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Mécanique Numérique des

Fluides Compressibles

Anthony CLAUDE

Génie Mécanique

Semestre 7

LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Dr. A.Drotz

Analyse numérique d'un écoulement

dans un tube à choc 2

1.Introduction

-le tube à choc, définition du problème -Equation d'Euler 1D -Cas testés

2.Résolution

-Schéma explicite de MacCormack -Schéma TVD de Yee symétrique

3.Analyse des résultats, comparaisons

4.Conclusion et question(s)

Sommaire

LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

3

1. Physique du problème

LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Hypothèses:

- fluide non visqueux (hyp. gaz parfait) - pas de force volumique - pas de transfert de chaleur

Solution exact peut être trouvée

en résolvant les équations d'Euler 4 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Euler:

- conservation de la masse: - conservation de la quantité de mouvement: - conservation de l'énergie: Avec U et F les vecteurs des variables conservatives et de flux définis par:

1. Physique du problème

5 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Le problème étant monodimensionnel, le système se réduit à: avec Gaz considéré parfait - équations d'état:

1. Physique du problème

6 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Question de discrétisation:

Exemple de l'équation d'onde scalaire:

Discrétisation:

Réarrangement des termes:

Avec C le nombre de Courant: stabilité pour centré 2ème ordreProgressif 1er ordre

1. Physique du problème

7 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Propriétés liées à l'ordre de discrétisation:

1er ordre 2ème ordre

- Monotone (pas d'oscillations)- Non monotone (oscillations) - Faible précision - Meilleure précision - Dissipatif- Dispersif

Objectif:

Obtenir la meilleure solution possible, ce qui passera normalement par un schéma du 2ème ordre pour lequel on essaiera de réduire au maximum les oscillations près des forts gradients

1. Physique du problème

8 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Cependant, numériquement, on résout l'équation modifiée et pas l'équation exact. On ajoute les termes de dissipation et de dispersion numérique Les termes d'ordre pair représentent les termes allant entraîner de la dissipation Les termes d'ordre impair représentent les termes allant entraîner de la dispersion

Termes dissipatifs

Termes dispersifs

1. Physique du problème

9 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Le tube à choc:

Configuration initiale

Rupture du diaphragme

p L

» p

R Différence de pression de chaque côté de la paroi. La rupture entraîne la propagation d'une onde de choc et d'une onde de détente

1. Physique du problème

10 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

1 4

5 zones distincts:

1. Droite du choc, plus basse pression

2. Zone avant le choc

3. Zone avant la surface de séparation

4. Gauche de la détente, plus haute pression

5. Zone de détente

1. Physique du problème

11 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

- Le cas du tube à choc est un problèmes instationnaires - Généralement les données sont les rapports de pression ou de densité De ce code, nous pouvons obtenir les courbe pour tout point du tube pour: - Le nombre de Mach - La pression - La densité - L'entropie - L'erreur de débit - la vitesse

1. Physique du problème

12

2. Résolution

LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

a. Schéma explicite de MacCormack -Formulation, particularités -Utilisation dans le cas du tube à choc -Influence des divers paramètres et de la viscosité artificielle b. Schéma TVD de Yee symétrique -Formulation, particularités -Utilisation dans le cas du tube à choc -Influence des divers paramètres et de la viscosité artificielle 13 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Solution attendue pour un tube à choc:

3 zones " sensibles »

2. Résolution

14 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Problème de Riemann - discontinuité avec v

L > v R : l'onde de choc Valeurs de vitesse constantes à gauche et à droite avec un importante discontinuité entre les deux Les caractéristiques de la partie gauche vont plus vite que les caractéristique de la partie droite (v L > v R Les conditions d'entropie sont respectées, pas de discontinuité. Le problème se traduit par un choc

2. Résolution

15 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Problème de Riemann - discontinuité avec v

L < v R Valeurs de vitesse constantes à gauche et à droite avec un importante discontinuité entre les deux Les caractéristiques s'éloignent du choc, solution non physique et instable car elle viole le second principe de la thermodynamique comment remédier à cela?

2. Résolution

16 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Problème de Riemann - discontinuité avec v

L < v R : l'onde de détente

2. Résolution

17 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Capture de choc

Capter automatiquement les chocs équations conservatives. Les relations de Rankine Hugoniot sont satisfaites

Unicité condition d'entropie

2. Résolution

18 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Méthode de Godunov

Formulation intégrale conservative

Introduction de valeurs constantes par

morceau.

Détermination de flux sur chaque

interface

Problème de Riemann à résoudre.

Discontinuité physique: le choc

à conserver

Discontinuité due à la modélisation

numérique par volumes finis

à éviter ou éliminer

2. Résolution

19 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

a)Le schéma explicite de MacCormack - formulation

Schéma comportant deux pas de temps:

le pas " prédicteur »: le pas " correcteur »: ou

Schéma centré du deuxième ordre

2. Résolution

20 LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un point sonique:

MacCormack - sans viscosité artificielle:

2. Résolution

21
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un point sonique:

MacCormack, viscosité artificielle de Jameson (ε 1 = 1, ε 2 = 0.05) MacCormack, viscosité artificielle de Jameson (ε 1 = 0.1, ε 2 = 0.05)

2. Résolution

22
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un point sonique:

MacCormack, viscosité artificielle TVD Damping (limiteur vanLeer) MacCormack, viscosité artificielle de TVD Damping (Limiteur Minmod 3)

2. Résolution

23
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un choc faible:

MacCormack, sans viscosité artificielle

2. Résolution

24
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un choc faible:

MacCormack, viscosité artificielle TVD Damping (limiteur vanLeer) MacCormack, viscosité artificielle de Jameson (ε 1 = 1, ε 2 = 0.05)

2. Résolution

25
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

b)Le schéma TVD de Yee symétrique - formulation: Schéma TVD (Total Variation Diminishing) - principe: On veut construire des schémas non linéaires et non oscillants Les schémas TVD préservent obligatoirement la monotonie (donc pas d'oscillations)

Les limiteurs:

Introduit dans les schémas, ils limitent les gradients et réduisent donc les oscillations. Leur action " s'enclenchent » dans ces zones et ils restent " inactifs » autrement.

2. Résolution

26
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Formulation TVD de Yee symétrique:

- Formulation explicite avec θ = 0: - Formulation implicite avec θ = 1:

2. Résolution

27
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un point sonique:

Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Limiter van Albada Yee TVD symétrique - Implicite (theta = 1) - Limiter van Albada

2. Résolution

28
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un point sonique:

Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Limiter Minmod (3 variables) Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Limiter Minmod (2 variables)

2. Résolution

Oscillations

Dissipation

numérique 29
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Explication possible - problème dû au pas de temps

Yee TVD explicite - pas de temps = 10

Yee TVD explicite - pas de temps = 40

2. Résolution

30
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un choc faible:

Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Limiter van Albada Yee TVD symétrique - Implicite (theta = 1) - Limiter van Albada

Dissipation

numérique

2. Résolution

31
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un choc faible

Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Minmod (3 variables) - 1 stage Yee TVD symétrique - Implicite (theta = 0) - Minmod (2 variables) - 1 stage

2. Résolution

32
LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

Résultats - présence d'un choc faible

Yee TVD symétrique - Explicite (theta = 0) - Minmod (3 variables) - 5 stages Yee TVD symétrique - Implicite (theta = 1) - Minmod (2 variables) - 5 stages

2. Résolution

33

3. Conclusion

LIN

Laboratoire d'Ingénerie Numérique

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