1 SUITES 1 Suites 1 1 Somme des termes d’une suite géométrique Théorème 1 : Soit (un)une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premierterme u0 La somme Sn des (n +1)premier termes est égale à :
TABLE DES MATIÈRES 1 Suites 1 1 Somme des termes d’une suite géométrique Théorème 1 : Soit (un)une suite géométrique de raison q 6= 1 et de premierterme u0 La somme Sn des (n +1)premier termes est égale à :
Chapitre1 : rappelssurlessuites, algorithme 28 septembre2014 Contrôle de mathématiques Mardi 23 septembre 2014 Exercice1 ROC (4 points) 1) On considère une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison q ,1
Exemple : La suite des puissances de 2 est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 Propriété : Terme général : (ROC) : Si u est une suite géométrique de raison , alors, pour tous entiers naturels n et p, on a u n = u p q (n-p) En particulier : u n = u 0 q n et u n = u 1 q n-1 Exercice 8 : La suite () est
ROC : Si (un) et (vn) sont deux suites telles que : un⩽vn à partir d’un certain rang et lim n→+∞ un=+∞, alors (vn) tend vers + ∞ quand n tend vers +∞ Savoir-faire 6 p 19 Application 1 Savoir utiliser le théorème « des gendarmes » (admis) Application 2 Limite d'une suite géométrique : ROC : Si q>1, alors lim n→+∞ qn
Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers Question 2 [Solution n°10 p 27] ROC : Démontrer ce théorème Attention Les réciproques de ces théorèmes sont fausses une suite peut tendre vers l'infini et ne pas être croissante pour autant
ROC et suite géométrique (4 points) 1) Voir le cours PaulMilan 1 TerminaleS correctionducontroledemathˆ ematiques´
2 Limite éventuelle d'une suite géométrique a) Comportement à l'infini de qn avec q réel Propriété qn q⩽−1 −1⩽q⩽1 q=1 q>1 lim n→+∞ qn n'existe pas 0 1 +∞ ROC : preuve dans le cas q>1 On démontre par récurrence que pour a réel strictement positif et tout entier naturel n : (1+ a)n⩾1+ an
8 ROC+exemples, France 2005 6 1 9 Récurrence 1, France 2004 7 1 10 Récurrence 2, Pondicherry 2004 8 La suite ( )g hn n− est une suite géométrique de
Une suite (un) est géométrique de raison q si et seulement si ℕ : q u u n n+1 = Exemples : • Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la quotient n n u u+1 est constante pour tout entier naturel n Ainsi la suite définie sur ℕ par n n u 2 1 3 2 + = est géométrique de raison 9 2 car : n ℕ : ( ) ( ) 9 2 3 2 2 2 2
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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 juin 2014 à 9:22
ROC : Restitution organisées des
connaissances Les démonstrations suivantes sont à connaître. Les raisonnementsmis en oeuvre peuvent être demandés dans un contexte légèrement différent. En particulier en ce qui concerne les suites récurrentes. Bien lire les pré-requis dans les questions ROC, on peut demanderune autre dé- monstration que celle vue en cours.
Table des matières
1 Suites2
1.1 Somme des termes d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Inégalité de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Théorèmes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Suite croissante non majorée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Analyse7
2.1 Unicité de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Limites de référence de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Logarithme du produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini. . . . . . . . . . 12
2.7 Croissance comparée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . 14
2.9 Théorème fondamental de l"intégration. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.10 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Les nombres complexes17
3.1 Propriétés des modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Propriétés des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Probabilité. Statistique19
4.1 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Loi exponentielle - loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Expérance d"une loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Loi normale - Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . 22
4.5 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Statistique - Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Géométrie dans l"espace25
5.1 Le théorème du toit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Droite orthogonale à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Suites
1.1 Somme des termes d"une suite géométrique
Théorème 1 :Soit(un)une suite géométrique de raisonq?=1 et de premier termeu0. La sommeSndes(n+1)premier termes est égale à : S n=u0+u1+···+un=u01-qn+1 1-q
Démonstration :on a :
S n=u0+u1+u2+···+un =u0+ (q×u0) + (q2×u0) +···+ (qn×u0) =u0(1+q+q2+···+qn)
On pose :An=1+q+q2+···+qn-1+qn
En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : A n=1+q+q2+···+qn-1+qn q×An=q+q2+···+qn-1+qn+qn+1
An-q×An=1-qn+1
On obtient alors :An=1-qn+1
1-q
Conclusion :On a doncSn=u01-qn+1
1-q
PAULMILAN2 TERMINALES
1. SUITES
1.2 Inégalité de Bernoulli
Théorème 2 :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na
Démonstration :Par récurrence
P(0)est vraie puisque(1+a)0?1+0apour touta?R+.
Montrons que, pour toutn?N:
P(n)? P(n+1)
Soitn?N, supposons queP(n)est vraie donc :
(1+a)n?1+na Or, 1+a>0, donc en multipliant l"inégalité ci-dessus par(1+a), on obtient : (1+a)n+1?(1+na)(1+a) Or (1+na)(1+a) =1+a+na+na2=1+ (n+1)a+na2 et commena2?0 : (1+na)(1+a)?1+ (n+1)a
D"où
(1+a)n+1?1+ (n+1)a
P(n+1)est vrai.
Conclusion: on a :?P(0)
?n?N,P(n)? P(n+1)
Donc :?a?[0;+∞],(1+a)n?1+na
PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.3 Théorèmes de comparaison
Théorème 3 :Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :
1)Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"
v n?un?wnet si limn→+∞vn=?et limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?
2)Théorème de comparaison
un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Pré-requis :Définition de la limite infinie d"une suite Démonstration :Seule la preuve du théorème de comparaison en+∞est exigible. On sait que : limn→+∞vn= +∞, donc pour tout réelA, il existe un entierNtel que sin>Nalorsvn?]A;+∞[ Commeun>vnà partir du rangpdonc sin>max(N,p)alorsun?]A;+∞[
On a donc bien : lim
n→+∞un= +∞
PAULMILAN4 TERMINALES
1. SUITES
1.4 Limite d"une suite géométrique
Théorème 4 :Soitqun réel. On a les limites suivantes :
Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞
Si-1 Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas
Pré-requis :Inégalité de Bernoulli et théorème de comparaison en+∞ Démonstration :Seule la preuve de la première limite est exigible D"après l"inégalité de Bernoulli, on a :
?a>0(1+a)n?1+na On poseq=1+adonc sia>0 on aq>1. L"inégalité devient : q n?1+na Commea>0 on a : limn→+∞1+na= +∞
D"après le théorème de comparaison on a : lim n→+∞qn= +∞ Remarque :Pour démontrer la deuxième limite, on peut poserQ=1 |q|, avec 0<|q|<1 doncQ>1 . On revient alors à la première limite et l"on conclut avec
le quotient sur les limites. PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.5 Suite croissante non majorée
Théorème 5 :Divergence
Si une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un)diverge vers Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite(un)diverge vers-∞. Pré-requis :Définition d"une suite non majorée. Démonstration :Seule la preuve de la première propriété est exigible. Soit donc une suite(un)croissante et non majorée. (un)n"est pas majorée, donc pour tout intervalle]A;+∞[, ?N?Ntel que :uN?]A;+∞[ Comme(un)est croissante, on a :
?n>Nalorsun>uN Donc :
?n>Nalorsun?]A;+∞[ donc à partir d"un certain rang tous les termes de la suite sont dans l"intervalle ]A;+∞[. La suite(un)diverge vers+∞. PAULMILAN6 TERMINALES
2. ANALYSE
2 Analyse
2.1 Unicité de la fonction exponentielle
Théorème 6 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp Démonstration :L"existence de cette fonction est admise. Démontrons l"unicité.
La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x) Commef?=f, on a :
=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :
?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler. UnicitéOn suppose que deux fonctionsfetgvérifient les conditions du théorème, soit f=f?,g?=getf(0) =g(0) =1. La fonctiongne s"annule donc pas, on définit alors surRla fonctionhparh=f g. On dériveh: h ?=f?g-fg? g2=fg-fgg2=0 La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)
g(0)=1 On a donc :?x?R,f(x)
g(x)=1. On en déduit quef=g. L"unicité est ainsi prouvé. PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2.2 Relation fonctionnelle de l"exponentielle
Théorème 7 :Soitaetbdeux réels, on a alors : exp(a+b) =exp(a)×exp(b) Remarque :Cette relation s"appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé- finir l"exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l"exponentielle est égale à sa dérivée. Démonstration :Posons la fonctionh(x) =exp(x+a) exp(a). Montrons alors que la fonctionhn"est autre que la fonction exponentielle. Il suffit alors de Montrer queh?=heth(0) =1 : h ?(x) =exp?(x+a) exp(a)=exp(x+a)exp(a)=h(x) h(0) =exp(0+a) exp(a)=1 La fonctionhest donc la fonction exponentielle. On en déduit alors : exp(x+a) exp(a)=exp(x)?exp(x+a) =exp(x)×exp(a) PAULMILAN8 TERMINALES
2. ANALYSE
2.3 Limites en l"infini de l"exponentielle
Théorème 8 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞ex= +∞et limx→-∞ex=0 Démonstration :Soit la fonctionfsuivante :f(x) =ex-x. Dérivons la fonctionf:f?(x) =ex-1
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on a: f ?(x)>0?x>0 etf?(x)<0?x<0 On obtient alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) -∞0+∞ 0+ 11 Du tableau de variation on en déduit :?x?Rf(x)>0 doncex>x or on sait que lim x→+∞x= +∞par comparaison on a : lim x→+∞ex= +∞ En faisant le changement de variableX=-x, on obtient : lim eX=0 PAULMILAN9 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2.4 Limites de référence de l"exponentielle
Théorème 9 :On a : limx→0e
x-1x=1 Démonstration :La démonstration découle de la définition de la dérivée en 0 appliquée à la fonctionex. lim x→0e x-e0 x=exp?(0) =exp(0) =1 Théorème 10 :Croissance comparée
lim x→+∞e x x= +∞et limx→-∞xex=0 Démonstration :Comme pour la limite deexen+∞, on étudie les variation d"une fonction. Soit donc la fonctiongdéfinie surRpar : g(x) =ex-x2 2 On calcule la dérivéeg?:g?(x) =ex-x
D"après le paragraphe 2.3, on a :?x?Rex>xdoncg?(x)>0 La fonctiongest donc croissante surR.
Org(0) =1 donc six>0 alorsg(x)>0. On en déduit donc que : x>0g(x)>0?ex>x2 2?exx>x2
On sait que lim
x→+∞x 2= +∞, par comparaison, on a :
lim x→+∞e x x= +∞ Pour la deuxième limite, on fait un changement de variableX=-x, on obtient alors : lim eX=0 Conséquence: la fonction exponentielle " l"emporte » sur la fonctionx. PAULMILAN10 TERMINALES
2. ANALYSE
2.5 Logarithme du produit
Théorème 11 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab
On conclut donc que lnab=lna+lnb.
Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme. PAULMILAN11 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2.6 Limites de la fonction logarithme en 0 et en l"infini
Théorème 12 :On a les limites suivantes :
lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞ Démonstration :
Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M. Conclusion : lim
x→+∞lnx= +∞. Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1x. Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :
lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 X=limX→+∞-lnX=-∞
PAULMILAN12 TERMINALES
2. ANALYSE
2.7 Croissance comparée
Théorème 13 :Croissance comparée
lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Pré-requis :limx→+∞e
xx= +∞ Démonstration :
Pour la premère limite, on fait un changement de variable. On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors : x→+∞alorsX→+∞ Notre limite devient alors :
lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1x. On a alors : x→0+alorsX→+∞ La deuxième limite devient alors :
lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0
Remarque :On peut dire que : "xl"emporte sur lnxen+∞». PAULMILAN13 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2.8 Limites et dérivées des fonctions trigonométriques
Théorème 14 :D"après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus,quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26
ROC : Restitution organisées des connaissances