ROC : Restitution organisées des connaissances
1 SUITES 1 Suites 1 1 Somme des termes d’une suite géométrique Théorème 1 : Soit (un)une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premierterme u0 La somme Sn des (n +1)premier termes est égale à :
ROC : Restitution organisées des connaissances
TABLE DES MATIÈRES 1 Suites 1 1 Somme des termes d’une suite géométrique Théorème 1 : Soit (un)une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premierterme u0 La somme Sn des (n +1)premier termes est égale à :
Contrôle de mathématiques - AlloSchool
Chapitre1 : rappelssurlessuites, algorithme 28 septembre2014 Contrôle de mathématiques Mardi 23 septembre 2014 Exercice1 ROC (4 points) 1) On considère une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison q ,1
1 S SUITES 1 Partie
Exemple : La suite des puissances de 2 est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 Propriété : Terme général : (ROC) : Si u est une suite géométrique de raison , alors, pour tous entiers naturels n et p, on a u n = u p q (n-p) En particulier : u n = u 0 q n et u n = u 1 q n-1 Exercice 8 : La suite () est
Limites de suites : théorèmes de comparaison - Limite de qn
ROC : Si (un) et (vn) sont deux suites telles que : un⩽vn à partir d’un certain rang et lim n→+∞ un=+∞, alors (vn) tend vers + ∞ quand n tend vers +∞ Savoir-faire 6 p 19 Application 1 Savoir utiliser le théorème « des gendarmes » (admis) Application 2 Limite d'une suite géométrique : ROC : Si q>1, alors lim n→+∞ qn
Les suites - Partie II : Les limites
Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers Question 2 [Solution n°10 p 27] ROC : Démontrer ce théorème Attention Les réciproques de ces théorèmes sont fausses une suite peut tendre vers l'infini et ne pas être croissante pour autant
Correction contrôle de mathématiques
ROC et suite géométrique (4 points) 1) Voir le cours PaulMilan 1 TerminaleS correctionducontroledemathˆ ematiques´
1 Limites et comparaison
2 Limite éventuelle d'une suite géométrique a) Comportement à l'infini de qn avec q réel Propriété qn q⩽−1 −1⩽q⩽1 q=1 q>1 lim n→+∞ qn n'existe pas 0 1 +∞ ROC : preuve dans le cas q>1 On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : (1+ a)n⩾1+ an
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8 ROC+exemples, France 2005 6 1 9 Récurrence 1, France 2004 7 1 10 Récurrence 2, Pondicherry 2004 8 La suite ( )g hn n− est une suite géométrique de
Suites arithmétiques et géométriques A) Suites arithmétiques
Une suite (un) est géométrique de raison q si et seulement si ℕ : q u u n n+1 = Exemples : • Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la quotient n n u u+1 est constante pour tout entier naturel n Ainsi la suite définie sur ℕ par n n u 2 1 3 2 + = est géométrique de raison 9 2 car : n ℕ : ( ) ( ) 9 2 3 2 2 2 2
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1er S SUITES 1er Partie Objectifs : Modes de génération d'une suite. Suites arithmétiques. Suites géométriques. Modéliser et étudier une situation à l'aide de suites. Mettre en oeuvre des algorithmes permettant d'obtenir une liste de termes d'une suite, de calculer un terme de rang donné. Etablir et connaître les formules 1 + 2 + .... + n et 1 + q + q2 + ... + qn. I- Modes de génération Ø Une suite numérique u est une fonction définie sur ℕ et à valeurs dans ℝ :
u:!!" n#u nIci, la variable est notée ! (comme naturel puisque !∈ℕ). Son image par la suite u est notée un et se lit " u indice ! ». On note cette suite (un) ou
u n n!!Ø Une suite peut être définie : - Soit explicitement à l'aide d'une fonction f de la variable !∈ℕ : un = f(n) Exercice 1 : Soit u
n =n 2 +1 pour tout n∈ . Calculer u 0 ,!u 1 ,!u 2 et u 6- Soit par récurrence à l'aide de son premier terme et d'une relation de récurrence (autrement dit, une formule permettant de calculer un terme en fonction du précédent). Exercice 2 :
u n n!! définie par u 0 =1 u n+1 =0,15u n 2 +2 pour tout n!!Calculer u
1 ,!u 2 et u 3Remarques : o Quand une suite (un) est définie par récurrence, le calcul de u50 par exemple, nécessite le calcul pas à pas de tous les termes précédents. Comparativement, la formule explicite nous donnerait en un seul calcul le résultat. o Une relation de récurrence peut faire intervenir plusieurs termes consécutifs. Ø Une suite peut être représentée de deux façons différentes : - Sur la droite réelle : on place les points d'abscisse u0, u1, ...un sur un axe. - Dans le plan : on place les points de coordonnées (n ; un) dans un repère. Exercice 3 : Représenter les cinq premiers termes de la suite de l'exercice 1 des deux façons. Exercice 4 : Pour les exemples suivants, tracer dans un repère
(O; i, j)orthonormal, "le chemin de la suite" pour placer les premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses. n1n
0 2 uu3 5 u2 n1n 0 u2u3 u4 n1n 0 2 uu6 3 u1II- Suites arithmétiques Définition : Une suite (un) est dite arithmétique s'il existe un réel ! tel que pour tout !∈ℕ, !!!!=!!+! Dans ce cas, ! est appelé raison de la suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme (sauf le premier) est obtenu en ajoutant au terme précédent la même raison !. Exemple : La suite des nombres pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
Propriété : Terme général : (ROC) : Si u est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tous entiers naturels n et p, on a un = up + (n-p)r En particulier : un = u0 + nr et un = u1 + (n-1)r Exercice 5 : Lasuite(!!)estunesuitearithmétiquedepremierterme!!=-3etderaison!=2.Calculer!!,!!,!!,!!.Exercice 6 : Soit(!!)lasuitearithmétiquedepremierterme!!=10etderaison!=2.Calculer!!".Propriété : (ROC) Pour tout entier naturel n, 1 + 2 + 3 +...+ n = nn+1
2 . Somme des termes d'une suite arithmétique : (ROC) : ()() 0 01211 2 n nn nuu uuuuu
On peut aussi retenir :()()
1 2 breer ndete rmes termederniertermeSommedestermes
Exercice 7 : Calculer les sommes A= 1+2+3+.....+25 ; B = 100+101+102+...+116 Et C = 5+7+9+....+99 III- Suite géométrique Définition : Une suite (un) est dite géométrique s'il existe un réel ! tel que pour tout !∈ℕ, !!!!=!×!! Dans ce cas, ! est appelé raison de la suite. Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme (sauf le premier) est obtenu en multipliant le terme précédent par la même raison !. Exemple : La suite des puissances de 2 est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2. Propriété : Terme général : (ROC) : Si u est une suite géométrique de raison !, alors, pour tous entiers naturels n et p, on a un = up q(n-p) En particulier : un = u0 qn et un = u1 qn-1 Exercice 8 : La suite (!!) est géométrique de premier terme !! et de raison !. Calculer !!,!!,!!,!!. a) !!=1 et !=2 b) !!=-1 et !=-2 c) !!=1 et !=!! Exercice 9 : La suite (!!) est géométrique de premier terme !! et de raison !. Exprimer !! en fonction de ! et calculer !!". a) !!=1 et !=3 b) !!=2 et !=-1 Propriété : (ROC) Pour tout entier naturel n, si q!1
alors 1+q+q 2 +...+q n 1!q n+1 1!q Somme des termes d'une suite géométrique : (ROC) 1 012101 ....1 1 n nn a uuuuuup ou ra a