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CHAPITRE Les fractions algébriques - LMRL

Les fractions algébriques 1 Définition et exemples Définition Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables 1 Exemples 2 1 x2 x + est une fraction algébrique de la variable x Si par exemple x =2, cette fraction vaut 8 3 a b a b + − 2 est une fraction algébrique des variables a et b Si par exemple a =3 et b

Factorisation et fractions algébriques

Factorisation et fractions algébriques Technique 2 : Factorisation par double mise en évidence Pour effectuer une double mise en évidence, nous devons : 1 Regrouper entre parenthèses les termes qui ont un facteur commun; 2 Effectuer pour chaque groupe de termes une première mise en évidence du plus grand facteur commun; 3

I Compétences à atteindre

2 3 4 Déterminer les conditions d’existence de fractions algébriques données C6 6 1 4 Utiliser les propriétés des fractions rationnelles pour résoudre les équations fractionnelles du 1 er degré à une inconnue et valider leur solution à l’aide des C E 6 1 5 Utiliser les propriétés des fractions rationnelles afin de

1 règles de calcul

Petit manuel de calculs algébriques 1re-Spécialité mathématiques, 2020-2021 Version : 005(25 octobre 2020 `) " Remarque : Des erreurs/coquilles ont pu se glisser dans la rédaction 1 règles de calcul 1 1 Calculer avec des fractions Pour tous a,bet créels non-nuls 1 a 1 =a Une fraction dont le dénominateur vaut 1est égale à son

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Calculs Algébriques et Numériques 1 Opérations sur les fractions, pourcentages, coefficient multiplicateur Compétences Savoir effectuer un calcul fractionnaire Savoir appliquer un pourcentage Application 1 Savoir calculer un pourcentage Application 2 Savoir déterminer un pourcentage relatif à un caractère de groupe Application 3

Mathématiques : objectifs pour lexamen de juin 2016

Les équations • Résoudre des équations du 1 er degré, des équations produits et des équations fractionnaires et de donner l'ensemble des solutions • Résoudre des problèmes à 1 inconnue Les fractions algébriques • Déterminer les conditions d'existence d'une fraction algébriquement • Simplifier des fractions algébriques

Maths Francais - CRDP

premiers, et évaluer les pouvoirs des nombres et des racines carrées de carrés parfaits jusqu'à 144 EB7 Les nombres premiers: Chapitre 3 EB8 PGCD & PPCM: Chapitre 3 Les racines carrées: Chapitre 9 Nombre: Fractions, Decimaux, et Entiers 1 Identifier, comparer, ou mettre en ordre des nombres rationnels (fractions, décimales,

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Résoudre dans R les équations suivantes en supprimant d’abord les fractions : 1) 2x +3 2 = 7x −2 3 2) 2x −3 3 = 3 4 Des parenthèses, des fractions et des radicaux EXERCICE 6 Résoudre dans R les équations suivantes en supprimant au choix d’abord les parenthèses ou les fractions : 1) 1 4 (x +4)− 1 20 (x −60)= 2 5 (x +15) 2

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CHAPITRE 4

Les fractions algébriques

1. Définition et exemples

Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables1.

Exemples.

2 1 2x x+ est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple x=2, cette fraction vaut 8 3. a b ab -2 est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple a=3 et b=2, alors cette fraction est égale à 7.

Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne

s"annule pas. Retenons donc :

Condition d"existence :

a bb existeÛ ¹0

Exemples.

2 1 2x x+ existe Û+¹Û¹-xx101. a b ab -2 existe Û-¹Û¹a b a b0.

2. Simplification et amplification

a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m.

Simplification par

0m≠ : a

b a b m m

Exemples de simplification.

4 62
32
3x yx yx y=

×=2

2 (Simplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5 2ab b ab ab=×

×=b

b (Simplification par b) x x xx x xx 2 3 31

3 1 3+

× +=bgb g (Simplification par x+1)

Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du

numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le

numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction

par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur.

1 Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.

2Contre-exemples.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x+2

4 par 2 puisque 2 n"est pas un facteur du numérateur.

▪ On ne peut pas simplifier la fraction x x 21
1 + par x puisque x n"est pas un facteur du numérateur, ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par x+1 à condition de factoriser d"abord le numérateur : x xx x xxx21 11 1 1 11 11-

× +=-= -bgbgb g.

b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. L"amplification est donc le contraire de la simplification.

Amplification par m :

a b a b=× ×m m

Exemples d"amplification.

2 32
34
6x yx yx y=

×=2

2 (Amplification par 2)

▪ 3 5 3 5 3 5

2ab ab ab

b=×

×=b

b (Amplification par b) xx x xx x x31

3 1 3 32

+bgb g (Amplification par x+1)

3. Somme et différence de fractions algébriques

Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur : a b c b a c b± =± Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques : a b c d a b c d ad bc bd± =× ±d db b

Expliquons :

· Dans la 1re formule les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d"additionner (ou de

soustraire) les numérateurs sur ce dénominateur commun.

· Dans la 2e formule les fractions n"ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier

chacune d"elles pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus

simple) est le produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est

le plus petit commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme. Donnons quelques exemples afin d"éclaircir la notion de ppcm. a b a b a b 46
3 12 2 12 3 2

12+ = + =+ ppcm 4 6 12,bg=

4 3 4 3 4 3

2 2 2 2

xx x xx x x+ = + =+ ppcmx x x,2 2ch= 7 123
2035
609

6035 9

60a
xb yay xybx xyay bx xy- = - =- ppcm 12 20 60x y xy,bg=

3▪

4 13 14 1

1 13 1

1 1x xx

x xx x x+--=- + -bgb gb gbgb gb g ppcmx x x x+ - = + -1 1 1 1,bgbgbg + -4 1 3 1 1 1

4 4 3 3

1 1 7

1 1x x

x x x x x x x x xbgbgb gb g b gbg b gbg

Voici un dernier exemple plus compliqué :

1 1 1 4

213 2-++

--- +a a aaaa -1 11 14 1 1 11 1 14 1 1 11 14 1 1 11 14 1 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a a a aquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12