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Statistiques 1/3 STATISTIQUES I) Nature des données - description graphique
Dans ce chapitre, on étudie des séries de données liées à des variables quantitatives, c'est-à-dire quand les valeurs sont
numériques (mesures physiques, physiologiques, économiques).1) Différents types de séries
Les variables étudiées sont de deux types :
· ces variables sont discrètes si les valeurs prises sont isolées (nombre de personnes par ménage, nombre de défauts
observés...) ;· ces variables sont continues si les valeurs prises sont dans un intervalle (taille d'une personne, salaire, temps d'écoute
de la télévision, prix d'un article, production...)Les valeurs ou données sont de différents types : effectifs, fréquences, taux, indices, moyennes...
Exemples :
Une série de taux.
L'histogramme ci-contre représente la répartition des taux de fécondité de 48 pays d'Europe pour la période 1995-1999. La variable étudiée est le taux de fécondité (nombre moyen d'enfants pour 1000 hab) : cette variable est quantitative continue, car elle peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [1 ; 4,5]. Des séries d'effectifs (discrets).
Le tableau ci-contre donne le nombre de ménages selon leurs tailles pour quelques pays européens en1995 (en milliers).
La variable étudiée est la taille des ménages et cette variable est discrète puisqu'elle prend 5 valeurs (1, 2, 3, 4 et " 5 et plus »). Les 4 séries sont représentées ci-contre.2) Histogramme à pas non constant
Pour représenter une variable quantitative continue dont les valeurs sont regroupées par classe, on trace des rectangles
dont les aires sont proportionnelles aux effectifs des classes.Exemple :
Nombre de personnes 1 2 3 4 5 et plus
Espagne 1538 2967 2640 2907 2059 Finlande 831 689 320 264 118 Pays-bas 1966 2185 861 1022 398 Portugal 449 865 809 747 406 Classe [100 ;120[ [120 ;160[ [160 ;180[ [180 ;260[
Effectif 20 30 10 10 0
510152025
11.522.533.544.55
Taux de féconditéEffectif0
500100015002000250030003500
12345 et plus
Taille des ménages
Nombre de ménagesEspagne
Finlande
Pays-bas
Portugal
100120140160180200220240260280
Statistiques 2/3 3) Séries chronologiques
Définition : Une série chronologique est une série de valeurs provenant d'une même variable observée à des instants régulièrement espacés dans le temps (jour, mois, année).
Exemple : le graphique ci-contre représente les variations de la température moyenne (les valeurs sont des moyennes) annuelle à Paris entre 1960 et 1979.Lissage d'une série chronologique
Définition : Lisser une série chronologique par les moyennes mobiles d'ordre 3, consiste à créer une nouvelle série où les xi sont remplacés par la moyenne des 3 valeurs xi, la précédente xi.1 , la suivante xi+1 .
Remarque : on perd une valeur au début et une à la fin de la série. Exemple : la nouvelle courbe correspond au lissage de la série précédente. Cette série commence par :1960 1961 1962 1963 1964
11.8 12.4 10.6 10.1 11.9
et sera remplacée par : II) Résumé d'une série par le couple (médiane ; écart interquartile)1) La médiane (vue en 2nde) : mesure de tendance centrale
Définition : La médiane Me d'une série ordonnée par ordre croissant partage cette série en deux parties telles que la moitié au moins prend des valeurs inférieures ou égales à la médiane.
· Si le nombre de données est pair, N = 2p : la médiane est la moyenne des pième et (p + 1)ième valeurs. · Si le nombre de données est impair, N = 2 p+ 1 : la médiane est la (p + 1)ième valeur.
2) les quartiles
Définition : Les valeurs d'une série d'effectif N sont rangées par ordre croissant. · Le premier quartile Q1 de la série est la valeur xi dont l'indice i est le plus petit entier supérieur à 4N. · Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur xj dont l'indice j est le plus petit entier supérieur à 3
4N.Exemples :
3) L'écart interquartile : mesure de dispersion
Définition : · L'intervalle interquartile est l'intervalle [Q1 ; Q3]. · L'écart interquartile est la différence Q3 . Q1 .
Remarques : Le couple (médiane ; écart interquartile) est robuste par rapport aux valeurs extrêmes, mais sa
détermination (les quartiles) n'est pas très pratique. Plus l'écart interquartile est grand, plus la dispersion est importante.1960 1961 1962 1963 1964
11.6 11 10.9 ... 10
10.51111.51212.5
19601964196819721976
AnnéeTempérature en °C10
10.51111.51212.5
19601964196819721976
Année
Température en °C
Statistiques 3/3 4) Diagramme en boîte
Ces diagrammes s'utilisent pour représenter une série de taille importante où les valeurs extrêmes ne sont pas
essentielles. Les diagrammes en boîte mettent en valeur la dispersion d'une répartition.Exemple :
III) Résumé d'une série par le couple (moyenne ; écart-type)1) La moyenne (vue en 2nde) : mesure de tendance centrale
Définition : Soit une série de valeurs xi. · Sans les effectifs avec un effectif total N: ixxN=å. · Avec les effectifs ni : ii
inxxn=åå. · Avec les fréquences f
i iin n=å : fiixx=å.
2) La variance
Définition : Soit une série de valeurs xi. · Sans les effectifs avec un effectif total N: ()2
ixxVN-=å. · Avec les effectifs ni :
()2 ii inxxV n-=åRemarque : L'utilisation des listes sur la calculatrice est efficace pour calculer la variance. On calcule successivement
les carrés des écarts puis leurs produits par les effectifs. Enfin, la somme de ces produits divisés par le nombre de
données donne la Variance.3) L'écart type: mesure de dispersion
Définition : L'écart type noté s est la racine carrée de la variance V : sV=.Remarques : Le couple (moyenne ; écart-type) est très sensible aux valeurs extrêmes, mais sa détermination par les
formules précédentes est aisée. Plus l'écart type est grand, plus la dispersion est importante. x min ou D1 3 Q