[PDF] « PETIT » BESTIAIRE D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES AVEC LEUR

Integral de Riemann sommes de Darboux v5 - Ge

D’où l’unicité de l’intégrale en cas d’existence Illustrations A, B et C IA Exemple d’une fonction en escalier (et d’une division de l’intervalle [a,b]) IB Approximation de l’intégrale de f par une somme minorante IC Approximation de l’intégrale de f par une somme majorante ƒ ab ƒ ab Définition

Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2

FIG 1 – Somme de Darboux inférieure (hachurée) et supérieure (hachuré plus blanc) de f(x) pour une subdivision équidistante d’ordre 4 de [a,b] Exercice 1 1 5 Montrer qu’en ajoutant un point x

ThéorèmedeDarboux - Claude Bernard University Lyon 1

Les images de l'intervalle [a;b] par les applications ’ et ˆ sont donc deux intervalles qui contiennent respectivement f 0 ( a ) et f 0 ( b ) etquisecoupentpuisqu'ilscontiennenttouslesdeux f ( b ) ¡f ( a )

Exo7 - Exercices de mathématiques

On appelle somme de Riemann inférieure relativement à s la quantité : Ss f:= å n k=1 m k (a k a k 1): De même, la somme supérieure de Riemann de f relativement à s est égale à Ss f:=å n k=1 M k(a a 1): La somme inférieure de Riemann de f est définie par : S f =sups S s f La somme supérieure de Riemann de f est définie par : S f

Intégrale de Riemann - Université Paris-Saclay

6 François DE MARÇAY, Département de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud sont associées premièrement la somme de Darboux inférieurerelativement à la subdivision: (f) := Xn k=1 xk xk 1 inf xk 16x6xk f(x) = Xn k=1 jIkjinf x2Ik f; a x1 x2 x3 xn 2 xn 1 b et deuxièmement la somme de Darboux supérieure: (f) := Xn k=1 xk xk 1 sup

Intégration - Licence de mathématiques Lyon 1

Est une somme de Riemann associe à sur 2 ∑ 2 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur 3 ∑ 2 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur 4 ∑ 4 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse

Chapitre24 SOMMESDERIEMANN Enoncédesexercices

De plus x2−2xcost+1= 0⇐⇒ x=cost sin2t=0 ⇐⇒ x=±1 t=0(π) ce qui est exclus par hypothèse On en déduit que la fonction ln x2−2xcost+1 est définie et continue sur [0,2π] Ainsi Df=R {−1,1} 2 On a Xn−1= n−1 k=0 X−e 2ikπ n 3 Calculer f(x)à l’aide de ses sommes de Riemann La somme de Riemann à gauche de fest S n

Exo7 - Exercices de mathématiques

Il faut se souvenir de ce que vaut la somme des n premiers entiers, la somme des carrés des n premiers entiers et la somme d’une suite géométrique La formule générale pour les sommes de Riemann est que R b a f(x)dx est la limite (quand n+¥) de S n = b a n n 1 å k=0 f a+k b a n : Indication pourl’exercice3 N 1 Revenir à la

Examples of Riemann Integration from the first principles

EXERCISE 2 Evaluate ∫ cosx dx π 2 0 from the first principles (III) L’hospital Rule More difficult problems employ the use of L’hospital rule or other properties on limit

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« petit » bestiaire d’exercices de mathÉmatiques avec leur corrigÉ, À l’usage de l’oral voire de l’Écrit de certains concours (agrÉgation externe,

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" PETIT » BESTIAIRE D"EXERCICES DE

MATHÉMATIQUES AVEC LEUR

CORRIGÉ, À L"USAGE DE L"ORAL

VOIRE DE L"ÉCRIT DE CERTAINS

CONCOURS (AGRÉGATION EXTERNE,

INTERNE & CAPES)

Version du 7 mars 2008

PATRICE LASSÈRE

UNIVERSITÉ PAUL SABATIER

Laboratoire de Mathématiques Émile Picard, UMR CNRS 5580,

31062, TOULOUSE Cedex 4, FRANCE. lassere@picard.ups-tlse.fr

jMODE D"EMPLOIj

Table des matières

partie 1.ALGÈBRE LINÉAIRE ET MULTININÉAIRE11

Chapitre 1.ALGÈBRE LINÉAIRE13

DansMn(C), tout hyperplan rencontreGLn(C). ....................................13 Dimension, bases et applications linéaires ..........................................14 Matrices et réduction ...............................................................14 Une équation matricielle dansM2(C)...............................................15 Histoire de matrices nilpotentes ....................................................15 Autour du commutant .............................................................15 Réduction des endomorphismes ....................................................17 Encore deux démonstration de Cayley-Hamilton ....................................18 Étude deM3(R)?B?→AB........................................................20 A

5+A3+A= 3IddansMd(C).....................................................20

Polynôme minimal et dimension du noyau ..........................................20 Étude de?:A?Mn(R)?-→?(A) =-A+tr(A)In.................................21 Espaces vectoriels, dimension, réduction des endomorphismes .......................22 Rayon spectral et décomposition de Dunford........................................22 Matrices nilpotentes ................................................................23 Matrice, comatrice et rang..........................................................23

Séries entières, algèbre linéaire .....................................................24

Matrices semblables, polynômes.....................................................24 Réduction des endomorphismes .....................................................25 Réduction des endomorphismes .....................................................25 Groupes, réduction des endomorphismes ............................................26 Inégalité, matrices, déterminant ....................................................26 Un théorème de Kronecker .........................................................27 Le commutant dansM2(K)........................................................29 Points isolés des solutions de l"équationX2=IndansMn(R).......................30 Sur l"équationsin(A) =B..........................................................31 Quelques propriétés topologiques deOn(R)etUn(C)...............................32 DansMn(R):AB+A+B= 0 =?AB=BA.................................32 Dual deMn(C), tout hyperplan deMn(C)rencontreGLn(C).......................32 Caractérisation des matrices nilpotentes par la trace ................................34 Sur l"équationAp=IndansMn(Z). ................................................36 Calcul deexp(A)oùA= ((exp(2iπ(k+l)/5)))k,l?M5(C). .........................36 Matrices entières inversibles ........................................................37 i Sur l"équationS=X2dansMn(C)avecSsymétrique etXantisymétrique. ........37 Chapitre 2. ALGÈBRE BILINÉAIRE ET HERMITIENNE39 Sur l"équationS=X2dansMn(C)avecSsymétrique etXantisymétrique. ........39 Convexité, matrice symétrique, calcul d"intégrale ...................................40 Matrices symétriques ...............................................................40 Espaces euclidiens et projection orthogonale ........................................41 Une matrice symétrique non diagonalisable .........................................42 Produit scalaire, continuité, topologie ..............................................43 Autour de la trace .................................................................43 Bases orthormées ..................................................................43 Toute matrice carrée réelle est produit de deux matrices symétriques réelles ........44 Sur l"équationdet(In-xA-yB) = det(In-xA)det(In-yB),?x,y?R. .......46 partie 2. POLYNÔMES49 Sur les polynômes de la formeP=QP??avec deg(Q) = 2...........................50 Trois exercices sur les polynômes ...................................................50 Polynômes harmoniques et homogènes en deux variables ............................52 Polynomes et fractions rationelles, approximation ..................................53 Polynômes, nombres premiers ......................................................54 Polynômes dansZ[X]..............................................................55 Polynômes trigonométriques : un théorème de Fejèr-Riesz...........................55 Autour du résultant de deux polynômes.............................................57 Le théorème de Gauss-Lucas........................................................58 Le théorème de Gauss-Lucas : nouvelle approche....................................59 Une inégalité autour des polynômes ................................................60 Nombre de racines réelles du2005-ième itéré deP(x) =x2-1.....................61 Racines deP(z)et de2zP?(z)-dP(z).............................................62 Un polynôme de degré6et un peu de géométrie ....................................63 Sur les racines multiples du polynôme dérivé .......................................64 partie 3. GÉOMÉTRIE65 Optimisation dans un triangle ......................................................66 Sur la longueur de l"intersection entre une parabole et un disque ....................66 Inégalités dans un triangle (1) ......................................................68 Inégalités dans un triangle (2) ......................................................69 Coniques : le théorème de Joachimsthal.............................................69 Heptadivision d"un triangle .........................................................70 Disposition denpoints sur une sphère .............................................73 Une suite associée à un polygône ...................................................73 Sur la longueur de l"ellipse .........................................................74 Même périmètre et même aire ......................................................75 Deux inégalités ....................................................................76 ii partie 4. COMBINATOIRE ET PROBABILITÉS79 Combinatoire : les nombres de Bell .................................................80 Un peu de dénombrement autour d"une série entière ................................81 Autour du " nombre de dérangements » ............................................82 Distance entre deux racines d"un polynôme .........................................85 Distribution de deux points sur un segment (1) .....................................85 " Probabilité » que deux entiers soient premiers entre-eux ..........................86 Nombre de matrices symétriques à coefficients dans{0,1}et série entières ..........89 Distribution aléatoire de deux points sur un segment ...............................89

Dénombrement et séries entières/génératrices .......................................90

Groupes et probabilités ............................................................91 Dénombrement et algèbre linéaire...................................................91 Les dés sont pipés ..................................................................92 Avec un peu d"algèbre linéaire .....................................................94 Probabilité d"obtenir un multiple de cinq en jetantndés ...........................95 Combinatoire et matrices ..........................................................96 10 Dénombrement dans les groupes ....................................................97 partie 5. ANALYSE 199

Chapitre 3. TOPOLOGIE101

Une famille totale dansl2(N).......................................................101 La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée? .............................102 Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l"est pas ...............................102 Complémentaire d"un hyperplan dans un espace vectoriel normé.....................103 Normes, normes équivalentes .......................................................105 Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor ..................................................................106 L"ensemblePdes nombres premiers est infini : preuve topologique .................107 Espace métrique et continuité ......................................................108 Normes surC0([0,1])..............................................................109 Autour des suites décroissantes de fermés ..........................................109 Continuité de l"opérateur de dérivation dansC∞(R)etR[X]........................111 Deux normes non équivalentes en dimension finie ...................................112 Topologie dansMn(R)etMn(C): propriétés deDnetD?n...........................112 Topologie dansMn(R): l"adhérence deDn(R)......................................114 Autour des sous-groupes deR......................................................115 Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c"est facile! .......................118 Connexité ..........................................................................118 Un opérateur borné sans adjoint ....................................................119 Topologie dansMn(C): commutant et bicommutant ...............................120 Topologie dansMn(C): autour des matrices nilpotentes ............................122 Topologie dansMn(C): les classes de conjugaison ..................................123 iii Espace de Banach ..................................................................125 Surjectivité universelle de l"ensemble de Cantor ....................................126 Sur les espaces de Baire ............................................................129 Un espace de BaireA?Rnon dénombrable et de mesure nulle ....................130 Baireries : sur les applicationsf:R2→Rséparément continues ..................130 Applications linéaires dans un espace vectoriel normé ...............................131 Sur la norme d"une forme linéaire ..................................................133 Applications linéaires continues et compacité .......................................133 Trois preuves du théorème d"approximation de Weierstrass trigonométrique .........134

Chapitre 4. CONTINUITÉ137

Les algèbresC0([0,1],R)etC1([0,1],R)sont-elles isomorphes? .....................137 Automorphisme d"algèbre deC(Rd,R).............................................137 Sous-algèbres de dimension finie deC0(R,R).......................................138 Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité ..........138 Baireries ...........................................................................139 L"équation fonctionnelle de Cauchyf(x+y) =f(x) +f(y).........................139 Les fonctions mid-convexes .........................................................141

L"équation fonctionnellef(?x

2+y2) =f(x)f(y)dansC0(R). ......................142

Continuité et connexité : le théorème de Borsuk-Ulam...............................144 Continuité et composition ..........................................................144 Autour des valeurs intermédiaires...................................................145 Le théorème des valeurs intermédiaires..............................................146 Sur les points de discontinuité d"une bijectionf:R→R?+.........................147 Sur la continuité de l"application réciproque.........................................148 Sur la continuité de l"application réciproque, suite...................................148 Continuité, topologie ...............................................................149 Théorème du point fixe : quelques limites ...........................................150 Propriétés topologiques de l"ensemble des points de discontinuité d"une application .151 Une application discontinue surQ..................................................154 Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro.................................155 Des petits " o » ....................................................................157

L"équation fonctionnellef2(x) =?x

0(f2(t) +f?2(t))dt+ 2007. ......................157

Encore quelques équations fonctionnelles ...........................................158 Une inéquation fonctionnelle .......................................................159

Chapitre 5. DÉRIVABILITÉ161

Existence d"un opérateur " à la dérivée de Dirac » surC0(R,R)....................161 Deux fonctionsf,gdérivables telles quef?g?ne soit pas une dérivéee ...............161 Dérivation .........................................................................162 Approche matricielle du théorème des accroissements finis...........................163 Comportement asymptotique du " point intermédiaire » dans la formule de Taylor-Lagrange ....................................................................164 Trois preuves du théorème de Darboux..............................................164 Sur le point d"inflexion..............................................................166 iv Rolle surR.........................................................................166 Dérivabilité et accroissements finis ..................................................166 Dérivabilité et accroissements finis ..................................................167 Toute application convexe et majorée surRest constante ...........................167 Régularité et existence de développement limité en un point.........................168

Parité, dérivabilité et développement limité .........................................169

Convexité et Accroisements Finis ..................................................169 Zéros des dérivées d"une fonctionsC∞à support compact ..........................170

0M1. .....................................172

Une série et une fonction ...........................................................172 Un fameux théorème d"Émile Borel ................................................173? n k=1(-1)k+1Cknkn= (-1)n+1n!....................................................175

Chapitre 6. INTÉGRATION177

Irrationalité dee(1)................................................................177

Calcul de l"intégrale de Gauss

0e-t2dt(1) ........................................178

Calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(1) ......................................179

Encore un calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(2) ..........................181

Toujours un calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(3) .........................182

Calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(4) ......................................184

Calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(5) ......................................185

Calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(5), .....................................188

Étude de la suite(un=n2

-?n Autour du théorème des moments de Hausdorff .....................................191

Étude deIα=?+∞

0sin(t)t

αdt, Jα=?+∞

2sin(t)t

α+sin(t)dt&Sα=?

n≥1(-1)nn

α+(-1)n, α?R.193

Une caractérisation de la fonction Gamma : le théorème de Bohr-Mollerup ..........195 Sommes de Riemann et formule de Taylor ..........................................196 Autour de l"inégalité de Jensen .....................................................198

Limite en0,±∞de??b

a|f(t)|pdt?

Étude de la suite(?∞

0nlog(1 +n-αfα(t))dt)n......................................201

Le lemme de Cantor ...............................................................202

Étude dex?→?x2

Optimisation et convexité ..........................................................204

L"inégalité de Hardy

?T

0?x-1?x

0f2(x)dx.........................205

Une formule de Ramanujan et le d.s.e. de la fonction tangente ......................207 ?(1) =-γ.........................................................................210?

R|tf(t)|2dt?

14

R|f(t)|2dt?

14 .....................................212 Encore une petite inégalité .........................................................212 Nature d"une intégrale impropre ....................................................213 Une jolie intégrale.... ...............................................................214 Minore! ............................................................................214 Autour des sommes de Riemann ...................................................215 v

Calcul de l"intégrale de Cauchy

0sin(t)t

dt(8) ....................................216

Chapitre 7. SUITES ET SÉRIES219

Convergence de

na-3n, où|an-am|>1,?m?=n?N............................219 Convergence d"une série par sommation par paquets ................................220

Divergence de la série

p?P1p

Si(xj)j?R+et?

jxj=Aalors? Formule de Wallis et applications ..................................................223 Série non commutativement convergente ...........................................225 Suites numériques, calculs d"équivalents ............................................226 Irrationalité dee(2) ...............................................................227 Irrationalité dee(3)................................................................228 Irrationalité deπ2et donc deπ....................................................229 Suites, équivalents ..................................................................230 Divergence de la série harmonique, preuve record?..................................231 Divergence de la série harmonique (suite) ...........................................231 Suites et sous-suites ................................................................232

Divergence de la série

n≥1sin 2(n)n Le critère de condensation de Cauchy...............................................233 Suites, continuité ...................................................................234 Sur le nombre d"éléments d"une suite récurrente ....................................234 Un exercice sur les séries numériques................................................235

Calcul de

Divergence de la série

Calcul d"une somme de série .......................................................236 À propos du produit de Cauchy ....................................................237 e=?1/k!, une preuve élémentaire ................................................238

Divergence " douce » de

k1/klog(k)log(log(k))par le TAF ......................239 Chapitre 8. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS, SÉRIES ENTIÈRES ET DE

FOURIER241

Étude d"une série de fonctions ......................................................241 Limite d"une suite via les séries entières ............................................242 Séries entières et convergence uniforme .............................................243 Convergence uniforme et convergence continue .....................................244

Étude des séries de fonctions

n≥0tnf(t)et? approximation, convergence uniforme ...............................................249 Une caractérisation de la fonction sinus ............................................249 Approximations uniforme de la valeur absolue sur[-1,1]............................253 f(x) =?∞ m=0e-mcos(m2x)n"est pas développable en série entière ..................254

Développement en série de Fourier def(x) =1+cos(x)4-2cos(x), série entière .................255

Inégalité de Bernstein via les séries de Fourier.......................................258 vi Une fonction continue non dérivable à l"origine mais développable en série de Fourier (1) .................................................................................260 Une fonction continue non dérivable à l"origine mais développable en série de Fourier (2) .................................................................................262 Une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l"origine ...................265 Séries de Fourier, dérivation ........................................................268

Séries entières, déterminant, systèmes linéaires .....................................269

Étude def(x) =?∞

Séries entières, comportement au bord ..............................................272 Séries de Fourier : histoires d"unicité ...............................................273 SON et SCV .......................................................................274 Fonction2π-périodique continue à coefficients de Fourier positifs ...................275? 1 0(?1

0f(x,y)dx)2dy+?1

0(?1 0? 1

0f(x,y)dxdy)2+?1

0? 1

0f(x,y)2dxdy276

Calcul de

0cos(cos(x))ch(sin(x))cos(nx)dx,n?N, via Fourier .....................277

Preuve du théorème des moments de Hausdorff par les séries de Fourier ............278? n k=0C2k+12n+2= 22n+1(2n+ 1)(2n+ 2)via les séries entières ..........................278

Chapitre 9. CALCUL DIFFÉRENTIEL281

Calcul différentiel, extréma, fonctions harmoniques .................................281 Calcul différentiel, espaces vectoriels normés, polynômes ............................283 Extrémas en dimension plus grande que2: attention aux idées reçues! .............286 Théorème de d"Alembert-Gauss, topologie, calcul différentiel .......................288 Théorème de d"Alembert-Gauss, calcul différentiel, optimisation ....................290 Inversion locale et globale ..........................................................291 Déterminant et calcul différentiel ...................................................292 Matrices et calcul différentiel .......................................................293 Extrémas et convexité ..............................................................294

Chapitre 10. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES297

Étude dey?=y(y-1).............................................................297 Étude dey?=y2sin2(y)............................................................298 Étude dexy?=x+y2..............................................................298 Étude dey?= exp(-xy)............................................................299 Domaine de définition des solutions maximales deX?(t) =X2(t)à valeurs dans M n(C). ............................................................................300

Résolution de l"équationf(x) = 1-?x

L"équation fonctionnelle de d"Alembert2f(x)f(y) =f(x+y) +f(x-y)...........302 partie 6. ANALYSE 2305

Chapitre 11. FONCTIONS HOLOMORPHES307

Baireries dansO(Ω)................................................................307 Le théorème de Rolle version holomorphe ...........................................309 Une preuve " presque holomorphe » du théorème de Cayley-Hamilton ..............310 vii Une fonction entière prenant des valeurs réelles sur deux droites sécantes ...........312 Une fonction entière non constante mais bornée sur toute droite passant par l"origine. 312
SurO(Ω), les topologies de la convergence compacte etL1loccoïncident .............316 Une fonction entière universelle ....................................................317 L"équationf2+g2= 1dansO(C).................................................318 Comportement au voisinage d"un point singulier essentiel isolé et non isolé .........319

Chapitre 12. ANALYSE FONCTIONNELLE321

L

2([0,1])est maigre dansL1([0,1]).................................................321

Une bijection linéaire continue dont l"application réciproque est discontinue .........322 Étude d"un opérateur surL2([0,1]).................................................324 Un espace vectoriel topologique non localement convexe ............................327 Densité de vect{x?→1(x-an), n≥1}dansC0([0,1])................................328 Normes équivalentes et formes linéaires continues ...................................329 L"inclusionF(L1(R))?C0(R)est stricte ..........................................329 Image deL2(R)\L1(R)par la tranformée de Fourier ...............................330 Forme faible du théorème de Müntz.................................................331 Sous-espaces deC([0,1])fermés dansL2([0,1]) .....................................333 Opérateur de dérivation.............................................................337 Aux limites du théorème de Banach-Steinhaus .....................................337 (?1E-T?<1, T?L(E))?(Tinversible)? .....................................338 Encore une preuve de(l∞(N))??=l1(N).............................................338 Quelques exemples de suites faiblement convergente dansL2(R)....................339 Deux convexes disjoints non séparables par un hyperplan ...........................340 Une forme bilinéaire discontinue mais séparément continue .........................341 Pourquoi la topologie produit? .....................................................342 Encore une application du théorème du graphe fermé ...............................345 Une permutation qui conserve les séries convergentes ...............................346 Topologie de la convergence simple : points adhérents et suites .....................348 partie 7. EXERCICES EN COURS.....349 Histoire dans un corps .............................................................350 Le lemme de Riemann-Lebesgue et l"inclusionL1([0,1])?c0. ......................350 Trois problèmes d"optimisation autour d"une droite et une parabole .................351 Convergence faible dansC0(X)....................................................352 Inégalité de Bernstein (2) ..........................................................354 Une caractérisation de la convexité .................................................355 Probabilités, géométrie .............................................................355 Séries de fourier et séries trigonométriques .........................................356 Sur la topologie de la convergence simple ...........................................357 Un bien utile lemme de factorisation ...............................................359 viii Exemple d"une série trigonométrique qui n"est pas une série de Fourier ..............360 Nombre de points à coordonnées entières dans un disque, comportement au bord d"une série entière ..................................................................361 Optimisation dans un triangle ......................................................363 optimisation, combinatoire .........................................................363 Étude des espacesvect{f(k), k?N}etvect{x?→f(x+a), a?R}.................364 inf ??1

0|f?(x)-f(x)|dx, f?C1([0,1],R), f(0) = 0, f(1) = 1?

=e-1.............366 Études de quelques équations fonctionnelles ........................................367 Quelques applications de l"inégalité de Jensen ......................................368 Combinatoire : les nombres de Bell .................................................370 Probabilités et formule de Taylor ...................................................371 Une suite dansC[X1,X2,...,Xn]qui " s"annule » surC............................371 Autour de la série harmonique .....................................................372 n(n2+ 1)/2est valeur propre de toute matrice magiqueA?Mn(R). ................372 Une base de deux BanachXetYn"en est pas forcément une pourX∩Y..........372 Encore un peu de dénombrement ...................................................372 La courbe d"équationy=x4+ 9x3+αx2+ 9x+ 4admet-elle4points alignés? .....373 Autour d"une ellipse ................................................................374 Autour du théorème de Gauss-Lucas ...............................................375 Différentiabilité deMn(R)?M?→(tr(M),tr(M2),...,tr(Mn))et applications ......376 Une inégalité... .....................................................................377 Autour des cordes universelles des fonctions continues ..............................378 Accélération de la convergence vers la contante d"Euler .............................379 A la recherche des points isolés de{A?Mn(C) :P(A) = 0}, P?C[x]...........380 Supplémentaires universels d"un espace de dimension finie ..........................382

Partie entière de

?109 Le saviez vous? ....................................................................383 Analyse sur une ligne brisée ........................................................384 La formule de Stirling via la loi de Poisson .........................................386 Preuve probabiliste du théorème d"approximation de Bernstein .....................387 Équicontinuité .....................................................................389 L"équationdet(A+X) = det(X), X?Mn(R). .....................................389 Isométries rationnellles .............................................................390 Une fonction continue nulle part dérivable ..........................................391quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12