1 Feuille d’exercices N

Planche no 27 Fractions rationnelles : corrigé Exercice no 1 1) Soit F = X2 +3X +5 X2 −3X +2 X2 +3X +5 (X −1)(X −2) 1 et 2 ne sont pas racines du polynôme X2 +3X+5 et donc F est bien sous forme irréductible

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 1 Existe-t-il une fraction rationnelle F telle que F(X) 2 =(X2 +1)3? Indication H Correction H Vidéo [006964] Exercice 2 Soit F = P Q une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible On suppose qu’il existe une fraction ration-nelle G telle que G P(X) Q(X) =X 1 Si G= a nX n+ +a 1X+a 0 b nXn+ +b 1X+b 0, montrer que P divise

Feuille 6 Fractions rationnelles

6 Exercice 5 Décomposer en éléments simples, sur ℂ puis sur ℝ, les fractions rationnelles suivantes : a ???? ????2−1 b ????+1 ????2+1 c ???? 2 ????3−1 Correction exercice 5

Études de fractions rationnelles avec corrigés

Exercice corrigé r2-02 h(x) = x3 x2 +4 Directive:Reporterladéterminationdeszérosdeh àlaﬁndel’étudedeh Calculerles zérosdeh àlaprécisionde 0 05

Polynômes et fractions rationnelles

Exercice 45 Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ( ) et dans ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 45 Exercice 46 1 Soit Si est une racine simple de , montrer que le coefficient de l’élément simple est ( ) ( ) 2 Décomposer dans ( ) la fraction Allez à : Correction exercice 46 CORRECTIONS Correction exercice 1 Dans [ ]

1 Feuille d’exercices N - u-bordeauxfr

Vu l’unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples, on trouve par l’identiﬁcation a = c Donc a = c = 0, et la décomposition s’écrit sous la forme suivante : X X4 +X2 +1 = b X2 −X +1 + −b X2 +X +1 (4): Finalement, on remplace X par 1 dans l’identité précédente, on obtient 1 3 = b 1 + −b 3

TD no 5 : Polynˆomes et fractions rationnelles

Exercice 5 1 1 Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1+X+X2+X3 6 D´ecomposer en ´el´ements simples la fraction rationnelle 1

Révisions fonctions rationnelles Deux exercices corrigés

Corrigé exercice 1 1) Le discriminant du dénominateur de f(x) vaut – 3, donc x2 – x + 1 ne s'annule pas sur et est f étant une fonction rationnelle,

Intégration des fractions rationnelles: réduction en

Int egration des fractions rationnelles, premi ere partie: R eduction en fractions simples Marcel D el eze Liens hypertextes Calcul num erique du nombre ˇavec des sommes de Darboux

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MHT201

Quelques corrigés de TD 5 et TD6

1 Feuille d"exercices N

◦5 Exo. 10.Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples dansC(X), et puis dansR(X): 1. 1

X(X2+1)2

2. X X

4+X2+1

Corrgié :1).Décomposition dansC(X):

On calcule d"abord la factorisation dansC[X]du dénominateur de cette fraction ration- nelle :

X(X2+ 1)2=X(X+i)2(X-i)2:

Donc la décomposition en éléments simples de cette fraction rationnelle s"écrit sous la forme suivante : 1

X(X2+ 1)2=a

X +b1

X+i+b2

(X+i)2+c1

X-i+c2

(X-i)2;(1) aveca;b1;b2;c1;c2des coefficients à déterminer (la partie entier est0puisque le degré du numérateur= 0X, on trouve 1 (X2+ 1)2=a+X·(b1 x+i+b2 (X+i)2+c1

X-i+c2

(X-i)2) Puis en remplaçantXpar0dans l"identité ci-dessus, on aa= 1. Ensuite, en multipliant l"indentité (1) par(X+i)2, on trouve 1

X(X-i)2=b2+b1(X+i) +(a

x +c1

X-i+c2

(X-i)2)

·(X+i)2:

Posons

f(X) =1

X(X-i)2;etq(X) =a

x +c1

X-i+c2

(X-i)2: En particulier,q(X)est un fonction continue et dérivable enx=-i. Par conséquent, on a f(-i) =b2+ (-i+i)·q(-i) =b2 1 et f ′(-i) =( b

2+b1(X+i) +(a

x +c1

X-i+c2

(X-i)2)

·(X+i)2)

X=-i=b1:

D"oùb1=f′(-i) =-1=2, etb2=-i=4. De la même manière, on peut calculer les coeffi- cientsc1etc2, et on trouvec1=-1=2,c2=i=4. On obtient donc enfin la décomposition suivante :1

X(X2+ 1)2=1

X +-1=2

X+i+-i=4

(X+i)2+-1=2

X-i+i=4

(X-i)2

Décomposition dansR(X)

Il faut calculer d"abord la factorisation du dénominateur dansR[X]: puisque le polynôme X

2+1est irréductible dansR[X], la factorisation du dénominateur estX(X2+1)2. Donc,

la décomposition de cette fraction rationnelle dansR(X)s"écrit sous la forme suivante : 1

X(X2+ 1)2=a

X +b1X+b2 X

2+ 1+c1X+c2

(X2+ 1)2(2) aveca;b1;b2;c1;c2des coefficients à déterminer. En multipliant l"identité (2) ci-dessus par X, et puis en remplaçantXpar0, on obtienta= 1. Ensuite, on muitiplie l"identité (2) parX, on a 1 (X2+ 1)2=a+X(b1X+b2) X

2+ 1+X(c1X+c2)

(X2+ 1)2:

Donc on trouve

0 = lim

X→∞1

(X2+ 1)2= limX→∞( a+X(b1X+b2) X

2+ 1+X(c1X+c2)

(X2+ 1)2) =a+b1

Doncb1=-a=-1. De façon similaire, on a

0 = lim

X→∞X

(X2+ 1)2= limX→∞(( a+X(b1X+b2) X

2+ 1+X(c1X+c2)

(X2+ 1)2)

·X)

=b21; donc 1

X(X2+ 1)2=1

X +-X X

2+ 1+c1X+c2

(X2+ 1)2; d"où

1 = (X2+ 1)2-X·X(X2+ 1) + (c1X+c2)X= (1 +c1)X2+c2X+ 1:

1. En effet, ici on a les égalités suivantes :

aX+X2(b1X+b2) X

2+ 1=aX+(X2+ 1-1)(b1X+b2)

2+ 1=aX+b1X+b2-b1X+b2

2+ 1=b2-b1X+b2

X 2+ 1 2 Par identification, on ac1=-1,c2= 0. On obtient enfin la décompostion en éléments simples dansR(X): 1

X(X2+ 1)2=1

X +-X X

2+ 1+-X

(X2+ 1)2

2).Décompositoin dansC(X)

On calcule d"abord la factorisation du dénominateur : comme(X2-1)(X4+X2+ 1) = X

6-1, si on pose=e2i=6, les4racines complexes du polynômeX4+X2+ 1sont

=e2i=6,2=e4i=6,4=e8i=6et5=e10i=6. On obtient ainsi la factorisation dans

C[X]du polynômeX4+X2+ 1:

4+X2+ 1 = (X-)(X-2)(X-4)(X-5):

Donc la décomposition en éléments simples s"écrit X X

4+X2+ 1=a

X-+b X-2+c X-4+d X-5; aveca;b;c;dquatre coefficients à déterminer. Pour calculera, remarquons qu"on a X (X-2)(X-4)(X-5)=X(X-) (X-)(X-2)(X-4)(X-5) =a+( b X-2+c X-4+d X-5) (X-):

D"où

a= 3i 6 :2 Par une méthode similaire, on peut calculer les coefficientsb;c;d, et on obtient finalement X X 3i=6 3i=6 3i=6 3i=6 X-5

Décomposition dansR(X)

D"abord, la factorisation dansR[X]du dénominateur : X

4+X2+ 1 =X4+ 2X2+ 1-X2= (X2+ 1)2-X2= (X2+X+ 1)(X2-X+ 1):

Donc, la décomposition dansR[X]de cette fraction rationnelle s"écrit sous la forme sui- vante :X X

4+X2+ 1=aX+b

2-X+ 1+cX+d

2+X+ 1;(3)

2. Rappelons qu"on a=e2i=6= cos(2=6)+isin(2=6) =1

2 +p 3 2 i. De la même manière, on trouve 2=-1 2 +p 3 2 i,4=-1 2 -p 3 2 i, et5=1 2 -p 3 2 i 3 aveca;b;c;dà déterminer. En remplaçantXpar0dans l"identité ci-dessus, on trouve b+d= 0. En multipliant l"identité (3) parX, on obtient X 2 X

4+X2+ 1=aX2+bX

2-X+ 1+cX2+dX

2+X+ 1;

puis on faitXtendre vers∞, on obtient0 =a+c. Ensuite, on remplaceXpar-Xdans l"identité ci-dessus, on a -X (-X)4+ (-X)2+ 1=a(-X) +b (-X)2-(-X) + 1+c(-X) +d (-X)2+ (-X) + 1; c"est-à-dire, -X X

4+X2+ 1=-aX+b

2+X+ 1+-cX+d

2-X+ 1:

D"où

-aX-b X

2-X+ 1+-cX-d

2+X+ 1=-aX+b

2+X+ 1+-cX+d

2-X+ 1:

Vu l"unicité de la décomposition d"une fraction rationnelle en éléments simples, on trouve

par l"identificationa=c. Donca=c= 0, et la décomposition s"écrit sous la forme suivante :X X

4+X2+ 1=b

2-X+ 1+-b

2+X+ 1(4):

Finalement, on remplaceXpar1dans l"identité précédente, on obtient 1 3 =b 1 +-b 3 d"oùb= 1=2. On en déduit la décomposition finale : X X

4+X2+ 1=1=2

2-X+ 1+-1=2

2+X+ 1:

Remarque :En fait, on peut trouver la décompostion en éléments simples dansR(X) à partir du résultat correspondant pourC(X). Par exemple, pour la première fraction rationnelle de l"exercice précédent, on a 1

X(X2+1)2=1

X +(-1=2

X+i+-1=2

X-i) +(-i=4 (X+i)2+i=4 (X-i)2) 1 X +-(X+i)-(X-i)

2(X+i)(X-i)+-i(X-i)2+i(X+i)2

4(X+i)2(X-i)2

1 X +-X X

2+1+-X

(X+1)2 4

2 Feuille d"exercice N

◦6

Exo. 2.

1. Montrer que les polynôemesX-1etX-2sont premiers entre eux. En déduire d=pgcd((X-1)2;(X-2)3), et un couple de polynôemesUetVtels que

U·(X-1)2+V·(X-2)3=d:

2. Déterminer un polynômePtel que le reste de la division euclidienne dePpar (X-1)2soit2X, et que le reste de la division euclidienne dePpar(X-2)3soit 3X. Corrigé :1). Comme les deux polynômesX-1etX-2n"ont pas de racine com- mune, on en déduit qu"ils sont premiers entre eux. De la même manière, on montre que pgcd((X-1)2;(X-2)3) = 1. Pour trouver son identité de Bézout, on utilise le raison- nement suivant : partons d"abord l"égalité suivante : (X-1)-(X-2) = 1; on a

1 = ((X-1)-(X-2))4

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

[PDF] 1 Feuille d’exercices N - u-bordeauxfr

MHT201

Quelques corrigés de TD 5 et TD6

1 Feuille d"exercices N

X(X2+1)2

4+X2+1

Corrgié :1).Décomposition dansC(X):

X(X2+ 1)2=X(X+i)2(X-i)2:

X(X2+ 1)2=a

X+i+b2

X-i+c2

X-i+c2

X(X-i)2=b2+b1(X+i) +(a

X-i+c2

·(X+i)2:

Posons

X(X-i)2;etq(X) =a

X-i+c2

2+b1(X+i) +(a

X-i+c2

·(X+i)2)

X=-i=b1:

X(X2+ 1)2=1

X+i+-i=4

X-i+i=4

Décomposition dansR(X)

2+1est irréductible dansR[X], la factorisation du dénominateur estX(X2+1)2. Donc,

X(X2+ 1)2=a

2+ 1+c1X+c2

2+ 1+X(c1X+c2)

Donc on trouve

0 = lim

X→∞1

2+ 1+X(c1X+c2)

Doncb1=-a=-1. De façon similaire, on a

0 = lim

X→∞X

2+ 1+X(c1X+c2)

·X)

X(X2+ 1)2=1

2+ 1+c1X+c2

1 = (X2+ 1)2-X·X(X2+ 1) + (c1X+c2)X= (1 +c1)X2+c2X+ 1:

1. En effet, ici on a les égalités suivantes :

2+ 1=aX+(X2+ 1-1)(b1X+b2)

2+ 1=aX+b1X+b2-b1X+b2

2+ 1=b2-b1X+b2

X(X2+ 1)2=1

2+ 1+-X

2).Décompositoin dansC(X)

6-1, si on pose=e2i=6, les4racines complexes du polynômeX4+X2+ 1sont

C[X]du polynômeX4+X2+ 1:

4+X2+ 1 = (X-)(X-2)(X-4)(X-5):

4+X2+ 1=a

D"où

Décomposition dansR(X)

4+X2+ 1 =X4+ 2X2+ 1-X2= (X2+ 1)2-X2= (X2+X+ 1)(X2-X+ 1):

4+X2+ 1=aX+b

2-X+ 1+cX+d

2+X+ 1;(3)

2. Rappelons qu"on a=e2i=6= cos(2=6)+isin(2=6) =1

4+X2+ 1=aX2+bX

2-X+ 1+cX2+dX

2+X+ 1;

4+X2+ 1=-aX+b

2+X+ 1+-cX+d

2-X+ 1:

D"où

2-X+ 1+-cX-d

2+X+ 1=-aX+b

2+X+ 1+-cX+d

2-X+ 1:

4+X2+ 1=b

2-X+ 1+-b

2+X+ 1(4):

4+X2+ 1=1=2

2-X+ 1+-1=2

2+X+ 1:

X(X2+1)2=1

X+i+-1=2

2(X+i)(X-i)+-i(X-i)2+i(X+i)2