Rang d’une famille de vecteurs, rang d’une application lin eaire
UPMC - LM125 Cours du soir- 2012-2013 Fiches d’exercices no 6 Rang d’une famille de vecteurs, rang d’une application lin eaire Exercice 1 Rang d’une famille de vecteurs de R3
Rang des systèmes de vecteurs - unicefr
syst`eme de vecteurs de Rn, et comme on parle de rang d’une matrice, on peut parler de rang d’un syst`eme de vecteurs de Rn Les m´ethodes de calcul du rang passent sans changement des matrices aux syst`emes de vecteurs de Rn On va en profiter pour les passer en revue
Matrices et applications linéaires - Cours et exercices de
On définit le rang d’une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes Exemple 2 Le rang de la matrice A= 1 2 1 2 0 2 4 1 0 2M2,4(K) est par définition le rang de la famille de vecteurs de K2: § v1 = 1 2,v2 = 2 4,v3 = • 1 2 1 −,v4 = 0 0 “ Tous ces vecteurs sont colinéaires à v1, donc le rang de la famille fv1,v2,v3
Matrices de familles de vecteurs et dapplications linéaires
matrice d'une famille de vecteurs dans une base, 2 matrice d'une forme linéaire,7 matrice de passage,2 matrices équivalentes,7 matrices extraites,8 matrices semblables,9 noyau d'une matrice,5 polynôme annulateur,10 polynôme caractéristique,11 rang d'une matrice,5 spectre,11 théorème de prolongement linéaire,4 trace d'un endomorphisme,9
FAMILLE DE VECTEURS ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE
de E (contenant un nombre fini de vecteurs) 2) Définition d’une base : Soit E un espace vectoriel sur K Une famille finie de vecteurs de E est une base de E si elle est une famille à la fois génératrice de E et libre Conséquence : Toute famille non vide extraite d’une base de E est libre et toute famille contenant une base
Corrections - INSTITUT DE MATHÉMATIQUES DE MARSEILLE
Correctiondel’exercice1 10(Rangd’unefamilledevecteurs) Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace engendr´e par ces vecteurs 1 Soient u1 = (1,−1,2), u2 = (2,3,3) et u3 = (2,−7,7) La famille{ u1, u2, u3} est libre (son d´eterminant est non-nul) et est donc une base de R3 Son rang est donc 3 2 u1 = (1,0,0,−
Espaces vectoriels de dimension nie
Théorème 23 8 (rang, famille libre, génératrice ou base) On ne modi e pas le rang d'une famille de vecteurs lorsque : on retire le vecteur nul de la famille si celui-ci y apparaît, on permute les vecteurs de la famille,
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1
k sont aussi dans B, de sorte que xest une combinaison lin´eaire de vecteurs de B, c’est-`a-dire, un ´el´ement de vectB On a donc encore vectA⊂ vectB (2) Supposons que A= vectA Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme de A R´eciproquement, supposons que Asoit un sous-espace vectoriel, et montrons que A= vectA
[PDF] rang d'une matrice
[PDF] rang d'une matrice carrée
[PDF] rang d'une matrice inversible
[PDF] Range dans l'ordre décroissant les nombres suivants
[PDF] Range les écritures fractionnaires suivantes dans l'ordre croissant
[PDF] Rangement De Nombres Et Construction Géométriques
[PDF] rangements nombres décimaux croissants
[PDF] Ranger ces nombres décimaux par ordre croissant:
[PDF] ranger dans l ordre croissant
[PDF] Ranger dans l'ordre croissant
[PDF] Ranger dans l'ordre croissant les nombres
[PDF] ranger dans l'ordre croissant
[PDF] Ranger des espèces par lien de parenté
[PDF] ranger des fractions
Rang des syst`emes de vecteurs
D´edou
Octobre 2010
Rang d"un syst`eme de vecteurs lignes
On peut voir la matrice
?8 3 52 4 7?
comme un syst`eme de deux vecteurs lignes : ?(8,3,5) (2,4,7)? .Par d´efinition Le rang d"un syst`eme de vecteurs deRn, c"est le rang de la matrice correspondante.Rang d"un syst`eme de vecteurs colonnes
On peut aussi voir la matrice
?8 3 52 4 7?
comme un syst`eme de trois vecteurs colonnes. ??8 2? ,?3 4? ,?5 7?? .Probl`eme Selon qu"on met les vecteurs en lignes ou en colonnes, on obtient deux matrices un peu diff´erentes mais pas trop. Ont-elles le mˆeme rang?Transpos´ee d"une matrice
Pour transposer, on ´echange les lignes et les colonnes.Exemple
A gauche une matrice, `a droite sa transpos´ee : 8 3 52 4 7?
(8 2 3 4 5 7) )Exo 4Ecrivez la transpos´ee de la matrice
?0 3 5-12-3 4 7?
Rang et transposition : exemple
Exemple
Les deux syst`emes
?8x+ 3y+ 5z= 02x+ 4y+ 7z= 0et?
?8x+ 2y= 03x+ 4y= 0
5x+ 7y= 0
ne se ressemblent pas beaucoup... mais ils ont le mˆeme rang 2.Rang et transposition
Th´eor`eme
Le rang d"une matrice est ´egal `a celui de sa transpos´ee.Corollaire
Tout ce qu"on peut faire sur les lignes d"une matrice pour calculer son rang, on peut aussi le faire sur les colonnes.Exemple Le rang d"une matrice ne change pas quand on multiplie une de ses colonnes par un nombre non nul.Exo 5Donnez une autre r`egle "en colonnes".
Rang des syst`emes
Finalement une matrice c"est pareil (de deux fa¸cons) qu"un syst`eme de vecteurs deRn, et comme on parle de rang d"une matrice, on peut parler de rang d"un syst`eme de vecteurs deRn.Les m´ethodes de calcul du rang passent sans changement des matrices aux syst`emes de vecteurs de R n.On va en profiter pour les passer en revue. R`egles de calcul du rang des syst`emes de vecteursLe rang d"un syst`eme de vecteurs ne change pas
quand on change l"ordre des vecteurs quand on multiplie (ou divise) un vecteur par un nombre non nulquand on ajoute (ou retranche) `a un vecteur une combinaison des autresquand on ajoute (ou retranche) au syst`eme un nouveauvecteur qui est combinaison lin´eaire des anciens.Le rang d"un syst`eme de vecteurs augmente de 1 quand on lui
ajoute un vecteur qui n"est pas combinaison lin´eaire des autres. Le rang d"un syst`eme de vecteurs deRnest ´egal au nombre de ces vecteurssauf si l"un d"entre eux est combinaison lin´eaire des autres.quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49