PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face La section d'un pavé droit ou d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle, dont l'une des dimensions correspond à la longueur de cette arête Section d'un parallélépipède rectangle A B C

PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

cette surface peut être considérée comme concentrée C'est aussi le point où le poids d'un corps est concentré Si un corps est homogène, c'est-à-dire constitué d'un seul matériau, le cg dépend seulement de la forme du corps Si un corps possède un axe de symétrie, son cg est situé sur cet axe (fig 8 2) Fig 8 2

Cours caractéristiques des sections

Remarque : pour les sections possédant un axe de symétrie, le centre de gravité se situe obligatoirement sur cet axe (donc si la section possède 2 axes de symétrie, le centre de gravité est à l’intersection Chaque section ne possédant qu’un centre de gravité, tous les axes de symétrie d’une section son concourants en un point)

Caractéristiques géométriques des sections planes

ceci afin d’obtenir la position exacte de l’axe principal par rapport à Ox C’est un point du cercle de Mohr qui coupe Ox en A et B En définitive : (Ox,OX) = θ, OA = IX, OB = IY Remarque: dans le cas d’une section avec un axe de symétrie, cet axe est un axe principal d’inertie, l’autre lui est perpendiculaire Exemples : Ixy Iyx 35

Section dune sphère On réalise la section de la sphère, de

Le triangle 00M est un triangle rectangle en O' b Calcule la valeur exacte du rayon de la section, puis donne la valeur arrondie au millimètre Le triangle 00M est rectangle en O' donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : 002 + =OM2; soit O'M2 = OM2 - 002 = 12 O'M > O donc O'M = z 3,5 cm Le rayon de la section est d'environ 35 mm

ECOULEMENT UNIFORME : LECON 3 : CALCUL DU REGIME UNIFORME

Nous l'avons vu, dans la cas d'une section trapézoïdale de largeur au plafond l et de pente de talus : l'aire mouillée vaut la somme d'un rectangle et de deux triangles, soit : et le périmètre mouillé vaut la largeur au plafond plus la longueur des talus, ceux-ci étant l'hypoténuse d'un triangle rectangle : 2

FORTHE THE INDUC- COILS RECTANGULAR SECTION

454 ScientificPapers oftheBureauStandards [Vol a Ausefulformulaforcoilsoflargercroectionwasdeveloped byRosa,8whoimaginedthecroectionofthecoiltobedivided

4 Calcul des Aciers Longitudinaux à l’ELU en Flexion Simple

On admet, pour justifier la section d'acier A s nécessaire pour équilibrer un moment ultime M u, de remplacer les diagrammes "réels" (fraction de parabole ou parabole -rectangle) par un diagramme "rectangulaire" de hauteur 0,8 y = 0,8 α d et d'intensité f bu

IV LE PRISME - Free

Dans les conditions correctes, les plans d’incidence et de réfraction sont tous confondus avec un plan de section droite du prisme, comme représenté sur le schéma sommet faces base A n sommet face base A n arête fig 4 1a : une section droite du prisme fig 4 1b : un prisme A n i r' i' i-r i'-r' r D A fig 4 2a : cheminement d'un rayon

PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

8.1.1 Généralités

Dans l'étude des déflexions des poutres ainsi que du flambage des colonnes, on est amené à utiliser

l'une ou l'autre des propriétés des sections droites, qui sont des caractéristiques purement

géométriques. On retrouve: • Axe neutre d'une surface; • Centre de gravité d'une surface; • Moment statique d'une surface; • Moment d'inertie; • Module de section; • Rayon de giration.

8.1.2 Surface neutre et axe neutre

Lorsqu'une poutre est soumise à des forces qui tendent à la courber, les fibres situées a u-dessus (ou

au-dessous) d'un certain plan de la poutre sont en compression et elles se raccourcissent, tandis que

les fibres situées au-dessous (ou au-dessus) de ce plan sont tendues et elles s'allongent. Le plan

intermédiaire en question est appelé surface neutre de la poutre (voir figure 8.1).

Pour une section droite de la poutre, la li

gne correspondant à la surface neutre s'appelle axe neutre

de cette section. L'axe neutre passe toujours par un point particulier "cg" de la section droite d'une

poutre nommé centroïde ou centre de gravité de cette section. 137
Axe neutre (A.N.): C'est le plan qui ne subit aucun allongement pendant la flexion d'une poutre.

Fig. 8.1

L'axe neutre A.N. passe par le centre de gravité ou centroïde.

8.1.3 Centre de gravité (cg)

Le centre de gravité (cg) ou centroïde d'un corps ou d'une surface est un point imaginaire où toute

cette surface peut être considérée comme concentrée. C'est aussi le point où le poids d'un corps est

concentré.

Si un corps est homogène, c'est-à-dire constitué d'un seul matériau, le cg dépend seulement de la

forme du corps. Si un corps possède un axe de symétrie, son cg est situé sur cet axe (fig. 8.2).

Fig. 8.2

138

L'axe de symétrie partage le corps en deux parties de même surface, de même poids. Si un corps

possède au moins deux axes de symétrie (ou médiane), son cg se trouve au point d'intersection de

ces axes. Le cg n'est pas toujours dans la matière. La figure 8.3 illustre le centre de gravité de

différentes surfaces régulièrement utilisées.

Fig. 8.3

La position de quelques autres surfaces est donnée dans les tableaux à la fin du chapitre. D'autres cas

particuliers peuvent être retrouvés dans les "Handbooks" ou livres spécialisées. 139

8.2 MOMENT D'INERTIE

8.2.1 Moment d'inertie

Considérons une surface plane A dans laquelle

un élément de surface a i infiniment petit est indiqué. Cet élément se trouve à une distance d i d'un axe quelconque "o". On appelle moment d'inertie I i de l'élément de surface a i par rapport à l'axe considéré "o", le produit de cet élément par le carré de la distance d i A a i d i o

Fig. 8.7

I i(o) = a i x d i 2 (8.3 a) Si la surface A est subdivisée en N éléments infiniment petits a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N dont les distances respectives à l'axe sont d 1 , d 2 , d 3 , ... , d N alors le moment d'inertie de cette surface par rapport au même axe "o" est donné par la relation suivante: I o = I 1(o) + I 2(o) + ... + I N(o) I o = a 1 d 1 2 + a 2 d 2 2 + ... + a N d N 2 I o = a i d i 2 [m 4 ] (8.3) Le moment d'inertie des sections droites est d'une grande importance dans la conception des poutres

et colonnes. Les tableaux à la fin du chapitre portant sur les propriétés des sections donnent des

valeurs des moments d'inertie de plusieurs profilés d'acier fréquemment utilisés dans la construction.

140

Les autres moments d'inertie peuvent être trouvés dans des "handbooks". La figure suivante donne

quelques moments d'inertie de figures communes. cg axe b h I cg b h 3 12 cg axe I cg d 4 64
b h cg axe I cg b h 3 36

Fig. 8.8

8.2.2 Théorème des axes parallèles

Si on connaît le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe qui passe par son centre de

gravité, on peut connaître son moment d'inertie par rapport à tout autre axe parallèle à ce dernier. Il

suffit d'ajouter la quantité As 2

à son I

Théorème des axes parallèles:

I = I cg + As 2 (8.4) où s = distance entre l'axe choisi et l'axe qui passe par le cg.

A = aire de la section

I cg = moment d'inertie par rapport à un axe qui passe par le cg. 141
EXEMPLE 8.2: Calculer le moment d'inertie du rectangle ci-dessous par rapport à l'axe z passant par sa base.

Solution:

I z = I cg + As 2 b h 3 12 + (bh) h 2 2 b h 3 12 bh 3 4 b h 3 3 cg b h z h/2

Fig. 8.9

Pour les sections complexes ou composées de plusieurs sections simples, le moment d'inertie est

égal à la somme des moments d'inertie de chacune des sections. Si la surface composée possède une

surface creuse, le moment de la section creuse est alors négatif. Dans le cas des surfaces composées,

le théorème des axes parallèles est alors très utile. Comme par exemple, la section en T du premier

exemple, si on veut savoir le moment d'inertie de la surface totale, on doit utiliser le théorème, c'est

ce que nous ferons dans le prochain exemple. EXEMPLE 8.3: Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section en T ci- dessous. (fig. 8.10)

Solution:

Nous avions déjà trouvé le cg de la surface totale dans le premier exemple, on sait que l'axe neutre passe par le centre de gravité. Maintenant on veut le moment d'inertie par rapport à cet axe. I AN = I

AN(surface 1)

+ I

AN(surface 2)

AN(surface 1)

= I cg1 + A 1 s 1 2 I

AN(surface 2)

= I cg2 + A 2 s 2 2 1 cm

4,5 cm

A 2

2,59 cm

2 cm 5 cm 6 cm A.N. cg A 1

Fig. 8.10

142
I cg1

2 cm (5 cm)

3 12 = 20,833 cm 4 et I cg2

6 cm (2 cm)

3 12 = 4 cm 4 I

AN(surf 1)

= 20,833 cm 4 + (2 cm x 5 cm)(1,91 cm) 2 = 20,833 cm 4 + 36,481 cm 4 = 57,314 cm 4 I

AN(surf 2)

= 4 cm 4 + (2 cm x 6 cm)(1,59 cm) 2 = 4 cm 4 + 30,337 cm 4 = 34,337 cm 4

Donc I

AN = 57,314 cm 4 + 34,337 cm 4 = 91,651 cm 4

Le calcul du moment d'inertie passe toujours par celui du centre de gravité. Dans cet exemple, le centre de gravité avait

déjà été trouvé, donc nous ne l'avons pas refait.

8.3 MODULE DE SECTION ET RAYON DE GIRATION

8.3.1 Module de section

Une propriété des sections fréquemment employée dans la conception des poutre est le module de

section. Il s'emploie notamment dans les calculs des contraintes normales dues à la flexion. Par

contre on s'en sert surtout si la surface est symétrique par rapport à l'axe horizontal, c'est-à-dire que

son axe neutre est dans le plan de symétrie de la figure. Axe

Neutre

c c c c

Fig. 8.11

On appelle S le module de section et on le définit: S = I c m 3 (8.5) où I = moment d'inertie de la surface par rapport à l'AN c = distance perpendiculaire entre l'AN et le point le plus éloigné de la section. 143

À cause de la symétrie, S est le même que l'on mesure en haut ou en bas. On peut quand même

calculer le module de section non symétrique en utilisant la distance la plus éloignée de l'axe neutre.

Les tableaux situés à la fin du chapitre donne les valeurs de S pour différentes surfaces et profilés

utilisés couramment.

8.3.2 Rayon de giration

Dans l'analyse des colonnes, on utilise constamment une caractéristique nommée rayon de giration.

Le rayon de giration est la distance entre un axe et un point où on peut considérer que toute la

surface est concentrée de telle sorte que son moment d'inertie demeure le même.

I = A d

2 = A r 2

On appelle "r" le rayon de giration. D'où:

r = I A m (8.6) où I = moment d'inertie de la surface au cg

A = aire de la surface

EXEMPLE 8.4: Calculer les rayons de giration horizontaux et verticaux de la figure ci dessous.

Solution:

I cgx

6 cm (2 cm)

3 12 = 4 cm 4

A = 12 cm

2 r x 4 cm 4 12 cm 2 = 0,58 cm I cgy

2 cm (6 cm)

3 12 = 36 cm 4 cg 2 cm 6 cm A x

0,58 cm

1,73 cm

Fig. 8.12

A = 12 cm

2 144
r y 36 cm
4 12 cm 2 = 1,73 cm

Le rayon de giration diffère selon l'axe de référence utilisé, ainsi si on regarde selon l'axe horizontal "x", le rayon de

giration de l'exemple précédent est de 0,58 cm. C'est comme si on concentrait toute la surface à 0,58 cm de l'axe des x.

EXEMPLE 8.5: Calculer les rayons de giration de la surface en T du premier exemple, premièrement par rapport à l'axe neutre et deuxièmement par rapport à l'axe de symétrie vertical.

[PDF] PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

PROPRIÉTÉS DES SECTIONS

8.1.1 Généralités

8.1.2 Surface neutre et axe neutre

Pour une section droite de la poutre, la li

Fig. 8.1

8.1.3 Centre de gravité (cg)

Fig. 8.2

Fig. 8.3

8.2 MOMENT D'INERTIE

8.2.1 Moment d'inertie

Considérons une surface plane A dans laquelle

Fig. 8.7

Fig. 8.8

8.2.2 Théorème des axes parallèles

à son I

Théorème des axes parallèles:

A = aire de la section

Solution:

Fig. 8.9

Solution:

AN(surface 1)

AN(surface 2)

AN(surface 1)

AN(surface 2)

4,5 cm

2,59 cm

Fig. 8.10

2 cm (5 cm)

6 cm (2 cm)

AN(surf 1)

AN(surf 2)

Donc I

8.3 MODULE DE SECTION ET RAYON DE GIRATION

8.3.1 Module de section

Neutre

Fig. 8.11

8.3.2 Rayon de giration

I = A d

On appelle "r" le rayon de giration. D'où:

A = aire de la surface

Solution:

6 cm (2 cm)

A = 12 cm

2 cm (6 cm)

0,58 cm

1,73 cm

Fig. 8.12

A = 12 cm

Solution:

1-Par rapport à l'axe neutre:

A = 22 cm

91,65 cm

2-Par rapport à l'axe de symétrie:

2 cm (6 cm)

5 cm (2 cm)

39,33 cm

4,5 cm

2,59 cm

Fig. 8.13

8.4 PROPRIÉTÉS DES SECTIONS: TABLEAUX

Figure

Aire Moment

Inertie

Module

Section

Giration