Integral de Riemann sommes de Darboux v5 - Ge
D’où l’unicité de l’intégrale en cas d’existence Illustrations A, B et C IA Exemple d’une fonction en escalier (et d’une division de l’intervalle [a,b]) IB Approximation de l’intégrale de f par une somme minorante IC Approximation de l’intégrale de f par une somme majorante ƒ ab ƒ ab Définition
Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2
FIG 1 – Somme de Darboux inférieure (hachurée) et supérieure (hachuré plus blanc) de f(x) pour une subdivision équidistante d’ordre 4 de [a,b] Exercice 1 1 5 Montrer qu’en ajoutant un point x
ThéorèmedeDarboux - Claude Bernard University Lyon 1
Les images de l'intervalle [a;b] par les applications ’ et ˆ sont donc deux intervalles qui contiennent respectivement f 0 ( a ) et f 0 ( b ) etquisecoupentpuisqu'ilscontiennenttouslesdeux f ( b ) ¡f ( a )
Exo7 - Exercices de mathématiques
On appelle somme de Riemann inférieure relativement à s la quantité : Ss f:= å n k=1 m k (a k a k 1): De même, la somme supérieure de Riemann de f relativement à s est égale à Ss f:=å n k=1 M k(a a 1): La somme inférieure de Riemann de f est définie par : S f =sups S s f La somme supérieure de Riemann de f est définie par : S f
Intégrale de Riemann - Université Paris-Saclay
6 François DE MARÇAY, Département de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud sont associées premièrement la somme de Darboux inférieurerelativement à la subdivision: (f) := Xn k=1 xk xk 1 inf xk 16x6xk f(x) = Xn k=1 jIkjinf x2Ik f; a x1 x2 x3 xn 2 xn 1 b et deuxièmement la somme de Darboux supérieure: (f) := Xn k=1 xk xk 1 sup
Intégration - Licence de mathématiques Lyon 1
Est une somme de Riemann associe à sur 2 ∑ 2 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur 3 ∑ 2 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur 4 ∑ 4 2 =1 Est une somme de Riemann associe à sur Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse
Chapitre24 SOMMESDERIEMANN Enoncédesexercices
De plus x2−2xcost+1= 0⇐⇒ x=cost sin2t=0 ⇐⇒ x=±1 t=0(π) ce qui est exclus par hypothèse On en déduit que la fonction ln x2−2xcost+1 est définie et continue sur [0,2π] Ainsi Df=R {−1,1} 2 On a Xn−1= n−1 k=0 X−e 2ikπ n 3 Calculer f(x)à l’aide de ses sommes de Riemann La somme de Riemann à gauche de fest S n
Exo7 - Exercices de mathématiques
Il faut se souvenir de ce que vaut la somme des n premiers entiers, la somme des carrés des n premiers entiers et la somme d’une suite géométrique La formule générale pour les sommes de Riemann est que R b a f(x)dx est la limite (quand n+¥) de S n = b a n n 1 å k=0 f a+k b a n : Indication pourl’exercice3 N 1 Revenir à la
Examples of Riemann Integration from the first principles
EXERCISE 2 Evaluate ∫ cosx dx π 2 0 from the first principles (III) L’hospital Rule More difficult problems employ the use of L’hospital rule or other properties on limit
« PETIT » BESTIAIRE D’EXERCICES DE MATHÉMATIQUES AVEC LEUR
« petit » bestiaire d’exercices de mathÉmatiques avec leur corrigÉ, À l’usage de l’oral voire de l’Écrit de certains concours (agrÉgation externe,
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Intégrale de Riemann
FrançoisDEMARÇAY
Département de Mathématiques d"Orsay
Université Paris-Sud, France
1. Concept de fonction
Toute la Science mathématique repose sur l"idée de fonction, c"est-à-dire de dépen- dance entre deux ou plusieurs grandeurs, dont l"étude constitue le principal objet de l"Analyse. Il a fallu longtemps avant qu"on se rendît compte de l"étendue extraordinaire de cette notion; c"est là, d"ailleurs, une circonstance qui a été très heureuse pour lesprogrès de la Science. [...] Dans les époques vraiment créatrices, une vérité incomplète
ou approchée peut être plus féconde que la même vérité accompagnée des restrictions
nécessaires.ÉmilePICARDDans les mathématiques contemporaines, une
fonctionréelle : f:R!R; est uneapplication, c"est-à-dire qu"à tout nombre réelx2Rest associé un unique nombre réelf(x)2R, ce qui paraît très simple. Mais contrairement à notre intuition habituelle, il se pourrait qu"un tel concept n"ait en fait rien d"évident, puisqu"a priori, aucune règle, aucune formule, aucune expression ne donne concrètementx7!f(x). E e e 0éléments
e 00 application F '(e) '(e0) '(e00) ensemble ensemble En tout cas, depuis l"avènement de la théorie des ensembles dans les années 1890-1930, on admet le concept d" application : ':E!F e7!'(e); dans une abstraction absolue, pure, non mystérieuse, aussi transparente et limpide que sur une figure 'simplette". 12FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
Mais nous insisterons ici sur le fait que l"intuition minimale qui accompagne notre sen- timent d"évidence lorsque nous écrivons : x7!f(x) cache de nombreuses questions mathématiques profondes qui sont encore loin d"être ré- solues à notre époque. Même la plus classique et la plus connue des intégrales, celle deRiemann à laquelle est consacrée ce chapitre, répond intelligemment à la question mathé-
matique : Comment définir l"intégraleRf(x)dxd"une fonction? C"est le mathématicien allemand Bernhard Riemann qui, vers 1854 et dans la lignée de Peter Lejeune-Dirichlet son maître, fut l"un des premiers à avoir conceptualisé la notion de fonction dans la généralité maximalex7!f(x), bien avant la théorie des ensembles, et Riemann voyait surtout qu"un tel concept très général de fonction ouvrait des questions mathématiques nouvelles et très difficiles.En fait, quelques décennies après Cauchy qui avait élaboré sa théorie des fonctions au
début des années 1800, l"histoire de la théorie de l"intégration est essentiellement deve-
nue une histoire destentativesde donner à la notion d" intégralel"extension la plus grande possible, afin d"embrasser le plus de fonctionsdiscontinuespossible, et ce, jusque dans les années 1950. En effet, au bout d"un certain temps, les mathématiciens ont considéré qu"intégrer des fonctions continues, c"était ' trop facile", et donc, qu"il fallait passer à des fonctions plus compliquées, qu"il fallait être plus ambitieux, ne serait-ce que pour des applications à la physique.Mais tout d"abord, qu"est-ce qu"une fonction
continue?Encore d"un point de vue moderne et très élaboré, la définition classique due à Weiers-
trass stipule quefest continue en un pointx02Rlorsque :8" >09=(")>0
8xjxx0j6=)f(x)f(x0)6"
y x x 0 0 f(x0) y x x 0 0 f(x0) y x x 0 0 f(x0) 2" 2" 2 Géométriquement, quelle que soit la finesse2" >0d"une bande horizontale centrée autour de la droite horizontalefy=f(x0)g, il existe une bande verticale de largeur2 assez petite centrée autour de la droite verticalefx=x0gtelle que toute la partie du graphe correspondantereste entièrement enfermée dans la bande horizontale choisie à l"avance. Mais historiquement, ce n"est pas du tout ainsi que les notions de fonction et de conti- nuité sont apparues. Fonctions définies par des expressions explicites arbitrairement complexesEn 1718,Bernouilli écrit dans les
Mémoires de l"Académie des Sciences:
1.Concept de Fonction3
Définition :On appelle icifonctiond"une grandeur variable, une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes. Euler prend la suite en 1734, et dans une note de l"Académie de Saint Pétersbourg, il introduit la notation : fx a +c; pour désigner une fonction arbitraire de x a +c. En 1748, dans sonIntroduction in analysis infinitorum, Euler reprend la définition deBernoulli en ajoutant le mot
analytique, à savoirdéveloppable en série entière convergente: En conséquence, toute expression analytique dans laquelle, à côté de la variable z, toutes les quantités qui composent cette expression sont des constantes, est une fonction de cette mêmez; ainsia+ 3z,a4zz,etc.Qui plus est, Euler a essayé d"éclaircir l"idée de quantité constante et de quantité va-
riable.1.Une quantité constante est une quantité déterminée, qui conserve toujours la même
valeur.2.Une quantité variable est une quantité indéterminée, ou, si l"on veut, une quantité
universelle, qui comprend toutes les valeurs déterminées.3.Une quantité variable devient déterminée, lorsqu"on lui attribue une valeur déterminée
quelconque.4.Une fonction de quantité variable est une expression analytique composée, de
quelque manière que ce soit, de cette même quantité et de nombres, ou de quanti- tés constantes.5.Une fonction d"une variable est donc aussi une quantité variable.
Voici quelques exemples plus élaborés de fonctions au sens d"Euler inutile de cher- cher à comprendre lorsqu"on ne connaît pas, il s"agit juste d"une visite sans guide d"un jardin zoologique mystérieux : e az+eaz e azeaz; (z) :=e z z +1Y n=1 1 +z n 1 e z n sin(z); X16n61(1)nq3n2n
2 z z1 2 ezp 2 1 +1 12z+1288z2139
51840z3
Z =2 0 sinkxdx; t1 +t21
X k=02(2k)3(2k+ 1)
t2 1 +t2 k En résumé, nous pouvons dire qu"une fonction au sens d"Euler est une fonction de lavariable réelle, non constante, définie par une expression analytique, avec une totale liberté
4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
dans la complexité formelle, une fonction, donc, qui est donnée par des formules essentiel- lement explicites, en utilisant l"addition, la multiplication, la composition d"une manière arbitrairement complexe, et en incorporant aussi diverses constantes sympathiques. Fonctions discontinues.En réponse à d"Alembert qui voulait maintenir que les fonctionsdevaient être données par une unique expression algébrique ou développables en série en-
tière convergente, Euler a été conduit à admettre que les courbes puissent être ' irrégulières", ou ' discontinues", au sens où elles soient formées d"un nombre fini de courbes différentes, mais toujours données par des formules. 01 + 2(x2)2
5 + (x4)3=33(x4)
x 4=ex 3 7 En effet, longtemps dans l"histoire des mathématiques, les fonctions discontinues n"étaient que des fonctions lisse (C1) ou analytiques (C!) par morceaux, données par des formules explicites sur un nombre fini d"intervalles successifs.Ainsi, ce qu"on appelait
discontinuiténe désignait qu"unchangement de formuleen traversant un point spécifique. L"Idée de fonction abstraite pure qui déclenche des Questions mathématiques.Mais avec Dirichlet et Riemann, le statut des fonctions change radicalement : le concept de fonc- tion devient une abstraction idéale quiprovoque des questions mathématiques nouvelles. Nous venons de voir que l"épure totale du conceptde fonction conduit à demander seulement qu"à tout réelx2Rest associé un unique réelf(x)2R, sans aucune hypothèse de continuité, sans formules, sans supposer que le nombre de points de discontinuité soit fini ou discret, en un mot :sans aucune hypothèse. Si donc on admet un tel concept de fonction le plus général possible, alors de nom- breuses questions surgissent :Question.
Comment définir l"intégrale d"une fonction réellef:R!Rquelconque? Question.L"intégrale d"une fonctionfexiste-t-elle toujours? Question.Y-a-t-il un unique concept d"intégrale, ouplusieurs concepts d"intégralequi ne sont pas équivalents entre eux? Ce cours présentera trois concepts d"intégrale :Intégrale de Riemann
Intégrale de Kurzweil-Henstock
Intégrale de Lebesgue
La plus classique est l"
Intégrale de Riemann.
2.Définition de l"intégrale de Riemann5
L"intégrale de Kurzweil-Henstockest la seule qui montre véritablement que l"intégra- tion :Z f 0=f d"une fonction dérivéef0redonne la fonctionfdont on est parti, ce qui semble être le minimum de tenue correcte qu"on puisse exiger de l"intégrale à son examen d"entrée en L3 d"Intégration! Enfin, à un niveau supérieur d"abstraction, c"est l"Intégrale de Lebesguequi fait l"una-
nimité dans les mathématiques contemporaines pour sa plasticité, sa généralité, et sa com-
plétude. Donc en France et dans le monde, les cours de L3 en Mathématiques se font un devoir de présenter ce joyau de pensée qu"est la célèbreIntégrale de Lebesgue, bien qu"elle soit
quelque peu difficile d"accès lors d"une toute première rencontre. Alors pour faciliter une telle première rencontre, nous allons commencer par effectuerdes révisions sur l"Intégrale de Riemann, en dévoilant quelques théorèmes nouveaux qui
anticiperont la longue théorie de l"Intégrale de Legesgue.