VECTEURS ET REPÉRAGE
et +,;-; dans un repère Les coordonnées des vecteurs ) ⃗ et A⃗ sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
Chapitre 3 Géométrie et Repérage dans le plan
2 3 Coordonnées d'une somme de vecteurs Propriété 4 Soient ~r x y et ~s x0 y0 deux vecteurs du plan Les coordonnées de ~r+~ssont : ~r+~s x+x0 y+y0 : Exemple Soient ~v 2 1 et w~ 4 1 deux vecteurs On a ~v+ w~ 6 0 2 4 Coordonnées et multiplication d'un vecteur par un nombre réel De nition 4 Soit ~uun vecteur et un nombre réel
Vecteurs et coordonnées - Free
Vecteurs et coordonnées A Vecteurs égaux Un vecteur est un objet mathématique qui est caractérisé par 3 informations : une longueur, une direction, un sens On représente en général les vecteurs sous forme de flèches, mais un vecteur peut avoir plusieurs représentants Les vecteurs AB et CD sont égaux, en effet ils ont :
Chapitre G2 : Vecteurs et
Dans un repère orthonormé, on donne A (3 , _4) et B (—7 ; 2) Calculer de tête les coordonnées du vecteur AB Dans une base orthonormée (1, 7), on donne Calculer de tête les coordonnées des vecteurs 2ã, —31', u + vet u — v Calculer avec des coordonnées Soient les vecteurs u etv dans une base orthonormée
Chapitre : Repérage et vecteurs dans le plan
Chapitre : Repérage et vecteurs dans le plan Introduction : Dès l'Antiquité les problèmes de repérage se sont posés dans les domaines de l'astronomie et de la navigation La notion de coordonnées dans un repère est généralement attribuée à René Descartes et Pierre de Fermat au 17ème siècle
Chap 4 vecteurs et repérage - MATHEMATIQUES
V Coordonnées de vecteurs : Dans ce paragraphe, on fixe un repère (O ; → i , → j ) 1) Décomposition d’un vecteur → u est un vecteur du plan
IX – Vecteurs dans un repère orthonormé
IX – Vecteurs dans un repère orthonormé 1 Coordonnées d'un vecteur a Base orthonormée Propriété (admise) et définitions ; Soient O un point et deux vecteurs Åi et Åj dont les directions sont perpendiculaires et dont les normes sont égales à 1 - On dit que ( )Åi, OÅj est une base orthonormée du plan et que ( ;Åi,Åj) est un
IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques
Vecteurs et matrices 1 Vecteurs et matrices 2 Systèmes de coordonnées 3 Transformations affines 2D 4 Transformations affines 3D 5 Gestion des matrices dans OpenGL 6 Transformation fenêtre clôture 7 Changement de repère 8 Références Transformations géométriques 3 / 104
Exercice 1 : (4 points) - hmalherbefr
Seconde 4 DS3 vecteurs et coordonnées 2017-2018 Sujet 2 Exercice 1 : (4 points) Dans le plan muni d'un repère, les coordonnées des points B et de C sont B(-2; -6) et C(5; 6) Le point A est le symétrique de B par rapport à C 1) Déterminer les coordonnées des vecteurs BC et AC 2) En déduire les coordonnées du point A
Vecteurs - Exercices 1 Translation et vecteurs associés
1 Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs ~u, ~v, w~, ~k, ~r et ~s 2 Quels sont les vecteurs colinéaires? Déterminer la relation liant ces vecteurs Exercice 17 1 Dans chacun des cas, tracer les vecteurs ~u et ~v dans un repère puis déterminer si les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires en calculant le déterminant entre les
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gakPartie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes (OI) et (OJ).Si on pose ⃗ =
et ⃗ = , alors ce repère se note également (O, ⃗ ,Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O, ⃗, ⃗) où O est un point et ⃗ et ⃗ sont deux vecteurs non
colinéaires.- Un repère est dit orthogonal si ⃗ et ⃗ ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s'il est orthogonal et si ⃗ et ⃗ sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
Partie 2 : Coordonnées d'un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi
=3⃗+2⃗.Les coordonnées de
se notent . 3 2 / ou (3;2). On préfèrera la première notation.⃗ O ⃗ Repère orthogonal ⃗ O ⃗ Repère orthonormé ⃗ O ⃗ Repère quelconque ⃗ ⃗ I J O
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par lecture graphiqueVidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O, ⃗, ⃗), placer les points . -1 -2 -2 3 1 -4 4 -2 b) Déterminer les coordonnées des vecteurs et par lecture graphique.Correction
On a :
=-⃗+5⃗ donc a pour coordonnées . -1 5 =3⃗+2⃗ donc a pour coordonnées . 3 2Propriété :
Soit deux points .
/ et .Le vecteur
a pour coordonnées . Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calculVidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs et , tels que : 2 1 5 3 -1 -2 -2 3 1 -4 / et . 4 -2Correction
5-2 3-1 3 2 -2- -1 3- -2 A = . -1 5 4-1 -2- -4 A = . 3 23 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPropriétés :
Soit deux vecteurs ⃗.
/ et ⃗A, et un réel .
On a :
A ⃗
A -⃗.
⃗ et ⃗ sont égaux lorsque =′ et =′. Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteursVidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs 3
4
et 3 -4Correction
On a :
3 2 / et -1 53
3×3
3×2
9 6 /, 4 4× -14×5
-4 203
-4 9- -4 6-20 13 -14 Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielleVidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points .
1 2 -4 3 1 -2Déterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme.
Correction
est un parallélogramme si et seulement siOn pose .
/ les coordonnées du point .On a alors :
-4-1 3-2 -5 1 / et1-
-2- ADonc : 1-
=-5 et -2- =1 =-5-1 et - =1+2 =6 et =-3.Les coordonnées du point sont donc .
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frPartie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que : '-'=0.
Remarque : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit : '='.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l'un des vecteurs est nul alors l'équivalence est évidente. • Supposons maintenant que les vecteurs ⃗ et ⃗ soient non nuls.Dire que les vecteurs ⃗.
/ et ⃗ A sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un nombre réel tel que ⃗ =⃗.Les coordonnées des vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité : Donc : '=' soit encore '-'=0. Réciproquement, si '-'=0. Le vecteur ⃗ étant non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que '≠0. Posons alors = . L'égalité '-'=0 s'écrit : '='.Soit : =
Comme on a déjà = ′, on en déduit que ⃗ =⃗.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéairesVidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. 4 -7 / et ⃗. -12 21/ b) ⃗. 5 -2 / et ⃗. 15 -7
Correction
a) '-'=4×21- -7 -12 =84-84=0.Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que ⃗=-3⃗.5 sur 7
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) '-'=5× -7 -2 15 =-35+30=-5≠0.Le critère de colinéarité n'est pas vérifié donc les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs ⃗ . / et ⃗ A.Le nombre '-' est appelé déterminant des vecteurs ⃗ et ⃗.
On note :
Propriété : Dire que ⃗ et ⃗ sont colinéaires revient à dire que
=0. Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l'aide du déterminantVidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires. a) ⃗. -6 10 / et ⃗. 9 -15 / b) ⃗. 4 9 / et ⃗. 11 23Correction
a) =R -69 10-15 R= -6 -15 -10×9=90-90=0 Les vecteurs ⃗ et ⃗ sont donc colinéaires. b) =R 411923
R=4×23-9×11=92-99=-7≠0
Les vecteurs ⃗ et ⃗ ne sont donc pas colinéaires.3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites () et () sont parallèles revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.2) Dire que les points , et sont alignés revient à dire que les vecteurs
et sont colinéaires.Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frOn considère les points .
-1 1 3 2 -2 -3 6 -1 / et . 5 0 a) Démontrer que les droites () et () sont parallèles. b) Démontrer que les points , et sont alignés.Correction
a) 3- -1 2-1 4 1 / et 6- -2 -1- -3 A = . 8 2 S T=R 4812
R=4×2-8×1=8-8=0
Les vecteurs
et sont colinéaires. Donc les droites () et () sont parallèles.Remarque :
On aurait pu également remarquer que les coordonnées de et sont proportionnelles pour en déduire que les vecteurs et sont colinéaires. b) 3-5 2-0 -2 2 / et 6-5 -1-0 1 -1 S T=R -21 2-1R=-2×
-1 -2×1=0Les vecteurs
et sont colinéaires. Donc les points , et sont alignés.Partie 4 : Coordonnées du milieu d'un segment
Propriété : Soit deux points .
/ et . Le milieu du segment [] a pour coordonnées : X YDémonstration :
Considérons le parallélogramme construit à partir de , et .Soit son centre.
Alors
(ou ) a donc les mêmes coordonnées que celles du vecteur ) soit : Z [=X Y.B O M A
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer les coordonnées d'un milieuVidéo https://youtu.be/YTQCtSvxAmM
On considère les points .
2 3 -2 1 / et . 3 -1Calculer les coordonnées de , et milieux respectifs de [], [] et [].