PROBABILITÉS - Maths & tiques
La loi de probabilité de X est : x i-1 2 5 7 P(X = x i) 21 32 7 32 3 32 1 32 On constate que : p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 21 32 + 7 32 + 3 32 + 1 32 = 1 II Espérance, variance, écart-type Définitions : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x 1, x 2, , x n La loi de probabilité de X associe à
LOI NORMALE - maths et tiques
La probabilité qu’un boulon prélevé au hasard soit conforme est égale à 0,95 La variable aléatoire X, donnant le diamètre d’un boulon, suit une loi normale d’espérance 30 et d’écart-type σ
Chapitre 7 Loi normale
La courbe de la loi normale de moyenne µ “ 4 et d’écart-type σ “ 1 est représentée sur les 3 figures ci-dessous Pour chaque figure, colorier ou hachurer la surface associée à la probabilité indiquée
Loi normale - AlloSchool
une variable aléatoire X1 suivant la loi normale d’espérance µ1 =165 cm et d’écart-type σ1 =6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire X2 suivant la loi normale d’espérance µ2 =175 cm et d’écart-typeσ2 =11 cm Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à 10−2 près
Probabilités Loi normale TI-84+ français
Probabilités Loi normale TI-84+ français ? 2°) b) On suppose que la masse (en kg), d'un bébé à la naissance suit la loi normale de paramètre m = 3,35 et ² = 0,1089 1°) Déterminer la probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg (arrondie au millième)
Fiche 1 – Estimation ponctuelle dune moyenne et dun écart
qui suit sous H0 la loi normale centrée réduite On calcule alors la probabilité p-value d'observer une valeur supérieure ou égale sous H0 (en valeur absolue) Conditions d'utilisation : Le test est applicable si n f0≥ 10 et n(1-f0) ≥ 10 (approximation par la loi normale)
Exercice 1 : Utilisation de la calculatrice X suit la loi
On veut réduire à 0,06 la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme On note ˙′ le nouvel écart type, et Z la variable aléatoire égale à X 50 ˙′ On veut P(X 49) = 0;06 avec X suit une loi normale N (50;˙′), on cherche ˙′ (a) Préciser la loi que suit la variable aléatoire Z Z suit une loi normale centrée
1 Strasbourg, France - unistrafr
probabilité qu’une pièce authentique soit acceptée? 2 Un faux monnayeur fabrique des fausses pièces dont le poids suit une loi normale d’espérance µ0 = 6,56g et d’écart-type σ0 = 0,02g Quelle est la probabilité qu’une fausse pièce soit acceptée? 3 On observe que 4 des pièces sont refusées par la machine
Lois de probabilité à densité Loi normale
a montré que pour ce type de composant, la durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675 1) Calculer la valeur λ arrondie à trois décimales 2) Quelle est la probabilité, arrondie à trois décimales, qu’un composant de ce type dure : a) moins de 8 ans b) plus de 10 ans
TS Lois normales Modèles de rédaction
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale N 151 ; 152 1) Avec la calculatrice : a) P 120 X 155 0,586 La probabilité que l’élève mesure entre 120 cm et 155 cm est 0,586 b) P X 185 0 5 P 151 X 185 0,012 La probabilité que l’élève mesure plus de 185 cm est 0,012 c) P X 130 P 130 X 151 0 5 0,919
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40) = 5 + 9 + 13 + 16 = 43%. On a tracé la courbe d'une fonction f qui s'approche de l'histogramme. Dans ce cas, on considère la variable aléatoire Y qui donne la taille souhaitée par le client connecté. Y prend des valeurs réelles dans l'intervalle [34 ; 48].
40) correspond à l'aire sous la courbe de la fonction f entre les droites d'équation x=37
et x=40. 2) Définition Courbe représentative de la fonction associée à la loi normale. Remarque : La courbe représentative de la fonction associée à la loi normale est une courbe en cloche symétrique par rapport à la droite d'équation
x=µ . II. Espérance et écart-type d'une loi normale 1) DéfinitionsYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 Définitions : - L'espérance, notée µ
, donne la valeur moyenne. - L'écart-type, noté σ, donne la dispersion autour de la moyenne. Remarque : La courbe est d'autant plus "resserrée" autour de son axe de symétrie que l'écart-type σ
est petit. 2) Cas particulier de la loi normale centrée réduite Pour une loi normale centrée réduite, l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1. III. Probabilité sur une loi normale Méthode : Calculer une probabilité pour une loi normale Vidéo https://youtu.be/kZVL8AR-1ug Vidéo https://youtu.be/qD1Nt5fkQa4 Une compagnie de transport possède un parc de 200 cars. On appelle X, la variable aléatoire qui, à un car choisi au hasard associe la distance journalière parcourue. On suppose que X suit la loi normale d'espérance
µ=80
et d'écart-typeσ=14
. Quelle est la probabilité, à 10-3 près, qu'un car parcourt : 1) Entre 70 et 100 km par jour ? 2) Moins de 90 km par jour ? 3) Plus de 100 km par jour ? 1) Sur TI : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRép(70,100,80,14) Sur Casio : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(70,100,14,80)
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Avec GeoGebra : Aller dans le menu "Calculs probabilités" et saisir les paramètres dans la fenêtre qui s'ouvre. On a ainsi :
≈0,686. La probabilité qu'un car parcourt entre 70 et 100 km par jour est d'environ 68,6%. 2) Sur TI : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRép(-1099,90,80,14) Sur Casio : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(-1099,90,14,80) On a ainsi :
≈0,762. La probabilité qu'un car parcourt moins de 90 km par jour est d'environ 76,2%. 3) Sur TI : Taper sur les touches "2nde" et "VAR/Distrib" puis saisir normalFRép(100,1099,80,14) Sur Casio : Taper sur la touche "OPTN", puis dans l'ordre "STAT", "DIST" "NORM" et "Ncd" puis saisir NormCD(100,1099,14,80) On a ainsi :
PX≥100
≈0,077 . La probabilité qu'un car parcourt plus de 100 km par jour est d'environ 7,7%.YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 Méthode : Utiliser un intervalle 2 1) Une variable aléatoire X suit une loi normale d'espérance 20 et d'écart-type 3. Donner un intervalle de centre 20 qui contient environ 95% des valeurs prises par X. 2) Une usine fabrique des boulons en aluminium. Un boulon est de taille conforme lorsque son diamètre est compris entre 29,8 mm et 30,2 mm. La probabilité qu'un boulon prélevé au hasard soit conforme est égale à 0,95. La variable aléatoire X, donnant le diamètre d'un boulon, suit une loi normale d'espérance 30 et d'écart-type σ
. Calculer σ . 1) On a donc : =0,95Soit :
=0,952) On a donc :
=0,95Et on a également :
=0,95Et ainsi par exemple :
30+2σ=30,2
soit :2σ=30,2-30=0,2
σ=0,1
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