Chapitre 2 POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 2 1 PolynˆomessurR ou C Il ne s’agit pas ici de d´evelopper la th´eorie des polynˆomes mais seulement d’´enoncer quelques r´esultats utiles au calcul de primitives et d’int´egrales 2 1 1 Vocabulaire sur les polynˆomes

Polynômes et fractions rationnelles

Maths en L1˙gne Polynômes et fractions rationnelles UJF Grenoble Proposition 2 Pour tout élément P de B tel que P 6= 0, il existe un unique entier d ≥ 0 et un unique (d+1)-uplet (a i) 0≤i≤d d’éléments de A tels que a d 6= 0 et P = a dXd +a d−1Xd−1 +···+a 1X +a 0 Démonstration: Il suﬃt de remarquer que, pour tout n

Cours 00A : Polynômes et Fractions rationnelles

Cours 00 A : Polynômes et Fractions rationnelles 5 En particulier, si P est de degré 0 ou ¡1, la fonction P˜ est constante Théorème 1 9 (Formule de Taylor)Soit n 2N et a 2C Pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal

TD 0A : Polynômes et fractions rationnelles X n 6 j C

TD 0A : Polynômes et fractions rationnelles 1 Soit E= R[X] (a)Quels sont les polynômes P∈Evériﬁant P(X+ 1) = P(X)? (b)Et ceux vériﬁant P(X+ 1) = P(X) + 2X+ 1? 2 On cherche les polynômes P∈C[X] non nuls tels que P(X2) = P(X−1)P(X) (∗) (a)Montrer qu’un tel polynôme est unitaire (b)Soit z un complexe non nul Montrer que

CHAPITRE 2 POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

2-3 FRACTIONS RATIONNELLES Lorsqu'une expression algébrique se présente comme le quotient de deux expressions algébriques, on dit que l'on a une expression fractionnaire De plus, lorsque l'expression fractionnaire se présente sous la forme P Q où P et Q sont deux polynômes et où Q ≠ 0, on dit que l'on a une fraction rationnelle

TP Maple 12 Polynômes et fractions rationnelles

TP Maple 12 — Polynômes et fractions rationnelles Lycée Janson-de-Sailly MPSI4 2010 - 2011 Exercice 3 Soit(E) l’équation x3 −5x+2=0 1 Résoudreexactement(E) aumoyen de lacommandesolve 2 Essayons à présentde comprendre comment Mapleobtientce résultat Le logicielapplique la méthodede Cardan 2 a Soientdeuxréelsu et v Posons x

Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de

Fractions rationnelles Fiche d’exercices ⁄ Polynômes Fiche d’exercices ⁄ Fractions rationnelles Motivation Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : aX2+bX +c = 0 Savez-vous que la résolution des équations de degré 3, aX3+bX2+cX

ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

Polynômes et fractions rationnelles Mise à jour : 26/01/15 07:01 1/12 POLYNOMES Soit K = ou I) Polynômes à une indéterminée sur K 1) Définition Définition: Un polynôme P sur K (ou à coefficients dans K) est une suite presque nulle d'éléments de K (a 0, a 1, , a p, 0, , 0, ) où les a k

Institut Denis Poisson

Created Date: 2/22/2010 2:37:31 PM

Cours de mathématiques MPSI - AlloSchool

alors les fractions rationnelles sont égales, i e F ˘G Théorème 19 4 Preuve : Le corps Kest inﬁni, l’ensemble des pôles de F et celui de G sont ﬁnis, donc D F \D G est un ensemble inﬁni

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Chapitre 2

POLYNOMES ET FRACTIONS

RATIONNELLES

2.1 PolynomessurRouC

Il ne s"agit pas ici de d´evelopper la th´eorie des polynomes mais seulement d"´enoncer quelques

r´esultats utiles au calcul de primitives et d"int´egrales.

2.1.1 Vocabulaire sur les polynomes

On noteK[X] l"ensemble des polynomes `a une ind´etermin´ee `a coefficients dansK(RouC).

K[X] est donc l"ensemble desPtels queP(X)=+∞

n=0 a n X n o`u(a n n?Nest une suite de scalaires tous nuls `a partir d"un certain rang.

Deux polynomes sont ´egaux si et seulement si les coefficients des termes de meme puissance

sont deux `a deux ´egaux. Ledegr´edu polynome non nulPd´efini parP(X)=+∞ n=0 a n X n est le plus grand des entiersntels quea n soit non nul. On noted= deg(P)(a d est ditcoefficient dominantdeP). On convient que le polynome nul a pour degr´e-∞. On appellevaluationdePle plus petit des entiersntels quean soit non nul. On noter=val(P). On convient que le polynome nul a pour valuation +∞.

On a doncP(X)=a

r X r +a r+1 X r+1+···+a d X d produit de deux polynomes de la mani`ere suivante :

SiPetQsont deux polynomes deK[X], avecP(X)=

n=0 a n X n ,etQ(X)=+∞ n=0 b n X n ,o`u les a n et lesb n sont des scalaires tous nuls `a partir d"un certain rang, alors : le polynome somme s"´ecritP+Q, avec (P+Q)(X)= ?n=0 c n X n ,o`uc n =a n +b n le polynome produit s"´ecritPQ, avec (PQ)(X)= n=0 d n X n ,o`udn i+j=n a i b j

Propri´et´es:

SoientPetQdeux polynomes. Alors :

deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)etval(PQ)=val(P)+val(Q) 7 val(P+Q)≥Inf{val(P);val(Q)}avec ´egalit´esival(P)?=val(Q).

D´emonstration :Laiss´ee en exercice.

Remarque :Dans toute la suite, on identifiera souvent le polynomePavec la fonction polynomePqui `a toutkdeKassocieP(k).

2.1.2 Division euclidienne

Th´eor`eme 6SoientAetBdeux polynomes,B?=0. Il existe un unique couple(Q,R)de polynomes tel que :A=BQ+Ravecdeg(R)D´emonstration :Unicit´e Q ,R ) un autre couple solution. Alors on a :

O=B(Q-Q

)+(R-R ) c"est `a direB(Q-Q )=R -Ret donc : deg(R -R) = deg(B) + deg(Q-Q

Or deg(R

-R) est inf´erieur `a sup{deg(R );deg(R)}donc strictement inf´erieur `a deg(B). Cela implique queQ=Q et par suite queR=R

Existence

N N A. Lorsque deg(A)(0,A) convient. Supposons alors l"existence montr´ee pour tous les polynomes de degr´e stricte-

ment inf´erieur `anet soitAde degr´enavecn≥deg(B). On a :A=a n X n +···+a 1 X+a 0 etB=b p X p +···+b 1 X+b 0 aveca n =0,b p =0etn≥p. Posons alorsA 1 =A-a n b p X n-p B. deg(A 1 )λ?K.

Exemple :La division euclidienne deX

3 +3X 2 +2X+ 1 parX 2 + 1 s"´ecrit: X 3 +3X 2 +2X+1=(X 2 + 1)(X+3)+X-2.

X+ 3 est le quotient, etX-2 est le reste.

Le calcul peut s"effectuer de la mani`ere suivante : AX 3 +3X 2 +2X+1X 2 +1B Q 1 BX 3 +X -Q 1 B3X 2 +X+1X+3Q Q 2 B3X 2 +3Q 1 Q 2 RX-2 9

2.1.3 Racines, irr´eductibilit´e

Un scalaireadeKest dit racine dePsiP(a)=0.aest racine dePsi et seulement si (X-a) diviseP.

Soitk?N

, on dit queaest racine d"ordrek, (ou demultiplicit´ek)dePsi (X-a) k diviseP et si (X-a) k+1 ne divise pasP.

Exemple :SiP(X)=X

4 +2X 2 + 1 ; alors :

P(X)=(X

2 +1) 2 =(X-i) 2 (X+i) 2 , donciet-isont racines de multiplicit´e2deP. Un polynome non constantPest ditirr´eductiblesurKsi ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les polynomes deK[X] de la formeλP(λ?K). Concr`etement, cela signifie que

Pn"est "pas factorisable".

Exemple :SoitP(X)=X

2 +1. SiPadmet un diviseurQdansR[X], alors on a : soit deg(Q)=0,etQest une constante ; soit deg(Q)=2,etQest de la formeλP; soit deg(Q)=1,etQest de la formeλ(X-a), avecλeta?R, mais alorsaserait racine de

P: impossible.

DoncPest irr´eductible surR[X] ; en revanche,Pn"est pas irr´eductible surC[X]: on aP(X)=(X-i)(X+i). Deux polynomes deK[X](K=RouC) sont ditspremiers entre euxs"ils n"ont pas de racine complexe commune.

Th´eor`eme 7Sia

1 ,a 2 ,...,a r sont des racines distinctes du polynomePde multiplicit´es res- pectivesk 1 ,k 2 ,...,k r alorsPpeut s"´ecrire sous la formeP=(X-a 1 k 1 ...(X-a r kr Qo`uQ est un polynome. Corollaire :Un polynome de degr´ena au plusnracines.

Th´eor`eme 8SoitAun polynome deK[X],etaun ´el´ement deK. Alors les propri´et´es suiv-

antes sont ´equivalentes.

(X-a)

k diviseA.

A(a)=A

(a)=...=A (k-1) (a)=0. En cons´equence,aest racine d"ordrekdeAsi et seulement si

A(a)=A

(a)=...=A (k-1) (a)=0etA (k) (a)?=0.

On admettra ce th´eor`eme.

Exemple :On veut d´eterminer un polynomePde degr´e 3 tel queP(1) =P (1)=0,P(2)=0 etP(0)=2.Padmet 1 comme racine double et 2 comme racine simple, il est donc de la forme

P(X)=(X-1)

2 (X-2)Q(X), orPest de degr´e 3 doncQest de degr´e 0; c"est un polynome constant etP(X)=λ(X-1) 2 (X-2).On a de plusP(0)=2=-2λ.On en d´eduit que

P(X)=(X-1)

2 (2-X).Cette m´ethode est plus rapide que la m´ethode d"identification qui consiste `a poserP(X)=a 0 +a 1 X+a 2 X 2 +a 3 X 3 et `a traduire les quatre conditions impos´ees, on se ram`ene alors `alar´esolution d"un syst`eme de 4 ´equations `a 4 inconnues...

2.1.4 Quelquesr´esultats utiles

Th´eor`eme 9 (de D"Alembert)Tout polynome non constant deC[X]admet au moins une racine. En cons´equence, tout polynome deC[X] de degr´enadmet exactementnracines (compt´ees

avec leurs multiplicit´es) et est donc factorisable en un produit de facteurs du premier degr´e. On

dit que tout polynome deC[X] est scind´eetqueCest alg´ebriquement clos. 9

2.1.5 D´ecomposition en facteurs irr´eductiblesdansR

Proposition 1SoientP?R[X]etα?C. Alors

P(α)=P(¯α). En particulier,αest racine dePsi et seulement si¯αl"est aussi. Soit alorsPun polynome deR[X]. On peut consid´ererPcomme un polynome deC[X]et`a ce titre, le d´ecomposer en un produit de facteurs du premier degr´e de la forme (X-α i )o`u lesα i sont les racines complexes deP, compt´ees avec leur multiplicit´e. A chaque racineα i de

C\Rcorrespond la racine

i ,or(X-α i )(X-α i )=X 2 -sX+po`us=α i i ?Ret p==α i i ?Rv´erifients 2 -4p<0. On peut donc ´enoncer le r´esultat suivant:

Th´eor`eme 10Les polynomes irr´eductibles deR[X]sont soit de la forme:λ(X-α)(λ,α?R),

soit de la formeλ(X 2 -sX+p)avecs 2 -4p<0(s,p?R). Tout polynome deR[X]peut se d´ecomposer en produit de tels facteurs irr´eductibles.

Exemple :D´ecomposer le polynomeP=X

6 -1deR[X] en facteurs irr´eductibles dansR. On effectue d"abord la d´ecomposition dansC(en utilisant les racines 6i`emes de l"unit´e) :

P=(X-1)(X-j)(X-j

2 )(X+1)(X+j)(X+j 2 ), puis on regroupe les facteurs conjugu´es pour obtenir :P=(X-1)(X+1)(X 2 +X+1)(X 2 -X+ 1).

2.2 FractionsrationnellessurRouC

2.2.1 D´efinition

On appelle fraction rationnelle `a une ind´etermin´ee tout couple (P,Q)deK[X]×K[X] .On note P .SiPS=QR, on identifie les deux fractions rationnellesPetR. (On dit aussi que

ce sont deux repr´esentants de la meme fraction). Toute fraction rationnelle admet au moins un

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] Chapitre 2 POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

Chapitre 2

POLYNOMES ET FRACTIONS

RATIONNELLES

2.1 PolynomessurRouC

2.1.1 Vocabulaire sur les polynomes

K[X] est donc l"ensemble desPtels queP(X)=+∞

On a doncP(X)=a

SiPetQsont deux polynomes deK[X], avecP(X)=

Propri´et´es:

SoientPetQdeux polynomes. Alors :

D´emonstration :Laiss´ee en exercice.

2.1.2 Division euclidienne

O=B(Q-Q

Or deg(R

Existence

Exemple :La division euclidienne deX

X+ 3 est le quotient, etX-2 est le reste.

2.1.3 Racines, irr´eductibilit´e

Soitk?N

Exemple :SiP(X)=X

P(X)=(X

Pn"est "pas factorisable".

Exemple :SoitP(X)=X

P: impossible.

Th´eor`eme 7Sia

(X-a)

A(a)=A

A(a)=A

On admettra ce th´eor`eme.

P(X)=(X-1)

P(X)=(X-1)

2.1.4 Quelquesr´esultats utiles

2.1.5 D´ecomposition en facteurs irr´eductiblesdansR

Proposition 1SoientP?R[X]etα?C. Alors

C\Rcorrespond la racine

Exemple :D´ecomposer le polynomeP=X

P=(X-1)(X-j)(X-j

2.2 FractionsrationnellessurRouC

2.2.1 D´efinition

2.1 PolynomessurRouC

2.1.1 Vocabulaire sur les polynomes

SiPetQsont deux polynomes deK[X], avecP(X)=

SoientPetQdeux polynomes. Alors :

(X-a)

A(a)=A

Exemple :D´ecomposer le polynomeP=X