Règles sur les inégalités
2 Inégalités classiques Règles 2 Pour tout x réel : −1 6cos x 61 et −1 6sin x 61 PAUL MILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 26 juin 2013 à 17:29 TERMINALE S Created
CHAPITRE VI INEGALITES
• Deux règles Pour résoudre une inéquation, on utilise les trois propriétés des inégalités que nous venons de voir pour trouver une inéquation équivalente aussi simple que possible Ces propriétés peuvent s’énoncer en deux règles très simples :
Inégalités 1 - Olympiad
1 2 Les règles du jeu avec les inégalités À l'école, on apprend qu'en multipliant une inéquation par un nombre négatif, ou qu'en inversant les deux membres d'une inéquation, alors il faut changer le sens de l'inégalité Il s'agit là de deux des règles de base que l'on emploie en manipulant les inégalités Nous
PCSO COURS D’ANALYSE Chapitre 1: Inégalités
mathématiques nécessaires pour la Physique Cependant, ces cours ne sont pas conçus comme des « formulaires » ou des « boîtes a outils » pour les autres disciplines scientifiques, mais comme de véritables cours de mathématiques, ce qui est, d’ailleurs, la meilleure façon de servir les autres sciences
Inéquations : Résumé de cours et méthodes 1 Principe général
2 Rappel sur les inégalités Si on multiplie (ou on divise) une inégalité par un nombre strictement négatif, on change le sens de cette inégalité Exemple : Résolution de 3 2x >4 3 2x >4 , 2x >4 3 , 2x >1 ,x < 1 2 Donc, S = ¥; 1 2 Les bornes sont ouvertes car l’inégalité est stricte 3 Signe de ax+b Pour a6=0, on applique la règle
Preuves pour démontrer linéga- lité entre moyennes
et doit donc être démontrée dans les règles 2 Ainsi est nécessaire une étape de synthèse pour présenter correctement la preuve (selon en tout cas les normes de rigueur généralement exigées en mathématiques) La voie devinée dans l'analyse est alors exploitée et il convient ensuite de des-
I Définition
Exemple — 2 6 3 doncpourtoutréelx positif,2x 6 3x Attention, l’inégalitédevientfaussesix estnégatif —Si0 6 x 6 1 et0 6 y 6 1 alors0 6 xy 6 1
TOUTES LES MATHÉMATIQUES - Dunod
1 7 Mathématiques financières 18 1 8 Nombres complexes 23 1 9 Nombres réels 23 1 10 Nombres complexes 23 1 11 Calculer avec des nombres réels 25 1 12 Formule du binôme 38 CHAPITRE 2 • ÉQUATIONS ET INÉGALITÉS (ALGÈBRE) 43 2 1 Lois algébriques fondamentales 43 2 2 Équations à une inconnue 47 2 3 Équations linéaires 49
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ECE1 Année 2018-2019
Fiche méthode : INEGALITES
IDéfinitionSoit a et b deux nombres réels. On dit queaest inférieur ou égal àbsiabest négatif ou nul
et queaest supérieur ou égal àbsiabest positif : a6b()ab60eta>b()ab>0Dans la pratique,Il est souvent plus facile de montrer qu"un nombre est positif ou négatif que de montrer une inégalité.
Pour montrera6bon sera donc parfois amenés à montrerab60ouba>0. IRègles de manipulation des inégalitésTransitivité -(a6betb6c))a6c -(a6betb6a))a=bExemple.Si x62alors comme263, on a aussix63.
Si xest à la fois positif et négatif alorsx= 0.Ordre et addition
-a6b)a+c6b+c (a6b c6d)a+c6b+dDans la pratique. On peut donc additionner un même terme aux deux membres d"une inégalité et additionner termes à termes deux inégalités.Exemple.
-162donc pour tout réelx,x+ 16x+ 2Si 16x62et16y62alors26x+y64.
Ordre et multiplication
si c >0alorsa6b,a:c6 b:c. si c <0alorsa6b,a:c> b:c.Si a;b;cetdsont tous positifs
alors :(a6b c6d)a:c6b:dDans la pratique. On peut donc multiplier les termes d"une inégalité par un terme positif. On peut aussi multiplier termes à termes les inégalités,mais seulement lorsque tous les termes sont positifs! 1Exemple.
-263donc pour tout réelxpositif,2x63x.Attention,l"inégalité devient fausse six est négatif.Si 06x61et06y61alors06xy61.
Attention,x61ety61n"entraîne pasxy61.
Ordre et inversion
Siaetbsontstrictement positifs, alors :a6b,1b
61aATTENTION!
Il ne faut JAMAIS inverser une inégalité si les termes ne sont pas positifs :26x636)13
61x612
Il ne faut JAMAIS diviser termes à termes des inégalités (a6b c6d6)ac 6bd
On procède toujours en deux temps : inverser une inégalités puis multiplier termes à termes
les inégalités obtenues. Exemple :Soitaetbdeux réels vérifiant :16a62et26b63. Encadrerab IComment obtenir une inégalité?1.Par bricolageOn peut partir d"une inégalité connue et la manipuler "au feeling", pour arriver à notre but.
Exemple .Soitxun réel vérifiant06x61. Montrer que :136x+ 12x+ 162.
Attention!
Cette méthode est risquée : il est en effet possible qu"on n"arrive pas à l"inégalité demandée.
Cela ne signifie pas qu"il y ait une erreur mais plutôt qu"il faut choisir une méthode plus raffinée.2.En raisonnant par équivalence
On part de l"inégalité à obtenir et on montre qu"elle est équivalente à une propriété que l"on
sait être vraie.Exemple.Montrer que pour tout réelx2[0;1];23
6x+ 12x+ 161.
23.En se ramenant à montrer qu"un nombre est positif ou négatif
Exemple :Montrer que pour tout entiernnon nul,n1n
6nn+ 1
4.En utilisant le sens de variation des fonctions usuelles.
Sifest croissante, alorsa6b)f(a)6f(b). Si de plusfest strictement croissante alors il y a équivalence. Sifest décroissante, alorsa6b)f(a)>f(b). Si de plusfest strictement décroissante alors il y a équivalence.Exemple.Montrer que pour tout réelx,ex6ex+1.
Exemple :Montrer que pour tout couple(a;b)de réels positifs,pa+b6pa+pbIComment obtenir le signe d"une expression?Dans le point précédent, on a vu qu"il était utile pour montrer une inégalité, de se ramener à montrer
qu"un nombre était positif ou négatif. La recherche du signe se fait souvent par l"une des trois
technique suivantes :1.Tableaux de signe
Sixetysont deux nombres réels,xy >0lorsquexetysont de même signe etxy <0 lorsquexetysont de signes différents. Pour déterminer le signe d"un produit ou d"un quotient on peut donc récapituler dans un tableau les signes de chacun des termes.Attention! Cette méthode ne fonctionne pas pour le signe d"une somme! Exemple :Déterminer en fonction de la valeur dexle signe de(3x)(x2). 32.Signe d"un trinôme
Un trinômeax2+bx+cest du signe deapour toutx, sauf lorsque xest compris entre les racines (s"il y en a).ExempleDéterminer en fonction de la valeur dexle signe de65x+x2, dex2+x+ 1et
dex2+x+ 1.3.Etude des variations de la fonction
Si l"obtention d"une inégalité se ramène à une équation du typef(x)>0oùfest une fonction
transcendante alors on ne peut se ramener ni à un tableau de signes, ni à l"étude du signe d"un trinôme. On peut alors étudier les variations def.Exemple :Montrer que pour toutx2[0;+1[;ln(1 +x)6x
IComment résoudre des inéquations?Définition Résoudre une inéquation d"inconnuex, c"est déterminer toutes les valeurs dexpour lesquellesl"inégalité est vraieDans la pratique :pour résoudre une inéquation, on se ramène à une étude de signe.