Planche no 27 Fractions rationnelles : corrigé
Planche no 27 Fractions rationnelles : corrigé Exercice no 1 1) Soit F = X2 +3X +5 X2 −3X +2 X2 +3X +5 (X −1)(X −2) 1 et 2 ne sont pas racines du polynôme X2 +3X+5 et donc F est bien sous forme irréductible
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 1 Existe-t-il une fraction rationnelle F telle que F(X) 2 =(X2 +1)3? Indication H Correction H Vidéo [006964] Exercice 2 Soit F = P Q une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible On suppose qu’il existe une fraction ration-nelle G telle que G P(X) Q(X) =X 1 Si G= a nX n+ +a 1X+a 0 b nXn+ +b 1X+b 0, montrer que P divise
Feuille 6 Fractions rationnelles
6 Exercice 5 Décomposer en éléments simples, sur ℂ puis sur ℝ, les fractions rationnelles suivantes : a ???? ????2−1 b ????+1 ????2+1 c ???? 2 ????3−1 Correction exercice 5
Études de fractions rationnelles avec corrigés
Exercice corrigé r2-02 h(x) = x3 x2 +4 Directive:Reporterladéterminationdeszérosdeh àlafindel’étudedeh Calculerles zérosdeh àlaprécisionde 0 05
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 45 Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ( ) et dans ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 45 Exercice 46 1 Soit Si est une racine simple de , montrer que le coefficient de l’élément simple est ( ) ( ) 2 Décomposer dans ( ) la fraction Allez à : Correction exercice 46 CORRECTIONS Correction exercice 1 Dans [ ]
1 Feuille d’exercices N - u-bordeauxfr
Vu l’unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples, on trouve par l’identification a = c Donc a = c = 0, et la décomposition s’écrit sous la forme suivante : X X4 +X2 +1 = b X2 −X +1 + −b X2 +X +1 (4): Finalement, on remplace X par 1 dans l’identité précédente, on obtient 1 3 = b 1 + −b 3
TD no 5 : Polynˆomes et fractions rationnelles
Exercice 5 1 1 Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1+X+X2+X3 6 D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle 1
Révisions fonctions rationnelles Deux exercices corrigés
Corrigé exercice 1 1) Le discriminant du dénominateur de f(x) vaut – 3, donc x2 – x + 1 ne s'annule pas sur et est f étant une fonction rationnelle,
Intégration des fractions rationnelles: réduction en
Int egration des fractions rationnelles, premi ere partie: R eduction en fractions simples Marcel D el eze Liens hypertextes Calcul num erique du nombre ˇavec des sommes de Darboux
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1 Université Claude Bernard-Lyon 1 Semestre de printemps 2016-2017
Fondamentaux des mathématiques 2
Feuille 6
Fractions rationnelles
Exercice 1.
1. Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur des fractions rationnelles suivantes : 1 + 1)( 2) + 1)( 2) ; 2 + 1 1 + 3 + 2 4 3 + 2Les décomposer.
Correction exercice 1.
1.Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division euclidienne. Il
existe et réels tels que : 1 + 1)( 2) + 1+ 2On multiplie par
+ 1 , puis 1 [1 2 1 3On multiplie par
2 , puis = 2 [1 + 1 =1 3 1 + 1)( 2) =1/3 + 1+1/3 2Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division euclidienne. Il
existe et réels tels que : + 1)( 2) + 1+ 2On multiplie par
+ 1 , puis 1 2 =1 3On multiplie par
2 , puis = 2 + 1 =2 3 1 + 1)( 2) =1/3 + 1+2/3 2 + 1 n'a pas de racines réellesLe degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division euclidienne. Il
existe et réels tels que 2 + 1 + 1 Donc = 2 et = 0 2 On aurait mieux fait de remarquer qu'il s'agissait d'un élément simple.Le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, il faut faire une division
euclidienne. Ici la division est particulièrement simple, elle donne = 1 ×( + 1) 1 1 + =1 ×( + 1) 1 1 + =1 ×( + 1) 1 + 1 1 + = 1 1 + 1 + 1 n'a pas de racine réelle donc est un élément simple, la décomposition en éléments simple est achevée 1 + = 1 1 + 1Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division euclidienne et
constate facilement que les racines de 3 + 2 sont 1 et 2 par conséquent 3 + 2 =1)( 2). Il existe et réels tels que
3 + 21)( 2)=
1+ 2On multiplie par
1 , puis = 1 2 1On multiplie par
2 , puis = 2 1 = 2 3 + 2 =11)( 2)=1
1+2 2Le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, il faut faire une division
euclidienne 4 3 + 2 4 3 + 2 3 11 3 2 3 + 9 6 11 + 6 11 + 33 2227
+ 22 Donc 4 3 + 2)( 3
11) 27 + 22
4 3 + 2 3 + 2)( 311) 27 + 22
3 + 2 3 + 2)( 3 11) 3 + 2 +27 + 223 + 2 3
11 +27 + 22
3 + 2Il reste à décomposer
en éléments simples.Il existe
et réels tels que 27+ 22 3 + 2 =27 + 22
1)( 2)=
1+ 2On multiplie par
1 , puis = 1 [27 + 22 2 = 5On multiplie par
2 , puis = 2 [27 + 22 1 323