Calculmatriciel

La diagonale principale d’une matrice carrée démarre en haut à gauche et ﬁnit en bas à droite Les coeﬃcients situés sur cette diagonale s’appellent les coeﬃcients diagonaux de la matrice et les coeﬃcients non situés sur cette diagonale s’appellent les coeﬃcients non diagonaux de la matrice b) Matrices carrées

Chapitre I : Géométrie et trigonométrie

Cas particulier : le carré de cô té C S = C x C - Le parallélogramme de base B et de hauteur H : S =B×H En effet, si le triangle hachuré à gauche est déplacé (translaté) du cô té droit, on retrouve la surface du rectangle - Le losange de grande diagonale D et de petite diagonale d : S =(D×d)/2 En effet, sa surface est la moitié

Cours de Calcul Matriciel

1 / 55 Chapter 1 G´en´eralit´es 1 1 D´eﬁnitions D´eﬁnition 1 1 1 une matrice sur le corps Kest un tableau rectangulaire de scalaires aij de la forme :

Exo7 - Cours de mathématiques

droite de la matrice (colonnes grisées), puis on additionne les produits de trois termes en les regroupant selon la direction de la diagonale descendante (à gauche), et on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon la direction de la diagonale montante (à droite) a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31

Cours danalyse numérique de licence de mathématiques

Cours en amphi biologie le mercredi de 17h a 18h30: semaines 1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15 TD et TP en M31/PV212-213 le jeudi de 15h a 18h15: semaines 2,3,5,7,8,10,11,12,13,14,15 Un seul groupe en TD salle M31 A priori deux groupes en TP salles PV212 et PV213 deuxi eme groupe avec AUDRIC DROGOUL

Le˘con 11: Calcul matriciel - Anthony Mansuy

Le˘con 11: Calcul matriciel G en eralit es et op erations D e nition d’une matrice a n lignes et p colonnes Cas particuliers (matrice nulle, identit e, matrice ligne/colonne, matrice carr ee, triangulaire, diagonale) Somme de deux matrices Multiplication d’une matrice par un r eel Produit de deux matrices

Calculmatriciel - imag

MathsenLigne Calculmatriciel UJFGrenoble En eﬀet, elle est l’élément neutre du produit matriciel : pour toute matrice A ∈ M n,m(R), AI n= I mA= A

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1

On sait que N3 = 0 (Caley Hamilton ou on fait un calcul direct) On ´ecrit An = (2I 3 +N)n = 2 nI 3 +n2 −1N + n(n−1) 2 2n−2N2 par application de la formule de Newton, en utilisant N3 = 0 Comme N2 est ´egale a −2 2 −4 2 −2 4 2 −2 4 on laisse au lecteur le soin d’´ecrire les formules ﬁnales Voici un autre exemple, soit la

Université Joseph Fourier, Grenoble I

Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1eannéeCalcul matriciel

Bernard Ycart

Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d"autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels de dimension finie. Vous y apprendrez les manipulations élémentaires de matrices, qui ne devraient pas vous poser de problème si vous avez bien compris la résolution des systèmes linéaires.

Table des matières

1 Cours 2

1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Calcul de l"inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Entraînement 17

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Compléments 30

3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF Grenoble1 Cours

1.1 Opérations sur les matrices

Etant donnés deux entiersmetnstrictement positifs, unematrice àmlignes etn colonnesest un tableau rectangulaire de réelsA= (ai,j). L"indice de ligneiva de1à m, l"indice de colonnejva de1àn.

A= (ai,j) =(

(((((((a a a m,1···am,j···am,n) Les entiersmetnsont lesdimensionsde la matrice,ai,jest soncoefficient d"ordre (i,j). L"ensemble des matrices àmlignes etncolonnes et à coefficients réels est noté M m,n(R). Ce qui suit s"applique aussi, si on remplaceRparC, à l"ensemble des matrices

à coefficients complexes.

L"ensembleMm,n(R)est naturellement muni d"une addition interne (on peut ajou- ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d"une multiplication externe (on peut multiplier une matrice par un réel terme à terme). •Addition :SiA= (ai,j)etB= (bi,j)sont deux matrices deMm,n(R), leur somme

A+Best la matrice(ai,j+bi,j). Par exemple :

(1 1 2 3 1-1) (-3 1 5-3 0 2) (-2 2 7 0 1 1) •Multiplication externe :SiA= (ai,j)est une matrice deMm,n(R), etλest un réel, le produitλAest la matrice(λai,j). Par exemple : -2( (1 1 2 3 1-1) (-2-2 -4-6 -2 2) Observons que les opérations auraient le même effet si les matrices étaient disposées comme desmn-uplets de réels (toutes les lignes étant concaténées par exemple). Donc M m,n(R), muni de son addition et de sa multiplication externe, est un espace vectoriel, isomorphe àRmn. Labase canoniquedeMm,n(R)est formée des matrices dont tous les coefficients sont nuls, sauf un qui vaut1. L"opération la plus importante est leproduit matriciel. 2

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF GrenobleDéfinition 1.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (ai,j)une

matrice deMm,n(R)et soitB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). On appelleproduit matricieldeAparBla matriceC? Mm,p(R)dont le terme généralci,kest défini, pour touti= 1,...,met pour toutk?1,...,ppar : c i,k=n j=1a i,jbj,k. Nous insistons sur le fait que le produitABde deux matrices n"est défini que si le nombre de colonnes deAet le nombre de lignes deBsont les mêmes. Observons d"abord que la définition 1 est cohérente avec la définition du produit d"une matrice par un vecteur, donnée au chapitre précédent : sip= 1, la matriceBanlignes et1 colonne, et le produitABamlignes et1colonne. D"autre part, appliquer la définition

1 revient à effectuer successivement le produit deApar chacune des colonnes deB.

Pour effectuer ce produit, nous conseillons d"adopter la même disposition que pour le produit par un vecteur, en plaçantBau-dessus et à droite deA. (((((((b

···bj,k···.........

b n,1···bn,k···bn,p) (((((((a

1,1··· ···a1,n.........

a a m,1··· ···am,n) (((((((c

1,1...c1,p...

··· ···ci,k

c m,1cm,p)

Posons par exemple :

A=( (1 1 2 3 1-1) )etB=?0 1-1-2 -3-2 0 1? La matriceAa 3 lignes et 2 colonnes, la matriceBa 2 lignes et 4 colonnes. Le produit ABa donc un sens : c"est une matrice à 3 lignes et 4 colonnes. ?0 1-1-2 -3-2 0 1? (1 1 2 3 1-1) (-3-1-1-1 -9-4-2-1

3 3-1-3)

Le produit matriciel a toutes les propriétés que l"on attend d"un produit, sauf qu"il n"est pas commutatif. 3

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF GrenobleProposition 1.Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.

1.Associativité :Si les produitsABetBCsont définis, alors les produitsA(BC)

et(AB)Cle sont aussi et ils sont égaux.

A(BC) = (AB)C .

2.Linéarité à droite :SiBetCsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

μsont deux réels et siAa autant de colonnes queBetCont de lignes, alors

A(λB+μC) =λAB+μAC .

3.Linéarité à gauche :SiAetBsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

μsont deux réels et siCa autant de lignes queAetBont de colonnes, alors (λA+μB)C=λAC+μBC . Ces propriétés se démontrent à partir de la définition 1. La transposition est une notion importante, dont la justification provient de la dualité, qui dépasse le cadre de ce cours. Définition 2.Étant donnée une matriceA= (ai,j)deMm,n(R), satransposéeest la matrice deMn,m(R)dont le coefficient d"ordre(j,i)estai,j. Pour écrire la transposée d"une matrice, il suffit de transformer ses lignes en co- lonnes. Par exemple : A=( (1 1 2 3 1-1) ),tA=?1 2 1

1 3-1?

Observons que la transposée de la transposée est la matrice initiale. t (tA) =A . La transposée d"un produit est le produit des transposées, mais il faut inverser l"ordre des facteurs. Proposition 2.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoientA= (ai,j)une matrice deMm,n(R)etB= (bj,k)une matrice deMn,p(R). La transposée du produit deAparBest le produit de la transposée deBpar la transposée deA. t (AB) =tBtA . 4

Maths en L

1gneCalcul matricielUJF GrenoblePar exemple, en reprenant les matricesAetBdéfinies ci-dessus :

?1 2 1

1 3-1?

(((0-3 1-2 -1 0 -2 1) (((-3-9 3 -1-4 3 -1-2-1 -1-1-3) Observons que le produit d"une matrice par sa transposée est toujours défini. A tA=( (2 5 0

5 13-1

0-1 2)

),tAA=?6 6 6 11? Le résultat est une matricecarrée(autant de lignes que de colonnes) etsymétrique. Définition 3.Soitnun entier strictement positif etAune matrice carrée ànlignes etncolonnes. On dit queAest symétrique si pour tousi,j= 1,...,n, ses coefficients

d"ordreai,jetaj,isont égaux, ce qui est équivalent à dire queAest égale à sa transposée.

Le produit d"une matrice par sa transposée est toujours une matrice symétrique.

En effet :

t(AtA) =t(tA)tA=AtA .quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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Table des matières

1 Cours 2

1.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Calcul de l"inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Entraînement 17

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Compléments 30

3.1 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1gneCalcul matricielUJF Grenoble1 Cours

1.1 Opérations sur les matrices

A= (ai,j) =(

à coefficients complexes.

A+Best la matrice(ai,j+bi,j). Par exemple :

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleDéfinition 1.Soientm,n,ptrois entiers strictement positifs. SoitA= (ai,j)une

1 revient à effectuer successivement le produit deApar chacune des colonnes deB.

···bj,k···.........

1,1··· ···a1,n.........

1,1...c1,p...

··· ···ci,k

Posons par exemple :

3 3-1-3)

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1gneCalcul matricielUJF GrenobleProposition 1.Le produit matriciel possède les propriétés suivantes.

1.Associativité :Si les produitsABetBCsont définis, alors les produitsA(BC)

A(BC) = (AB)C .

2.Linéarité à droite :SiBetCsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

A(λB+μC) =λAB+μAC .

3.Linéarité à gauche :SiAetBsont deux matrices de mêmes dimensions, siλet

1 3-1?

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1gneCalcul matricielUJF GrenoblePar exemple, en reprenant les matricesAetBdéfinies ci-dessus :

1 3-1?

5 13-1

0-1 2)

En effet :