Seconde Cours : Sens de variation et fonctions affines
II Sens de variation d’une fonction affine Propriété : Si a est positif, la fonction affine x ax + b est croissante sur Si a est négatif, la fonction affine x ax + b est décroissante sur Démonstration Soit x 1 et x 2 deux réels quelconques tels que x 1 < x 2
Seconde Cours : Sens de variation et fonctions affines
II Sens de variation d’une fonction affine Propriété : Si a est positif, la fonction affine x ax + b est croissante sur Si a est négatif, la fonction affine x ax + b est décroissante sur Démonstration Soit x 1 et x 2 deux réels quelconques tels que x 1 < x 2
Seconde 2 IE3 sens de variation fonctions affines 2014-2015 S1
b) Dresser le tableau de variation de la fonction S Exercice 3: (3,5 points) 1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = -5 et f(2) = 4 2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 3)² a) Montrer que g est une fonction affine b) Donner le sens de variation de g en justifiant c) Résoudre l’’inéquation g(x) 0
Fonctions affines Exercices corrigés
x Exercice 3 : fonction affine par intervalles (par morceaux) x Exercice 4 : sens de variation d’une fonction affine x Exercice 5 : signe d’un binôme , inéquation du premier degré à une inconnue (résolution algébrique et résolution graphique) Soit la fonction affine définie, pour tout nombre réel , par
cours fonctions affines - Free
I Sens de variation d’une fonction affine Propriété : Si a est positif, la fonction affine x ax + b est croissante sur Y Si a est négatif, la fonction affine x ax + b est décroissante sur Y Démonstration Soit x 1 et x 2 deux réels quelconques tels que x 1 < x 2
DS2 variations de fonctions et fonctions affines
1) Donner en justifiant le sens de variation de f 2) Dresser son tableau de signes 3) Quel est le signe de f sur l'intervalle I = [2;3] ? 4) Proposer un intervalle du type J = [n;n+1], avec n entier naturel, où la fonction change de signe 1) f étant une fonction affine de coefficient -4 négatif est donc décroissante sur
Les fonctions affines
4) Déterminer le sens de variation d’une fonction affine Dresser le tableau de variation de chaque fonction 5) Déterminer le signe d’une fonction affine Dresser le tableau de signe de chaque fonction
Ch 5 — Variations de fonctions
Sens de variation Exercice 10 Soit fla fonction définie par le tableau de variations ci-dessous : x f −5 2 0 5 3 3 0 3 −1 1 Donner l’ensemble de définition de f 2 Préciser les variations de fà l’aide d’une phrase 3 Indiquer les extremums de f 4
Chapitre 5 : Fonctions de référence
2 Sens de variation de la fonction cube Propriété : La fonction cube est croissante sur ℝ Tableau de variation x – ∞ + ∞ f(x) – ∞ + ∞ 3 Représentation graphique Définition : Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cube est l’ensemble des points M du plan de coordonnées (x;x3) quand x décrit ℝ
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Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1 1
Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
décroissante sur ]- ;5[ et sur ]9 ;+ [ ; croissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ 4, 7 et 11 ; elle atteint un maximum relatif en 9 égal à 2.Exercice 2 : (4,5 points)
ABCD est un rectangle inscrit dans un demi-
cercle de centre O et de rayon 6 cm comme indiqué sur la figure ci-contre. Ses côtés ont des longueurs variables ; on noteY la longueur AB en cm.
1) a) Dans quel intervalle varie Y ?
b) Justifier que OA² + Y² = 36. c) En déduire OA, puis AD en fonction de Y. d) ([SULPHU O·MLUH 6Y), en cm², du rectangle ABCD en fonction de Y.2) a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU MSSURŃOpH GX PM[LPXP GH OM
fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint. b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = 3 et f(1) = -1
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 2)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2 2Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
croissante sur ] - ;-2[ et sur ]3 ;+ [ ; décroissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ -4 et 1 ; elle atteint un minimum relatif en 3 égal à -6.Exercice 2 : (4,5 points)
Un logo publicitaire doit avoir la forme ci-contre. M est un point G·MNVŃLVVH [ de la courbe $ représentant la fonction f définie sur [0 ;2] par f(x) = 4 ² x².1) ([SULPHU O·MLUH GX PULMQJOH 20+ HQ IRQŃPLRQ GH [B
2) 2Q ŃRQVLGqUH OM IRQŃPLRQ 6 TXL j [ MVVRŃLH O·MLUH GX
triangle OMH. a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU approchée du maximum de la fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint.Donner des valeurs approchées au dixième.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = -5 et f(2) = 4
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 3)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
3Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
décroissante sur ]- ;5[ et sur ]9 ;+ [ ; croissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ 4, 7 et 11 ; elle atteint un maximum relatif en 9 égal à 2.Exercice 2 : (4,5 points)
ABCD est un rectangle inscrit dans un demi-
cercle de centre O et de rayon 6 cm comme indiqué sur la figure ci-contre. Ses côtés ont des longueurs variables ; on noteY la longueur AB en cm.
1) a) Dans quel intervalle varie Y ?
b) Justifier que OA² + Y² = 36. c) En déduire OA, puis AD en fonction de Y. d) ([SULPHU O·MLUH 6Y), en cm², du rectangle ABCD en fonction de Y.2) a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMleur approchée j O·XQLPp du maximum
de la fonction S et de la valeur Y0 (au dixième) pour laquelle il est atteint. b) Dresser le tableau de variation de la fonction S. x f(x) 5 9 2 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
41) a) AB varie entre 0 et le rayon du cercle.
Donc x [0 ;6].
b) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OAB rectangle en A, on a :OB² = AB² + OA²
Soit 6² = Y² + OA²
Soit : OA² + Y² = 36
c) OA² = 36 ² Y²Donc OA = 36 ² Y²
AD = 2OA = 236 ² Y²
d) S(x) = ABAD = 2Y36 - Y² 2) a)Avec la calculatrice PUMŃp GH OM ŃRXUNH MVVRŃLpH j OM IRQŃPLRQ 6 VXU O·LQPHUYMOOH L0 ;6]
Avec la calculatrice : table de valeurs à partir de 4 avec un pas de 0,1 : Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
5Tracé plus précis de la courbe UHSUpVHQPMQP OM IRQŃPLRQ I MYHŃ XQ JUMSOHXU *UMSO·(MV\ :
Par lecture graphique le maximum est environ 36 et il est atteint en x0 4,2.Remarque :
Vous apprendrez à calculer la valeur exacte de x0 O·MQ SURŃOMLQ MYHŃ OM GpULYpH GH OM IRQŃPLRQ 6B
On peut montrer que x0 = 32 4,24
On vérifie que S(32) = 23236 ² (32)²= 6236 - 18 = 6218 = 66 = 36La valeur exacte du maximum est donc 36.
b)Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = 3 et f(1) = -1
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 2)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B1) Comme f est une fonction affine, on a f(x) = ax + b
avec a = f(1) ² f(-1)1 ² (-1) = -1 ² 3
2 = -2
f(1) = -1 Ù -21 + b = -1Ù b = -1 + 2 = 1
Donc f(x) = -2x + 1
Vérification : f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 et f(1) = -21 + 1 = -1 x S(x) 0 0 Y0 366 0 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1
CORRECTION
6Autre méthode :
f(x) = f(1) ² f(-1)1 ² (-1)(x ² 1) + f(1) = -2(x ² 1) ² 1 = -2x + 2 ² 1 = -2x + 1
2) a) g(x) = x² - (x² + 4x + 4) = -4x ² 4
g(x) est de la forme ax + b avec a = -4 et b = -4.Donc g est bien une fonction affine
b) Comme a = -4 < 0, alors g est une fonction décroissante sur K. c) g(x) < 0 Ù -4x ² 4 < 0Ù -4x < 4
Ù x > 4
-4 IH VHQV GH O·LQpTXMPLRQ ŃOMQJH ŃMU on divise par un nombre négatif.)Ù x > -1
I·HQVHPNOH GHV VROXPLRQV GH ŃHPPH LQpTXMPLRQ HVP GRQŃ 6 @-1 ; + [. Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
7Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
croissante sur ] - ;-2[ et sur ]3 ;+ [ ; décroissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ -4 et 1 ; elle atteint un minimum relatif en 3 égal à -6. x f(x) -2 3 -6 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
8Exercice 2 : (4,5 points)
Un logo publicitaire doit avoir la forme ci-contre.0 HVP XQ SRLQP G·MNVŃLVVH [ GH OM ŃRXUbe $ représentant la
fonction f définie sur [0 ;2] par f(x) = 4 ² x².1) ([SULPHU O·MLUH GX PULMQJOH 20+ HQ IRQŃPLRQ GH [B
2) 2Q ŃRQVLGqUH OM IRQŃPLRQ 6 TXL j [ MVVRŃLH O·MLUH GX
triangle OMH. a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU approchée du maximum de la fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint.Donner des valeurs approchées au dixième.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.1) AOHM = OHHM
2 = x(4 ² x²)
2 2) a)Avec la calculatrice PUMŃp GH OM ŃRXUNH MVVRŃLpH j OM IRQŃPLRQ 6 VXU O·LQPHUYMOOH L0 ;2]
Avec la calculatrice : table de valeurs à partir de 1 avec un pas de 0,1 : Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
97UMŃp SOXV SUpŃLV GH OM ŃRXUNH UHSUpVHQPMQP OM IRQŃPLRQ I MYHŃ XQ JUMSOHXU *UMSO·(MV\ :
Par lecture graphique le maximum est environ Max = 1,5 et il est atteint en x0 1,2.Remarque :
Vous apprendrez à calculer la valeur exacte de x0 O·MQ SURŃOMLQ MYHŃ OM GpULYpH GH OM IRQŃPLRQ 6B