Fiche exercices (avec corrig´es)

Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u×v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, v ne s'annulant pas sur I Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u v Soit f une fonction et a et b deux réels Connaissant la dérivée de f, déterminer celle de f(ax+b) Exercice 1 : encore le feu

Fiche dexercices sur les dérivées - Free

Fiche d'exercices sur les dérivées Déterminer l’ensemble de définition D puis la fonction dérivée sur D dans les cas suivants : 1 f ( x) = 2 x + 7

NOM : DERIVATION 1ère S

Exercice 16 Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante : lim h0 (1 + h)2005 1 h: Pour cela, on considère la fonction fdéﬁnie sur R par f(x) = (1 + x)2005 1) Calculer la dérivée f0de la fonction f Calculer f0(0) 2) Calculer l’accroissement moyen de la fonction fentre 0 et h En déduire la limite ci-dessus D LE FUR 17/??

351es - ChingAtome

1 Nombre dérivé et sens de variation : Exercice 6061 Voici le tableau de variations d’un fonction[f déﬁnie sur 4;4 [ 4 2 1 4 2 4 3 1 Variation de f x Déterminer le signe du nombre dérivée de la fonction f en 1 Exercice 6062 On considère une fonction f dont on donne ci-dessous le tableau de signe de sa fonction dérivée: x 5 2 1 4

Exercices

Discuter en fonction de c Exercice VII : Point de vue Sur la ﬁgure ci-dessous, "l’arc" de parabole ABC représente une colline, le sol est symbolisé par l’axe des abscisses Un observateur est placé en E de coordonnée 2; 11 4 dans le repère choisi Le but de cet exercice est de déterminer les point de la colline et ceux du sol (au

1 Équation à dérivée partielle du premier ordre

Le long de ces courbes, nous choisissons scomme variable indépendante ( nous avons le choix du paramétrage ) et donc, le long de ces courbes, d˚ dt = Q(t) P(t) ˚ Si nous appelons A(t) une primitive de Q=P, alors la solution générale de l’équation ci-dessusest ˚(t) = C:exp(A(t)):

Fiche exercices (avec corrig´es) - D´eriv´ees

Exercice 1 Pour chacune des fonctions f d´eﬁnies ci-dessous : 1 Donner une expression explicite du taux d’accroissement de f en un point a quelconque du domaine de d´eﬁnition 2 Calculer la limite en a de ce taux d’accroissement et retrouver l’expression de la d´eriv´ee de f en a a) f(x) = x2 b) f(x) = √ x c) f(x) = x √ x

Chapitre 6 : Dérivées et différentielles des fonctions de

On parle de majoration physique: on se place dans le cas le plus défavorable où toutes les erreurs commises sur les différentes grandeurs indépendantesse cumulent On cherche la limite supérieur de l’erreur commise sur g en déterminant la limite supérieur de la valeur absolue de dg ou de dg/g

Exercice 2

Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Dans cet exercice, le plan est muni d’un repère orthogonal et ???????? désigne la courbe représentative d’une fonction ???? 1 On admet que ???????? admet une tangente en son point d’abscisse 1 et que celle-ci a pour équation réduite =3 +1 Déterminer les valeurs respectives de ????(1) et ????′(1) 2

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Universit´e Grenoble AlpesMAP101

Licence 1 - DLSTAnn´ee 2016-2017

Fiche exercices (avec corrig´es) - D´eriv´ees

Exercice 1

Pour chacune des fonctionsfd´efinies ci-dessous :

1. Donner une expression explicite du taux d"accroissement defen un pointaquelconque

du domaine de d´efinition.

2. Calculer la limite enade ce taux d"accroissement et retrouver l"expression de la d´eriv´ee

defena. a)f(x) =x2b)f(x) =⎷xc)f(x) =x⎷x d)f(x) = exe)f(x) =xexf)f(x) = ln(x) g)f(x) = sin(x)h)f(x) = cos(x)i)f(x) =xsin(x) on pourra utiliserlimt→0sin(t)t= limt→0e t-1t= 1etlimt→0tln|t|= limt→0cos(t)-1t= 0.

R´eponse :

a)f?(x) = 2x a(x) =x2-a2 x-a=x+a lim x→aτa(x) =a+a= 2a b)f?(x) =1

2⎷x

a(x) =⎷ x-⎷a x-a=⎷ x-⎷a⎷x2-⎷a2=⎷ x-⎷a lim x→aτa(x) =1 ⎷a+⎷a=12⎷a c)f?(x) =3

2⎷x

a(x) =x⎷ x-x⎷a+x⎷a-a⎷a x-a=x⎷ x-⎷a lim x→aτa(x) =a1

2⎷a+⎷a=32⎷a

d)f?(x) =ex a(x) =ex-ea x-a=ea(ex-a-1)x-a=eaex-a-1x-a lim x→aτa(x) =ealimx→ae x-a-1 x-a=ealimt→0e t-1t=ea×1 =ea(t=x-a)

MAP1011Exos d´eriv´ees

e)f?(x) =xex+ex= (x+ 1)ex a(x) =xex-aea lim x→aτa(x) =aea+ea f)f?(x) =1 x a(x) =ln(x)-ln(a) x-a=ln(x-a+a)-ln(a)x-a=ln?x-a+a a? ax-aa=ln?

1 +x-a

a? ax-aa (t=x-a a)τa(x) =ln(1 +t)at?limx→aτa(x) = limt→01aln(1 +t)t=1a g)f?(x) = cos(x) a(x) =sin(x)-sin(a) x-a=sin((x-a) +a)-sin(a)x-a sin(x-a)cos(a) + cos(x-a)sin(a)-sin(a) x-a= cos(a)sin(x-a)x-a+ sin(a)cos(x-a)-1x-a lim x→aτa(x) = limt→0cos(a)sin(t) t+ sin(a)cos(t)-1t= cos(a) (t=x-a) h)f?(x) =-sin(x) a(x) =cos(x)-cos(a) x-a=cos((x-a) +a)-cos(a)x-a cos(x-a)cos(a)-sin(x-a)sin(a)-cos(a) x-a= cos(a)cos(x-a)-1x-a-sin(a)sin(x-a)x-a lim x→aτa(x) = limt→0cos(a)cos(t)-1 t-sin(a)sin(t)t=-sin(a) (t=x-a) i)f?(x) = sin(x) +xcos(x) a(x) =xsin(x)-asin(a) x-a=xsin(x)-xsin(a) +xsin(a)-asin(a)x-a=xsin(x)-sin(a)x-a+ sin(a) lim x→aτa(x) =alimx→asin(x)-sin(a) x-a+ sin(a) =acos(a) + sin(a)

Exercice 2

Soitfune fonction d´erivable surR.

1. Montrer que sifest paire alorsf?est impaire.

2. Montrer que sifest impaire alorsf?est paire.

R´eponse :

MAP1012Exos d´eriv´ees

1.fpaire :f(-x) =f(x)

f ?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a f ?(-a) = limt→-af(t)-f(-a) t-(-a)= limt→-af(t)-f(a)t+a x=-tlimx→af(-x)-f(a) -x+a= limx→a-f(x)-f(a)x-a=-f?(a)

2.fimpaire :f(-x) =-f(x)

f ?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a f ?(-a) = limt→-af(t)-f(-a) t-(-a)= limt→-af(t) +f(a)t+a x=-tlimx→af(-x) +f(a) -x+a= limx→a-f(x) +f(a)-x+a= limx→af(x)-f(a)x-a=f?(a)

Exercice 3

Pour chacune des fonctionsfd´efinies ci-dessous :

1. Pr´eciser le domaine de d´efinition def.

2. Calculer l"expression de la d´eriv´ee def.

a)f(x) = (x(x-2))1/3b)f(x) =13⎷x2-1⎷x3c)f(x) =?x+⎷1 +x2 d)f(x) =?(x2+ 1)3e)f(x) =1 +⎷x (x+ 1)1/3f)f(x) = ln(x+⎷1 +x2) g)f(x) =?1 +x+x2

1-x+x2h)f(x) =?

1 +1x?

xi)f(x) =x+ ln(x)x-ln(x) j)f(x) =?1 +x2sin2(x)k)f(x) =e1/x+ 1e1/x-1l)f(x) = ln?1 + sin(x)1-sin(x)?

R´eponse :

a)f(x) = (f2◦f1)(x) avecf1(x) =x(x-2) etf2(x) =x1/3. D f1=RetDf2=R+:Df={x , f1(x) =x(x-2)≥0}= ]- ∞,0]?[2,+∞[ f ?(x) =f?1(x)f?2(f1(x)) = (2x-2)1

3(x(x-2))1/3-1=2(x-1)3(x(x-2))2/3

b)Df= ]0,+∞[,f(x) =x-2/3-x-2/3= 0 doncfd´erivable etf?(x) = 0 . c)f(x) = (f2◦f1)(x) avecf1(x) =x+⎷ x2+ 1 etf2(x) =⎷x. D f1=Rcarx2+ 1≥0. D f={x , x2+ 1≥0 etx+⎷ x2+ 1≥0}: ?x?R, x2+ 1≥1>0 ?x?R,⎷ x2+ 1>⎷x2=|x| ≥ -x? ?x?R, x+⎷x2>0

MAP1013Exos d´eriv´ees

doncDf=R. f ?(x) =f?1(x)f?2(f1(x)) =? 1 +2x

2⎷x2+ 1?

12?x+⎷x2+ 1=x+⎷

x2+ 1

2⎷x2+ 1?x+⎷x2+ 1

x+⎷x2+ 1

2⎷x2+ 1

d)f(x) = (x2+ 1)3/2:f(x) = (f2◦f1)(x) avecf1(x) =x2+ 1,f2(x) =x3/2. D f1=R,f1(x)≥1>0 (f1(R)?R+) etDf2=R+doncf(x) d´efini pour toutx:Df=R. f ?(x) =f?1(x)f?2(f1(x)) = 2x3

2(x2+ 1)3/2-1= 3x(x2+ 1)1/2= 3x⎷x2+ 1

e)f(x) = (1 +⎷ x)(x+ 1)-1/3: - le domaine dex?→1 +⎷ xestD1=R+, - le domaine dex?→(x+ 1)-1/3estD2= ]-1,+∞[ , - doncDf=D1∩D2=R+ f ?(x) =1

2⎷x(x+ 1)-1/3+ (1 +⎷x)?

-13? (x+ 1)-4/3

3(x+ 1)

6⎷x(x+ 1)4/3-2⎷

x(1 +⎷x)

6⎷x(x+ 1)4/3=3x+ 3-2⎷

x-2x

6⎷x(x+ 1)4/3

3 +x-2⎷

6⎷x(x+ 1)4/3

f)fest d´efinie pourx+⎷ x2+ 1>0 etx2+ 1≥0 x

2+ 1> x2≥0 et⎷

x2+ 1>⎷x2=|x| ≥ -x?x+⎷x2+ 1≥0

DoncDf=R

f ?(x) =1 +2x

2⎷x2+ 1

x+⎷x2+ 1=⎷ x2+ 1 +x⎷x2+ 1 x+⎷x2+ 1=1⎷x2+ 1 g)f(x) =? f1(x) f2(x) f

1(x) =x2+x+ 1 =x2+x+1

4+34=?

x+12? 2 +34≥34>0
f

2(x) =x2-x+ 1 =x2-x+1

4+34=?

x-12? 2 +34≥34>0
doncf(x) est d´efini surR:Df=R. f ?(x) =f?1(x)f2(x)-f1(x)f?2(x) f22(x)1

2?f1(x)

f2(x) (2x+ 1)(x2-x+ 1)-(2x-1)(x2+x+ 1) (x2-x+ 1)212? f2(x) f1(x)

MAP1014Exos d´eriv´ees

=1-x2(x2-x+ 1)2? x2-x+ 1 x2+x+ 1 h)f(x) = exp? xln? 1 +1 x?? ?fd´efinie pourx?= 0 et 1 +1x=x+ 1x>0 : D f=]- ∞,-1[?]0,+∞[ g(x) =xln? 1 +1 x? ?g?(x) = ln?

1 +1x?

+x? -1x2?

11 +1x= ln?

1 +1 x? -1x+ 1 ?f?(x) =g?(x)exp(g(x)) =g?(x)f(x) =? ln? 1 +1 x? -1x+ 1??

1 +1x?

x i)fd´efinie pourx >0 etx-ln(x)?= 0.

Soitg(x) =x-ln(x),g?(x) = 1-1

x=x-1x.

On trace le tableau de variation deg:x0 1 +∞

g?(x)-0 + g(x)?1? doncg(x)?= 0 pour toutx >0.

DoncDf= ]0,+∞[ .

f ?(x) =? 1 +1 x? (x-ln(x))-? 1-1x? (x+ ln(x)) (x-ln(x))2= 21-ln(x)(x-ln(x))2 j) 1 +x2sin2(x)≥1<0 doncfest d´efinie pour toutx?R:Df=R. g(x) = 1 +x2sin2(x)?g?(x) = 2xsin2(x) + 2x2sin(x)cos(x) = 2xsin(x)? sin(x) +xcos(x)? ?f?(x) =g?(x)

2?g(x)=xsin(x)?

sin(x) +xcos(x)??1 +x2sin2(x) k)fest d´efinie pourx?= 0 ete1/x-1?= 0 e

1/x-1 = 0??e1/x= 1??1/x= 0 impossible

doncDf=R?. g(x) =e1/x?g?(x) =-e1/x x2 f ?(x) =g?(x)(g(x)-1)-g?(x)(g(x) + 1) (g(x)-1)2 -2g?(x) (g(x)-1)2=2e1/xx2(e1/x-1)2 l)fd´efinie pour 1-sin(x)?= 0 et1 + sin(x)

1-sin(x)>0

1-sin(x)?= 0??sin(x)?= 1??x?=π/2 + 2kπaveck?Z

1-sin(x)≥0?

?1 + sin(x)

1-sin(x)≥0

MAP1015Exos d´eriv´ees

donc il faut que 1 + sin(x)?= 0??sin(x)?=-1??x?=-π/2 + 2kπaveck?Z.

DoncDf=R\ {π+kπ , k?Z}

f(x) = ln(u(x)) avecu(x) =1 + sin(x)

1-sin(x)

?f?(x) =u?(x) u(x)etu?(x) =cos(x)(1-sin(x)) + cos(x)(1 + sin(x))(1-sin(x))2=2cos(x)(1-sin(x))2 ?f?(x) =2cos(x) (1-sin(x))21-sin(x)1 + sin(x)=2cos(x)(1-sin(x))(1 + sin(x))=2cos(x)1-sin2(x)=2cos(x)cos2(x)=2cos(x)

MAP1016Exos d´eriv´ees

Exercice 4

Pour chacune des applicationsfd´efinies ci-dessous :

1. Verifiez quefest prolongeable par continuit´e en0.

2. L"application prolong´ee est-elle d´erivable en0?

a)f(x) =x|x|b)f(x) =x1 +|x|c)f(x) =11 +|x| d)f(x) = cos(?|x|)e)f(x) =⎷1 +x-⎷1-x xf)f(x) =x2cos?1x? g)f(x) =?|x|ln|x|h)f(x) =ex-1?|x|i)f(x) =sin(x)ln|x| on pourra utiliserlimt→0sin(t)t= limt→0e t-1t= 1etlimt→0tln|t|= 0.

R´eponse :

a)f(x) produit de deux fonctions continues surRdoncfcontinue surRet donc en 0. f(x) =???-x2six <0

0 six= 0

2six >0

La fonctionfest d´erivable surR?:

f ?(x) =?-2xsix <0

2xsix >0

On peut prolongerf?par continuit´e enx= 0 car : lim x→0-f?(x) = lim x→0--2x= 0 et limx→0+f?(x) = lim x→0+2x= 0

La fonction prolong´ee est

f?(x) =???-2xsix <0

0 six= 0

2xsix >0???

= 2|x| b)f(x) continue surR(car 1 +|x|continue et>0), doncfcontinue en 0. f(x) =???????x

1-xsix <0

0 six= 0x

1 +xsix >0

La fonctionfest d´erivable surR?:

f ?(x) =?????1 (1-x)2six <0 1 (1 +x)2six >0 On peut prolongerf?par continuit´e enx= 0 car : lim x→0-f?(x) = lim x→0-1 (1-x)2= 1 et limx→0+f?(x) = lim x→0+1(1 +x)2= 1

MAP1017Exos d´eriv´ees

La fonction prolong´ee est

(1-x)2six <0

1 six= 0

1 =1 (1 +|x|)2 c)f(x) continue surR(car 1 +|x|continue et>0), doncfcontinue en 0.

1-xsix <0

1 six= 0

1 +xsix >0

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] Fiche exercices (avec corrig´es) - D´eriv´ees

Universit´e Grenoble AlpesMAP101

Licence 1 - DLSTAnn´ee 2016-2017

Exercice 1

1. Donner une expression explicite du taux d"accroissement defen un pointaquelconque

2. Calculer la limite enade ce taux d"accroissement et retrouver l"expression de la d´eriv´ee

R´eponse :

2⎷x

2⎷x

2⎷a+⎷a=32⎷a

MAP1011Exos d´eriv´ees

1 +x-a

Exercice 2

Soitfune fonction d´erivable surR.

1. Montrer que sifest paire alorsf?est impaire.

2. Montrer que sifest impaire alorsf?est paire.

R´eponse :

MAP1012Exos d´eriv´ees

1.fpaire :f(-x) =f(x)

2.fimpaire :f(-x) =-f(x)

Exercice 3

1. Pr´eciser le domaine de d´efinition def.

2. Calculer l"expression de la d´eriv´ee def.

1-x+x2h)f(x) =?

1 +1x?

R´eponse :

3(x(x-2))1/3-1=2(x-1)3(x(x-2))2/3

MAP1013Exos d´eriv´ees

2⎷x2+ 1?

12?x+⎷x2+ 1=x+⎷

2⎷x2+ 1?x+⎷x2+ 1

2⎷x2+ 1

2(x2+ 1)3/2-1= 3x(x2+ 1)1/2= 3x⎷x2+ 1

2⎷x(x+ 1)-1/3+ (1 +⎷x)?

3(x+ 1)

6⎷x(x+ 1)4/3-2⎷

6⎷x(x+ 1)4/3=3x+ 3-2⎷

6⎷x(x+ 1)4/3

3 +x-2⎷

6⎷x(x+ 1)4/3

2+ 1> x2≥0 et⎷

DoncDf=R

2⎷x2+ 1

1(x) =x2+x+ 1 =x2+x+1

4+34=?

2(x) =x2-x+ 1 =x2-x+1

4+34=?

2?f1(x)

MAP1014Exos d´eriv´ees

1 +1x?

11 +1x= ln?

1 +1x?

Soitg(x) =x-ln(x),g?(x) = 1-1

On trace le tableau de variation deg:x0 1 +∞

DoncDf= ]0,+∞[ .

2?g(x)=xsin(x)?

1/x-1 = 0??e1/x= 1??1/x= 0 impossible

1-sin(x)>0

1-sin(x)?= 0??sin(x)?= 1??x?=π/2 + 2kπaveck?Z

1-sin(x)≥0?

1-sin(x)≥0

MAP1015Exos d´eriv´ees

DoncDf=R\ {π+kπ , k?Z}

1-sin(x)

MAP1016Exos d´eriv´ees

Exercice 4

1. Verifiez quefest prolongeable par continuit´e en0.

2. L"application prolong´ee est-elle d´erivable en0?

R´eponse :

0 six= 0

2six >0

La fonctionfest d´erivable surR?:

2xsix >0

La fonction prolong´ee est

0 six= 0

2xsix >0???

1-xsix <0

0 six= 0x

1 +xsix >0

La fonctionfest d´erivable surR?: