Chapitre 1 : Calcul des variations

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Calcul des variations - IRAMIS

Calcul des variations 2 1 Préliminaire : Multiplicateurs de Lagrange Pour comprendre l’intérêt des multiplicateurs de Lagrange, considérons une fonction f : f : U −→ R (x,y) −→ f(x,y) U est un ouvert de R2 f est supposée continue et admettant des dérivées première et seconde continues sur U df = ∂f ∂x dx+ ∂f ∂y dy

Chapitre 1 : Calcul des variations - Université Paris-Saclay

Chapitre 1 : Calcul des variations Pierre Pansu 12 juillet 2005 On pr´esente les ´equations d’Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des pro-bl`emes variationnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d’E Noether fournissant pour chaque sym´etrie inﬁnit´esimale du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations

INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS

Le calcul des variations est un des sujets classiques des mathématiques C’est Euler, qui, au vu des travaux de Lagrange, a donné son nom à ce sujet des mathématiques En fait le sujet est beaucoup plus ancien Il commence avec un des plus vieux problèmes des mathématiques : l’inégalité isopérimétrique Une variante de cette

Mathématiques 2 - CentraleSupelec

D’une manière plus générale, le calcul de la différentielle se ramène à des calculs de dérivées de fonctions d’une variable : Proposition 1 Soit x(t) est une courbe C 1 dans V, i e une application C 1 de [0,1] dans V Si f(x)

Calcul intégral Exercices corrigés - Free

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Exercice 1 – Variations absolues – Variations relatives

Exercice 1 – Variations absolues – Variations relatives 3 points Un kilo de tomates est vendu 1,82 € le kilo au lieu de 2,02 € le kilo Un kilo de carottes est vendu 1,20 € le kilo mais on bénéficie de 11 de réduc-tion en caisse 1 En variation absolue, quel est le légume dont le prix au kilo a le plus baissé ?

Exercices séries de Fourier

C’est toujours la même histoire J’avais l’intention de réunir quelques exercices corrigés classiques sur les séries de Fourier, me disant que ce travail serait achevé au bout de quelques pages, mais de fil en aiguille, il a pris des proportions de plus en plus vastes, se transformant en une somme théologique

Pierre Pansu

12 juillet 2005

On pr´esente les ´equations d"Euler-Lagrange caract´erisant les extr´emales des pro- bl`emes variationnels lagrangiens, puis un th´eor`eme d"E. Noether fournissant pour chaque sym´etrie infinit´esimale du lagrangien une int´egrale premi`ere des ´equations. Ensuite, on relie les ´equations d"Euler-Lagrange aux ´equations de Hamilton. Ce nouveau point de vue ´eclaire le th´eor`eme de Noether et ouvre la voie `a une m´ethode, dite d"Hamilton-Jacobi, pour trouver des int´egrales premi`eres qui ne sont pas n´ecessairement li´ees `a des sym´etries. Si le point de vue lagrangien est proche des probl`emes de contrˆole optimal, le point de vue hamiltonien, qui est celui qui se prˆete le mieux `a la quantification, a la faveur des physiciens. Dans ce chapitre, suivant une tradition pluricentenaire, on notera typiquementq un point de l"espace,qun vecteur.

1 Equations d"Euler-Lagrange

Avant de donner la d´efinition g´en´erale d"un probl`eme variationnel lagrangien, on d´ecrit deux exemples, la recherche des plus courts chemins sur une surface, et le principe de Fermat en optique g´eom´etrique. Une fois obtenues les ´equations qui caract´erisent les extr´emales, on reconnaitra la nature variationnelle des ´equations de la dynamique pour une particule dans un champ de potentiel (principe de moindre action de Hamilton).

1.1 M´etriques riemanniennes

D´efinition 1.1SoitUun ouvert deRn. Unem´etrique riemannienne(Riemannian metric)surUest la donn´ee d"une application lissegdeUdans l"espace vecto- riel des formes quadratiques surRn, telle que, pour toutq?U,gqsoit d´efinie positive. Etant donn´ees des coordonn´eesq= (q1,...,qn)surRn, on peut ´ecrire g q=?n i,j=1gij(q)dqidqj. Sit?→q(t),[a,b]→U, est une courbe lisse dansU, salongueur(length)est

Long(c) =?

b a?g q(t)(q(t))dt. 1

Exercice 1L"application

]-π2 ,π2 [×]-π,π[→R3,(θ,φ)?→X(θ,φ) =( (cos(θ)cos(φ) cos(θ)sin(φ) sin(θ)) est une param´etrisation d"un ouvert de la sph`ere unit´e deR3. Etant donn´ee une courbe lisset?→q(t) = (θ(t),φ(t))?U=]-π2 ,π2 [×]-π,π[, v´erifier que la longueur de son imageX◦cdansR3est ´egale `a la longueur decrelative `a la m´etrique riemanniennedθ2+ (cosθ)2dφ2surU. Exercice 2Soits?→(r(s),0,z(s))une courbe trac´ee dans un plan vertical, para-

m´etr´ee par son abscisse curviligne. Param´etrer la surface de r´evolution engendr´ee

par la rotation de cette courbe, baptis´eem´eridienne, autour de l"axeOz. Calculer la m´etrique induite dans cette param´etrisation.

1.2 Optique g´eom´etrique

La vitesse `a laquelle la lumi`ere voyage dans un milieu transparent n"est pas constante en g´en´eral : elle d´epend du point o`u on se trouve, et parfois aussi de la direction (milieux anisotropes). L"indicedu milieu en un pointq(et dans une direction q) est le quotient de la vitesse de la lumi`ere dans le vide par la vitesse de la lumi`ere dans le milieu,n(q,q) =c/v≥1. LePrincipe de Fermat´enonce que le trajet suivi par un rayon lumineux qui passe par deux pointsQ1etQ2minimise le temps de parcours parmi tous les trajets possibles. Le long d"un chemint?→q(t), la vitesse vautv=?q(t)?. Par cons´equent, le temps de parcours vaut dt=?1v ?q(t)?dt=?1c n(q(t),q(t))?q(t)?dt. Si le mat´eriau est isotrope (nne d´epend pas de la direction), cette int´egrale (ap- pel´ee parfoischemin optique) s"interpr`ete comme la longueur relative `a la m´etrique riemanniennen2ds2,conforme`a la m´etrique euclidienne. Si le mat´eriau est aniso- trope (c"est le cas de certains cristaux), on se trouve en pr´esence d"un probl`eme plus g´en´eral, qui motive la d´efinition suivante. Exercice 3On mod´elise un bloc de verre par un demi-espace optiquement homog`ene et isotrope, i.e. d"indice constantn >1, le complementaire ´etant vide. On consid`ere un rayon lumineux qui entre dans le verre. On noteil"angle d"incidence (angle du rayon avec la normale `a l"interface dans le vide) etrl"angle de r´efraction (angle du rayon avec la normale dans le verre). Etablir la loi de Snellsin(i) =nsin(r).

1.3 Probl`emes variationnels lagrangiens

D´efinition 1.2SoitUun ouvert deRn. Unlagrangien(Lagrangian)surUest la donn´ee d"une fonction lisseL:U×Rn×[a,b]→R. Leprobl`eme variationnel associ´e 2 (variational problem)consiste `a chercher, ´etant donn´es deux pointsQ1etQ2 deU, les courbesc: [a,b]→Utrac´ees dansU, telles quec(a) =Q1etc(b) =Q2, qui minimisent la fonctionnelle

Φ(c) =?

b a

L(c(t),c(t),t)dt.

Exemple 1.3La recherche des plus courts chemins riemanniens est le probl`eme variationnel associ´e au lagrangienL(q,q,t) =?g q(q). Ce lagrangien poss`ede les propri´et´es particuli`eres suivantes.

1. il est ind´ependant du temps;

2. il est homog`ene de degr´e 1;

3. il est convexe.

La propri´et´e 1 rend le probl`eme variationnel ind´ependant de l"intervalle [a,b]. 2 le rend invariant par les reparam´etrisations de l"intervalle. Exercice 4On s"int´eresse au mouvement d"une bille glissant sans frottement dans une goutti`ere situ´ee dans un plan vertical, en partant d"un pointPavec vitesse nulle et passant par un pointQ. Suivant Bernoulli (1696), on cherche, parmi tous les profils de goutti`ere reliantP`aQ, celui qui rend minimal le temps que la bille met `a rejoindreQdepuisP. Montrer qu"il s"agit d"un probl`eme variationnel lagran- gien, ´equivalent `a la recherche des g´eod´esiques d"une m´etrique riemannienne dans un demi-plan. Lemme 1.4La fonctionnelleΦest diff´erentiable, sa diff´erentielle est donn´ee par la formule suivante. Soits?→csune famille lisse de courbes telle quec0=cet dds cs|s=0=h. Alors dds

Φ(cs)|s=0=?

b a? ∂L∂q (c(t),c(t),t)-ddt (∂L∂q(c(t),c(t),t))? (h(t))dt ∂L∂q(c(b),cb,b)(h(b))-∂L∂q(c(a),ca,a)(h(a)).

Preuve.On d´erive sous le signe somme,

dds

Φ(cs)|s=0=?

b a? ∂L∂q (c(t),c(t),t)(h(t)) +∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))? dt puis on int`egre par parties b a∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))dt= [∂L∂q(c(t),c(t),t)(h(t))]ba b addt (∂L∂q(c(t),c(t),t))(h(t))dt.3

1.4 Equations d"Euler-Lagrange

D´efinition 1.5Uneextr´emale(extremal curve)d"un probl`eme variationnel la- grangien est une courbe qui annule la diff´erentielle deΦrestreinte aux courbes d"extr´emit´es fix´ees. Th´eor`eme 1La courbecest une extr´emale du probl`eme variationnel associ´e au lagrangienLsi et seulement si pour toutt?[a,b], la forme lin´eaire surRn ∂L∂q (q(t),q(t),t)-ddt (∂L∂q(q(t),q(t),t)) = 0. Ce syst`eme den´equations diff´erentielles du second ordre s"appelleles ´equations d"Euler-Lagrange(Euler-Lagrange equations)du probl`eme variationnel. Preuve.Pour toute fonction lissehsur [a,b] `a valeurs dansRnqui s"annule aux extr´emit´es, on construit une famillecs(t) =q(t) +sh(t) de courbes d"extr´emit´es fix´ees donthest la d´eriv´ee. Alors dds

Φ(qs)|s=0=?

b a

J(t)(h(t))dt,

o`uJ(t) est la forme lin´eaire surRndonn´ee par

J(t) =∂L∂q

(q(t),q(t),t)-ddt (∂L∂q(q(t),q(t),t)). cest extr´emale si et seulement si?b aJ(t)(h(t))dtpour toute fonction lissehsur [a,b] qui s"annule aux extr´emit´es. Le lemme suivant entraˆıne quecest extr´emale si et

seulement siJ≡0.Lemme 1.6SoitJune forme lin´eaire surRnd´ependant diff´erentiablement det?

[a,b]. On suppose que pour toute fonction lissehsur[a,b]`a valeurs dansRn, nulle au voisinage des extr´emit´es,?b aJ(t)(h(t))dt= 0. AlorsJ≡0. Preuve.Supposons par l"absurde qu"il existeˆt?]a,b[ tel queJ(ˆt)?= 0. SoitH(t) = J(t)?le vecteur dual deJ(t). Soitχune fonction lisse, positive ou nulle, `a support dans un petit voisinage de ˆt. On poseh(t) =χ(t)H(t). Si le support deχest assez petit,?b aJ(t)(h(t))dt=?b aχ(t)?J(t)?2dt >0, contradiction.Exemple 1.7Plus courts chemins riemanniens.

Ici,L(q,q) =?g

q(q). Ce probl`eme variationnel ´etant invariant par reparam´etrisati- on, on peut se contenter de chercher les extr´emales param´etr´ees `a vitesse constante

1. Fixons des coordonn´ees. Alors

∂L

2∂qi(q,q) = 2?

kqkgki(q). 4

Il vient

∂L∂q(q(t),q(t))i= (gq(t)(q(t)))-1/2?? kqk(t)gki(q(t))? Comme on a suppos´e que la courbe est param´etr´ee `a vitesse constante 1,gq(t)(q(t))≡

1, d"o`u

ddt ∂L∂q(q(t),q(t))i? k¨qk(t)gki(q(t)) +? kqk(t)(?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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CALCUL DES VARIATIONS : EXERCICES CORRIGÉS Exercice M1

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