[PDF] CHAPITRE Les fractions algébriques

CHAPITRE Les fractions algébriques

Si par exemple x =2, cette fraction vaut 8 3 a b a b + − 2 est une fraction algébrique des variables a et b Si par exemple a =3 et b =2 , alors cette fraction est égale à 7 Remarque importante Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne s'annule pas Retenons donc : Condition d'existence : a b

MATHEMATIQUES - Fractions arithmétiques

(voir 2 1) La fraction ainsi obtenue est appelée fraction irréductible Exemple : 8 6 8 2 6 2 16 12 = • • = et 4 3 4 2 3 2 8 6 = • • = En ntation algébrique, on écrira : si N = k • n et D = k • d (N est multiple de k et D est multiple de k) alors d n k d k n D N = • • = On essaie toujours de simplifier la fraction au

I Compétences à atteindre

1 4 13 Rendre une fraction algébrique donnée irréductible 1 4 14 Réduire des fractions algébriques données au même dénominateur 1 4 15 Additionner et soustraire des fractions algébriques (le résultat doit être simplifié au maximum) 1 4 16 Multiplier et diviser des fractions algébriques C2 2 1 3

Chapitre VII : Les polynômes - Weebly

Expliquer la notion de condition d’existence d’une faction algébrique Trouver la (les) valeur(s) qui annule(nt) un polynôme Enoncer les conditions d’existence d’une fraction algébrique Simplifier une fraction algébrique Effectuer des opérations sur les factions algébriques

MAT-3051-2 - MatFGA

Modélisation algébrique et graphique MAT-3051-2 Page 7 EXERCICE 1 Écrivez en mot votre lecture des symboles d’inégalité suivants : a) < b) > c) Q d) R Si ce n’est pas déjà fait, apprenez maintenant à utiliser le bouton fraction de votre calculatrice

numeration - WordPresscom

fraction ( a s'écrit alors 2/3), soit sous la forme décimale (αest alors égal à 0,666 ) – Avec Q est réalisée la clôture algébrique de l'ensemble des entiers par rapport aux quatre opérations qui y sont naturellement définies – L'ensemble des nombres rationnels est le plus petit ensemble

En l’absence de parenthèses, on effectue les opérations dans

parle alors de somme algébrique Ex : 8-4-5+2+7+4-3 = 8+2+7-5-3= 9 Des parenthèses dans une somme algébrique Règle: dans une somme algébrique contenant des parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et le signe situé devant à condition : - de ne rien changer si le signe précédant les parenthèses est « + »

CHAPITRE 1 : PUISSANCES DE NOMBRES

vérifiant une condition de distance par rapport à un point 4 d’utiliser le symbole adéquat ( =, , ≤, ≥) pour traduire une condition de distance 5 de connaître les six positions de deux cercles, de savoir les représenter, d’en donner la condition d’existence et le nombre de points d’intersection propre à chaque position

NOTES SUR LES TROIS MÉDIÉTÉS ANCIENNES

condition indiquée dans notre tableau ci-dessus C’est-à-dire qu’on voit que, pour que la médiété harmonique existe comme nombre entier, entre deux nombres a et c, il faut que le rapport a c puisse s’écrire sous le forme n-1 n+1, c’est-à-dire comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont séparés de 2 unités

Exercices d’application corrigés Des Sujets Commentés et Corrigés

1 2 2 Quelle est la fraction d’alcool estérifié ? Exercice 2: 2 1 On fait réagir le chlorure de thionyle sur l’acide propanoïque (noté A) pour obtenir un corps organique B Donner la formule semi-développée et le nom de B 2 2 On fait réagir entièrement 0,1 mol de B avec un excès d’amine primaire saturée; on obtient un

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CHAPITRE 4

Les fractions algébriques

1. Définition et exemples

Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables1.

Exemples.

2 1 2x x+ est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple x=2, cette fraction vaut 8 3. a b ab -2 est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple a=3 et b=2, alors cette fraction est égale à 7.

Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne

s"annule pas. Retenons donc :

Condition d"existence :

a bb existeÛ ¹0

Exemples.

2 1 2x x+ existe Û+¹Û¹-xx101. a b ab -2 existe Û-¹Û¹a b a b0.

2. Simplification et amplification

a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m.

Simplification par

0m≠ : a

b a b m m

Exemples de simplification.

4 62
32
3x yx yx y=

×=2

2 (Simplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5 2ab b ab ab=×

×=b

b (Simplification par b) x x xx x xx 2 3 31

3 1 3+

× +=bgb g (Simplification par x+1)

Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du

numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le

numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction

par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur.

1 Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.

2Contre-exemples.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x+2

4 par 2 puisque 2 n"est pas un facteur du numérateur.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x x 21
1 + par x puisque x n"est pas un facteur du numérateur, ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par x+1 à condition de factoriser d"abord le numérateur : x xx x xxx21 11 1 1 11 11-

× +=-= -bgbgb g.

b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. L"amplification est donc le contraire de la simplification.

Amplification par m :

a b a b=× ×m m

Exemples d"amplification.

2 32
34
6x yx yx y=

×=2

2 (Amplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5

2ab ab ab

b=×

×=b

b (Amplification par b) xx x xx x x31

3 1 3 32

+bgb g (Amplification par x+1)

3. Somme et différence de fractions algébriques

Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur : a b c b a c b± =± Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques : a b c d a b c d ad bc bd± =× ±d db b

Expliquons :

· Dans la 1re formule les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d"additionner (ou de

soustraire) les numérateurs sur ce dénominateur commun.

· Dans la 2e formule les fractions n"ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier

chacune d"elles pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus

simple) est le produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est

le plus petit commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme. Donnons quelques exemples afin d"éclaircir la notion de ppcm. a b a b a b 46
3 12 2 12 3 2

12+ = + =+ ppcm 4 6 12,bg=

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2

xx x xx x x+ = + =+ ppcmx x x,2 2ch= 7 123
2035
609

6035 9

60a
xb yay xybx xyay bx xy- = - =- ppcm 12 20 60x y xy,bg=

3▪

4 13 14 1

1 13 1

1 1x xx

x xx x x+--=- + -bgb gb gbgb gb g ppcmx x x x+ - = + -1 1 1 1,bgbgbg + -4 1 3 1 1 1

4 4 3 3

1 1 7

1 1x x

x x x x x x x x xbgbgb gb g b gbg b gbg

Voici un dernier exemple plus compliqué :

1 1 1 4

213 2-++

--- +a a aaaa -1 11 14 1 1 11 1 14 1 1 11 14 1 1 11 14 1 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a ac h b g b gb g b g b g bgb gb g b g b g b g b gc hbgbgb g

4. Produit et quotient de fractions algébriques

Pour faire le produit de deux fractions, il est inutile de prendre un dénominateur commun : a b c d a c bd× =×

En particulier : acd

a c d a c d× = × =× 1

Laisser le dénominateur du

résultat sous forme factorisé !!

Avant de chercher le dénominateur commun,

il faut factoriser tous les dénominateurs !!

Remarquer les facteurs opposés a-1 et 1-a

Avant de chercher le dénominateur commun,

simplifier si possible les fractions !!

Le dénominateur commun est :

ppcma a a a a a- - - = -1 1 1 12 2, ,bgbgejbg

Factoriser le résultat si possible, i.e.

· laisser le dénominateur sous forme

factorisée et · factoriser si possible le numérateur du résultat

4Exemples.

3 25
23 5
2 215 4x y ax y ax ay× =× a aa a aa a a a aa a a a a aa a- + - +=+2

3 1 42

3 1 42 1

3 1 2 2 3 22

22

2b gbgchb gc hbgbgb gb gb g b g

Voici la formule donnant le quotient de deux fractions : a b c d a bc da bd cad bc= ¸ = × =

En particulier :

a b c a b c a bc a bc= ¸ = × =1 1 et : a c d a c da d cad c= ¸ = × =1 1

Exemples.

2 42
42
41
22
2 2 x x xx x x x= × = = a b c a bc a bc 2 32
1

36= × =

a b c a c bac b 2 3 13 23

2= × =

x x x xx x xx x xx xx x x + -=6 6 36
1236
6

612 36

366
66
6 612 22

22b gb gb g

Pour terminer ce chapitre, nous insistons sur un point important :

Opposé d"une fraction :

- =-=-ab a b a b

Exemples.

--=-13 1 3aa -x yx yx y 4 34
34
3quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42