e ne pas poser de

EXERCICE 1 1

2- Les nombres 451 et 625 sont-ils premiers entre eux ? justifier 3- Soit n un entier naturel a- Etudier la parité des nombres suivants : 2n²+4n+3 ;; (n+2)(n+3) b- Montrer que 7×5????+5????+1 est un multiple de 3 EXERCIE 3 : Soit ABC un triangle F est le milieu de [AC] et E le point tel que B soit le milieu de EC]

NOM : FONCTIONS 1ère S

Exercice 1 Parité Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes : f(x) = x+ 1 x définie sur R Pour comparer les nombres A et B,

Trigonométrie

E Parité des fonctions Sinus et Cosinus Fondamental La fonction est une fonction impaire La fonction est une fonction paire Complément : Démonstration Il suffit de se rappeler les propriétés fondamentales - p 28 de Sinus et Cosinus : et F Exemple de parité On considère Question 1 [Solution n°4 p 26] Déterminer la parité de f Indices :

~ Tronc Commun ~ L’ensemble des entiers naturels Notions sur

On considère les deux nombres x =1500 et y =840 1 Décomposer les nombres x et y en facteurs premiers 2 Déterminer x y∧ et x y∨ 3 Simplifier les nombres x et x y Exercice 16 : Déterminer tous les valeurs possibles de l’entier naturel n tel que 13 3 n n + + soit un nombre entier naturel Exercice 17 : Soit n un entier naturel 1

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Devoir de mathématiques n°8

EXERCICE 1:

Etudier la parité des fonctions suivantes :

a) f :

Ñ ¾¾® Ñ ; b) g : Ñ ¾¾® Ñ ; c) h : Ñ* ¾¾® Ñ .

x ½¾¾® x2 - 7 x ½¾¾® x

1 + x2 x ½¾¾® x2 + 1

x

EXERCICE 2

La courbe C

f représentant la fonction f définie sur [- 6 ; 6] est partiellement représentée ci-contre.

Sachant que f est impaire, compléter le tracé de C f en justifiant la méthode.

Donner le tableau de variation de f.

EXERCICE 3

Soit f la fonction définie sur

Ñ, par f(x) = - x2 + 4x - 1.

1. Montrer que, pour tout x Î

Ñ, f(x) = - (x - 2)2 + 3.

2. Montrer que f admet un maximum qu"on précisera.

3. Etudier les variations de f sur ]-

Dresser le tableau de variation de f.

4. Résoudre f(x)

5. Représenter graphiquement la fonction ci-dessous.

On fera un tableau de valeurs entre - 1 et 5.

6. Représenter sur le même graphique la fonction définie sur

Ñ par g(x) = 4x + 2.

7. Résoudre par le calcul f(x) < g(x).

-6-4-2246 -2 2 O A B C D e f

EXERCICE 4

Soit g la fonction définie sur ]1 ; 5[ par f(x) = - 2x

2 + 12x - 11

- x

2 + 6x - 5 .

1.a) Montrer que, pour tout x Î ]1 ; 5[, f(x) = 2 - 1

4 - (x - 3)

2 . b) Factoriser 4 - (x - 3) 2.

2. Justifier que f admet un maximum de

7

4 sur ]1 ; 5[ en une valeur qu"on précisera.

3. Etudier les variations de f sur ]1 ; 3] et sur[3 ; 5[, dresser et le tableau de variation de f et retrouver le résultat

précédent.

Corrigé du devoir n°8

EXERCICE 1

Dans chaque cas le domaine de définition est

Ñ ou Ñ*, donc, pour tout x Î Ñ, - x Î Ñ ou pour tout x Î Ñ*, - x Î Ñ*. a) f(1) = 5 et f(- 1) = 5.

Pour tout x Î

Ñ, f(- x) = (- x)2 - 7 = x2 - 7 = f(x), donc f est paire. b) g(1) = 1

2 et g(- 1) = - 1

2

Pour tout x Î

Ñ, g(- x) = - x

1 + (- x)2 = - x

1 + x2 = - g(x), donc g est impaire.

c) h(1) = 2 et h(- 1) = 0, donc h n"est ni paire, ni impaire.

EXERCICE 2

Car, puisque f est impaire, elle admet O comme centre de symétrie. x - 6 - 3 3 6 f 3 2 - 2 - 3

EXERCICE 3

1. Pour tout x Î

Ñ, - (x - 2)2 + 3 = - (x2 - 4x + 4) + 3 = - x2 + 4x - 4 + 3 = - x2 + 4x - 1 = f(x).

2. Pour tout x Î

f(x) = 3 si, et seulement si, - (x - 2)

2 + 3 = 3

si, et seulement si, - (x - 2) 2 = 0 si, et seulement si, (x - 2) 2 = 0 si, et seulement si, x - 2 = 0 si, et seulement si, x = 2, donc f admet un maximum de 3 en 2.

3. Pour tout x

d"où (x

1 - 2)2 > (x2 - 2)2 ≥ 0,

- (x - (x f(x f conserve l"ordre, donc f est strictement croissante sur ]-

Pour tout x

d"où 0 0 ≥ - (x1 - 2)2 > - (x2 - 2)2, 3 ≥ - (x1 - 2)2 + 3 > - (x2 - 2)2 + 3, 3 ≥ f(x1) > f(x2), f change l"ordre, donc f est strictement décroissante sur [2 ; + x f 3 si, et seulement si, - x si, et seulement si, x(- x + 4) x x - 0 + + - x + 4 + + 0 - x(- x + 4) - 0 + 0 - -6-4-2246 -2 2 O A B C D e f E F 5.

7. f(x) < g(x) si, et seulement si, - x

2 + 4x - 1 < 4x + 2

si, et seulement si, - x

2 - 3 < 0, ce qui est toujours vrai, donc f(x) < g(x) est toujours vrai.

EXERCICE 4

1.a) Pour tout x Î ]1 ; 5[, 2 - 1

4 - (x - 3)

2 = 2 ´ [4 - (x - 3)

2] - 1

4 - (x - 3)

2 = 2[4 - (x

2 - 6x + 9)] - 1

4 - (x

2 - 6x + 9) = - 2x

2 + 12x - 11

- x

2 + 6x - 5 = f(x).

b) Pour tout x Î ]1 ; 5[,4 - (x - 3)

2 = [2 - (x - 3)][2 + (x - 3)] = (- x + 5)(x - 1).

2. Pour tout x Î ]1 ; 5[, f(x)

4 si, et seulement si, 2 - 1

4 - (x - 3)2 - 7

4 si, et seulement si, 1 4 - 1 si, et seulement si, 4 - (x - 3) 2 - 4

4[4 - (x - 3)

si, et seulement si, - (x - 3) 2 x

- (x - 3)2 + + 0 + +

- x + 5 + + + 0 - x - 1 - 0 + + + - (x - 3)2

4(- x + 5)(x - 1) - + 0 + -

4 et f(3) = 7 4 , donc g admet un maximum de 7 4 en 3.

3. Pour tout x

4 > (x

1 - 3)2 > (x2 - 3)2 ≥ 0

- 4 < - (x

0 < 4 - (x

1

4 - (x

1 - 3)2 > 1

4 - (x

2 - 3)2 ≥ 1

4 - 1

4 - (x

1 - 3)2 < - 1

4 - (x

4 2 - 1

4 - (x

1 - 3)2 < 2 - 1

4 - (x

4 4 , f est strictement croissante sur ]1 ; 3].

Pour tout x

1, x2 Î [3 ; 5[ tels que : 5 > x1 > x2 ≥ 3, on a 2 > x1 - 3 > x2 - 3 ≥ 0

4 > (x

1 - 3)2 > (x2 - 3)2 ≥ 0

- 4 < - (x

0 < 4 - (x

1

4 - (x

1 - 3)2 > 1

4 - (x

2 - 3)2 ≥ 1

4 - 1

4 - (x

1 - 3)2 < - 1

4 - (x

4 2 - 1

4 - (x

1 - 3)2 < 2 - 1

4 - (x

4 donc f(x 4 , f est strictement décroissante sur ]1 ; 3].

On a donc :

x 1 3 5 f 7 4 et on retrouve bien le résultat précédent.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19