Repérage sur le cercle et trigonométrie - Seconde
Repérage sur le cercle et trigonomé-trie Eric Leduc Repérage sur un cercle trigonomé-trique Coordonnées d’un point du cercle trigonomé-trique Enroulement du cercle trigonométrique Remarque no 1 Lorsqu’on enroule l’axe dans le sens direct, ce sont des points d’ abscisses positives qui se superposent à M, dans
Trigonométrie dans le cercle - Lycée municipal dadultes
1 ANGLES DANS UN CERCLE b O b 0 b π 6 b π 4 b π 3 b π 2 2π 3 b 3π 4 5π b 6 b π b-π 6 b-π 4 b-πb 3-π2 b-2π3 b-3π4-5π b6 Propriété 1 : Un même angle α peut avoir plusieurs mesures Si un angle α, repéré par le point M sur le cercle trigonométrique, a comme me-
Trigonométrie Fiche d’exercices (Sésamath page 208) Se
sur le cercle trigonométrique 437t 43Tt 4 En déduire les valeurs de cos et de sin 1 Tracer le cercle trigonométrique et placer le point A associé au réel — Placer le point B, symétrique de A par rapport à I'axe des abscisses Donner les réels associés à ce point dans l'intervalle [0 ; 27t[, puis dans l'intervalle ]— ; It]
Trigonométrie en 1S : Une activité pour bien démarrer
sur le cercle trigonométrique permet de repérer chaque point M du cercle par un unique réel t de l'intervalle ]– ; ] En enroulant la droite des réels sur le cercle, on se rend compte que plusieurs réels repèrent le point M, ils sont de la forme t 2k avec k∈ ℤ B Le radian
TRIGONOMÉTRIE - Maths & tiques
Déterminer le point M du cercle associé au réel 9π 4 dans cet enroulement 2) Placer sur le cercle trigonométrique le point N correspondants à l’angle 480° 1) 9π 4 = 8π 4 + π 4 =2π+ π 4 L’enroulement effectué correspond à un tour complet du disque (2π) suivi d’un huitième de tour (π 4) Le point M se trouve donc sur le
FONCTIONS COSINUS ET SINUS - ac-noumeanc
(C) est le cercle trigonométrique de centre O A Cosinus et sinus d’un nombre réel Définition Soit x un nombre réel et M le point associé à x sur le cercle trigonométrique (C) • Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse du point M dans le repère (O ;I ; J) • Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée du point M dans le
Cercle trigonométrique et radian
angles de 45˚et les rouges partagent le cercle en douze angles de 30˚ 1 Se repérer le cercle trigonométrique sur lecercletrigonométrique
Dérivée des fonctions trigonométriques
Le cercle trigonométrique permet de représenter les angles de manière standardisée et d’établir des liens entre di érentes longueurs déterminée par un angle donné Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centrée à l’origine Chaque angle correspond à un unique point P( ) sur le cercle trigonométrique P( )
13 - alloschoolcom
Lors d’un mouvement circulaire et uniforme, la trajectoire suivie par le mobile est un cercle On repère son mouvement sur un cercle à l’aide d’un repérage polaire Un petit objet est posé sur un plateau à une distance r = 30 cm de l’axe de rotation du plateau qui tourne à vitesse angulaire constante dans le sens trigonomé-trique
[PDF] se repérer sur une sphère exercice
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[PDF] se salir ? l'imparfait
[PDF] se sentir utile aux autres
[PDF] se sentir utile dans son travail
Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieIndexI- Sur le cercle trigonométrique ............................................................................................................................... 1
I-1- cercle gradué (pour se repérer sur le cercle) ................................................................................................ 1
I-1-1- Longueur d'un arc ................................................................................................................................ 1
I- 1- 2- Enroulement d'une droite graduée .... ................................................................................................ 2
I-2- Propriétés ..................................................................................................................................................... 2
II- Le radian ............................................................................................................................................................. 2
II-1- Définition .................................................................................................................................................... 2
II- 2- Propriété : longueur d'un arc ..................................................................................................................... 3
II- 3- Angles usuels ............................................................................................................................................. 3
III- Sinus et cosinus ................................................................................................................................................. 3
III-1- Définitions ................................................................................................................................................. 3
III-2- Les valeurs remarquables (à connaître) .................................................................................................... 3
III-3- Propriétés .................................................................................................................................................. 3
III-4- Angles associés ......................................................................................................................................... 4
Cercle gradué complété ........................................................................................................................................... 5
Pour comprendre ces notions, il faut être prêt à faire des milliers de cercles ....I- Sur le cercle trigonométrique
I-1- cercle gradué (pour se repérer sur le cercle)I-1-1- Longueur d'un arc
Construire un grand cercle de centre O et de rayon 1. (La longueur unité du graphique est la longueur du rayon)
On note I un point du cercle.
Le point J est le point du cercle tel que repère (O; I, J) est orthonormé direct (sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre). (Voir figure en annexe). (Le cercle est ainsi divisé en quatre quadrants : premier quadrant, deuxième quadrant, ... dans le sens direct.) Construire dans le premier quadrant les points A, B tels que OIA est un triangle équilatéral, OJB est un triangleéquilatéral.
Construire C à l'intersection de l'arc et de la bissectrice de l'angle ̂IOJ. On note I' et J' les points diamétralement opposés à I et J (autrement dit : [II'] et [JJ'] sont des diamètres. On fait un tour de cercle dans le sens direct en partantde I et on note la distance parcourue en partant de I jusqu'au point ...... On obtient ainsi la longueur (dans l'unité
du graphique) de l'arc.Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau
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Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie arc de I à ...BCAJI'J'ILongueurπ
6 4 3 2π 3π22π
Pour aller du point I à un point du cercle, il y a deux parcours possibles : dans le sens positif et dans le sens
négatifI- 1- 2- Enroulement d'une droite graduée ....
Soit une droite graduée (l'unité n'a pas changé) .... on place la droite tangente en I au cercle orientée de bas en
haut. La graduation 0 de la droite graduée est en I. On enroule le brin positif sur le cercle, on décalque les graduations .... Quelles graduations se trouvent en A ? en B ? en C ?, en J ?, en I' ? en J' ? pointsBCAJI'J'IGraduation
6 4 3 2π 3π22π
On enroule le brin négatif sur le cercle, on décalque les graduations .... Quelles graduations se trouvent en A ? en B ? en C ?, en J ?, en I' ? en J' ? pointsBCAJI'J'IGraduation-
11π
6- 7π 4- 5π 3- 3π2-π -
2-2π
I-2- Propriétés
Soit x un réel.
* Il existe un et un seul point M du cercle associé au réel x.** Si M est un point du cercle associé à un réel x alors le point M est associé à tous les réels de la forme
*** Si x et y sont deux réels associés à un même point M du cercle alors il existe un entier relatif k
tel que x - y = 2k . (Deux réels associés à un même point diffèrent d'un multiple de 2).
II- Le radian
II-1- Définition
Le radian est une unité d'angle.
Un angle de mesure un radian est un angle au centre du cercle trigonométrique qui intercepte un arc de longueur 1. Autrement dit : La longueur de l'arc (en unité de longueur) intercepté par un angle au centre mesuré en radian et cet angle sont mesurés par le même nombre.Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau
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Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieLa mesure en radians d'un angle ̂AOB et la mesure de la longueur de l'arc sur le cercle trigonométrique
sont égales. (Ce qui ne veut pas dire que l'angle est égal à l'arc ...)II- 2- Propriété : longueur d'un arc
La longueur d'un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle au centre de mesure radian vaut R
Autrement dit : Pour un cercle donné, la longueur de l'arc est proportionnelle à la mesure de l'angle, et lorsque
que l'angle est mesuré en radians le coefficient de proportionnalité est le rayon du cercle ....
II- 3- Angles usuels
La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.Compléter le tableau suivant :
angle en °0°30°45°60°90°180°360° angle en radian0π 6π 4π 3π2π2π
III- Sinus et cosinus
III-1- Définitions
Sur le cercle trigonométrique muni du repère orthonormé (O, I, J), le pointM est associé au réel x.
On appelle cosinus de x, noté cos(x), l'abscisse de M dans ce repère (O, I, J) On appelle sinus de x, noté sin(x), l'ordonnée de M dans ce repère (O, I, J) On a donc: M(cos(x); sin(x)) dans ce repère (O, I, J). ou encore : en notant ⃗OI = ⃗i et ⃗OJ = ⃗j, on a : ⃗OM = cos(x)⃗i + sin(x)⃗j. III-2- Les valeurs remarquables (à connaître) angles au centre0°30°45°60°90°180°270°360° réel associé 0π 6π 4π 3π2 π3π
22π
cosinus1 2 2120-101
sinus01 2 2210-10
III-3- Propriétés
Pour tout nombre réel x, on a:
-1 sin(x) 1 -1 cos(x) 1Et de nouveau, le théorème de Pythagore :
(sin(x))² + (cos(x))² = 1 On écrit aussi par abus de notation : cos²x + sin²x = 1
Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau
3/5 trigonometrie.odt 17/01/18 AB
Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieIII-4- Angles associés
Le rectangle est inscrit dans le cercle
trigonométrique.Angles supplémentaires et opposés.
Les points M et N ont même abscisse et des
ordonnées opposées. Les points M et P ont des abscisses opposées et même ordonnée.Les points M et Q ont des abscisses et des
ordonnées opposées. cos(-) = cos(α) sin(-) = -sin(α) cos( - ) = -cos(α) sin( - ) = sin(α) cos( + ) = -cos(α) sin( + ) = -sin(α) Les angles complémentaires : symétrie par rapportà la première bissectrice.
L'abscisse de M est l'ordonnée de M '.
L'ordonnée de M ' est l'abscisse de M.
cos(π2 - ) = sin(α) sin( π
2 - ) = cos(α)
Placer le point repéré par π
2 + :
cos(π2 + ) = -sin(α)
sin( π2 + ) = cos(α)
commentaires : ces relations se retrouvent en faisant à chaque fois, un schéma .... ne cherchez pas à apprendre
par coeur les relations, cherchez à savoir comment les retrouver : l'essentiel est d'avoir retenu comment un point
est repéré par un réel sur le cercle trigonométrique et les définitions des cosinus et sinus.
Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau
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Trigonométrie
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieCercle gradué complété
Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, Et les mots pour le dire arrivent aisément. Boileau