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Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 1 1
Exercice 1 : Tracé de courbe (3,5 points)
Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-3 ;7] telle que : o o Les antécédents de 0 sont 1 et 5 et ayant le tableau de variations suivant: Exercice 2 : Inégalités et sens de variation (4,5 points)
Soit f une fonction définie sur [-3 ;4].
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;4], alors f(-3) f(4) b) Si f(0) = 2 et f(1) = 0, alors f est décroissante sur [0;1] c) Si f(-3) f(4), alors f est croissante sur [-3 ;4].
Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points)
Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et 60 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² - 10x + 500. ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases. Un vase est vendu
1) Exprimer R(x) en fonction de x.
2) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 50 vases.
3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x).
Vérifier que B(x) = -x² + 60x 500.
4) a) Développer l'expression (x 30)² + 400.
b) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
Exercice 4 : (4 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -4x + 7.
1) Donner en justifiant le sens de variation de f.
2) Dresser son tableau de signes.
3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [2;3] ?
4) Proposer un intervalle du type J = [n;n+1], avec n entier naturel, où la fonction
change de signe.
Exercice 5 : (2 points)
Déterminer la fonction affine f telle que f(1) = 3 et f(5) = -2. x f(x) -3 4 -1 6 3 -2 7 1 Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 2 2
Exercice 1 : Tracé de courbe (3,5 points)
Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-2 ;6] telle que : o -1 est 2,5 o un antécédent de 3 est 2 et ayant le tableau de variations suivant : Exercice 2 : Inégalités et sens de variation (4,5 points)
Soit f une fonction définie sur [-3 ;4].
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;4], alors f(- b) Si f(0) = 3 et f(2) = 0, alors f est croissante sur [0 ;2] c) Si f(-4), alors f est décroissante sur [-3 ;4].
Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points)
Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de chaises. Il en fabrique entre
0 et 80 et estime que le coût de production, en euros, de x chaises fabriqués est
modélisée par la fonction C donnée par C(x) = x² - 20x + 600. ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x chaises. Une chaise est vendue
1) Exprimer R(x) en fonction de x.
2) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 40 chaises.
3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x).
Vérifier que B(x) = -x² + 80x 600.
4) a) Développer l'expression (x 40)² + 1000.
b) En déduire le nombre de chaises à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
Exercice 4 : (4 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x + 5.
1) Donner en justifiant le sens de variation de f.
2) Dresser son tableau de signes.
3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [1;2] ?
4) Proposer un intervalle du type J = [n;n+1], avec n entier naturel, où la fonction
change de signe.
Exercice 5 : (2 points)
Déterminer la fonction affine f telle que f(2) = -1 et f(4) = 5. x f(x) -2 4 1 2 4 4 6 1 Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 1
CORRECTION
3
Exercice 1 : Tracé de courbe (3,5 points)
Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-3 ;7] telle que : o o Les antécédents de 0 sont 1 et 5 et ayant le tableau de variations suivant : Exercice 2 : Inégalités et sens de variation (4,5 points)
Soit f une fonction définie sur [-3 ;4].
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;4], alors f(-3) f(4) b) Si f(0) = 2 et f(1) = 0, alors f est décroissante sur [0 ;2] c) Si f(-3) f(4), alors f est croissante sur [-3 ;4]. a) Faux : si f est décroissante sur [-3 ;4] alors f(-3) > f(4) b) Faux (f peut être par exemple croissante sur [0; 0,5] et décroissante sur [0,5 ;1]) c) Faux (f peut être par exemple décroissante sur [-3 ;0] et croissante sur [0 ;4]) x f(x) -3 4 -1 6 3 -2 7 1 Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 1
CORRECTION
4
Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points)
Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de vases. Il en fabrique entre 0 et
60 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la
fonction C donnée par C(x) = x² -10x + 500. ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases. Un vase est vendu
1) Exprimer R(x) en fonction de x.
2) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 50 vases.
3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x).
Vérifier que B(x) = -x² + 60x 500.
4) a) Développer l'expression (x 30)² + 400.
b) En déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
1) R(x) = 50x
2) C(50) = 50² - 1050 + 500 = 2500 500 + 500 = 2500
R(50) = 5050 = 2500
La recette pour 50 vases ve
3) B(x) = R(x) C(x) = 50x (x² - 10x + 500) = 50x -x² + 10x 500
B(x) = -x² + 60x 500.
4) a) -(x 30)² + 400 = -(x² - 2x30 + 30²) + 400 = -x² + 60x 900 + 400
-(x 30)² + 400 = -x² + 60x 500 = B(x) b) Pour x [0;60], B(x) 400 = -(x 30)² + 400 400 = -(x 30)² Or (x 30)² étant un carré est positif ou nul.
Donc B(x) 400 0
Soit B(x) 400 et pour x = 30 B(x) = B(30) = 400.
Donc Le bénéfice maximum est égal à 400 et il est atteint pour x = 30. Il faut donc produire 30 vases pour réaliser un bénéfice maximum. Vérification graphique : tracé des courbes représentant les fonctions C, R et B Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 1
CORRECTION
5
Exercice 4 : (4 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -4x + 7.
1) Donner en justifiant le sens de variation de f.
2) Dresser son tableau de signes.
3) Quel est le signe de f sur l'intervalle I = [2;3] ?
4) Proposer un intervalle du type J = [n;n+1], avec n entier naturel, où la fonction
change de signe.
1) f étant une fonction affine de coefficient -4 négatif est donc décroissante sur .
2) f(x) < 0 -4x + 7 < 0
-4x < -7 x > -7 -4 (la division par le nombre négatif -4 change le sens de l'inégalité) x > 7 4
On en déduit le tableau de signes suivant :
x - 7
4 +
Signe de -4x + 7 + 0 -
3) [2;3] 7
4 ; + donc f(x) < 0 pour x [2;3].
4) 1 < 7
4 < 2; donc la fonction f change de signe sur l'intervalle J = [1;2].
Vérification graphique :
Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 1
CORRECTION
6
Exercice 5 : (2 points)
Déterminer la fonction affine f telle que f(1) = 3 et f(5) = -2. f(x) = f(5) f(1)
5- 1(x 1) + f(1) = -2 3
5 - 1(x 1) + 3 = - 5
4(x 1) + 3 = -5
4x + 5
4 + 3 f(x) = - 5
4x + 5 + 34
4 = -5
4x + 17
4
Vérification algébrique : f(1) = -5
41 + 17
4 = -5 + 17
4 = 12
4 = 3 f(5) = -5
45 + 17
4 = - 25 + 17
4 = - 8
4 = -2
Vérification graphique :
On vérifie que -5
4 = -1,25 et 17
4 = 4,25
Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 2
CORRECTION
7
Exercice 1 : Tracé de courbe (3,5 points)
Construire la courbe possible représentant une fonction f définie sur [-2 ;6] telle que : o -1 est 2,5 o un antécédent de 3 est 2 et ayant le tableau de variations suivant : Exercice 2 : Inégalités et sens de variation (4,5 points)
Soit f une fonction définie sur [-3 ;4].
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (Justifier la réponse). a) Si f est décroissante sur [-3 ;4], alors f(- b) Si f(0) = 3 et f(2) = 0, alors f est croissante sur [0 ;2] c) Si f(--3 ;4]. a) -3 < 4 f(-3) > f(-4) si f est décroissante : vrai b) faux : f peut être non monotone sur [0 ;2] avec f(0)=3 et f(2)=0 c) faux : f peut être non monotone sur [-3 ;4] avec f(-3) > f(4) x f(x) -2 4 1 2 4 4 6 1 Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 2
CORRECTION
8
Exercice 3 : Bénéfice maximum (6 points)
Un artisan fait une étude sur la vente de sa production de chaises. Il en fabrique entre 0 et
80 et estime que le coût de production, en euros, de x vases fabriqués est modélisée par la
fonction C donnée par C(x) = x² - 20x + 600. ON note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x chaises. Une chaise est vendue 6
1) Exprimer R(x) en fonction de x.
2) Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l'artisan vend 40 chaises.
3) Le bénéfice B(x) est défini par B(x) = R(x) C(x).
Vérifier que B(x) = -x² + 80x 600.
4) a) Développer l'expression (x 40)² + 1000.
b) En déduire le nombre de chaises à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
1) R(x) = 60x
2) C(40) = 40² - 2040 + 600 = 1600 800 + 600 = 1400
R(40) = 6040 = 2400
Le coût de production pour 40 chaises vendues est de 2 4
La recette pour 40 chaises vendues est de 2 4
3) B(x) = R(x) C(x) = 60x (x² - 20x + 600) = 60x - x² + 20x 600 = -x² + 80x 600.
4) a) -(x 40)² + 1000 = -(x² - 80x + 1600) + 1000 = -x² + 80x 1600 + 1000
-(x 40)² + 1000 = -x² + 80x 600 = B(x) b) Pour x [0;80], B(x) 1000 = -(x 40)² + 1000 1000 = -(x 40)² Or (x 40)² étant un carré est positif ou nul.
Donc B(x) 1000 0
Soit B(x) 1000 et pour x = 40 B(x) = B(40) = 1000. Donc Le bénéfice maximum est égal à 1000 et il est atteint pour x = 40. Il faut donc produire 40 chaises pour réaliser un bénéfice maximum. Vérification graphique : tracé des courbes représentant les fonctions C, R et B Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 2
CORRECTION
9
Exercice 4 : (4 points)
On considère la fonction f définie sur par f(x) = -2x + 5.
1) Donner en justifiant le sens de variation de f.
2) Dresser son tableau de signes.
3) Quel est le signe de f sur l'intervalle [1;2] ?
4) Proposer un intervalle du type J = [n;n+1], avec n entier naturel, où la fonction
change de signe.
1) f étant une fonction affine de coefficient -2 négatif est donc décroissante sur .
2) f(x) < 0 -2x + 5 < 0
-2x < -5 x > -5 -2 (la division par le nombre négatif -2 change le sens de l'inégalité) x > 5 2
On en déduit le tableau de signes suivant :
x - 5
2 +
Signe de -2x + 5 + 0 -
3) [1;2] - ; 5
2 donc f(x) > 0 pour x [1;2].
4) 2 < 5
2 < 3; donc la fonction f change de signe sur l'intervalle J = [2;3].
Vérification graphique :
Seconde 1 DS2 variations de fonctions fonctions affines 2016-2017 Sujet 2
CORRECTION
10
Exercice 5 : (2 points)
Déterminer la fonction affine f telle que f(2) = -1 et f(4) = 5. f(x) = f(4) f(2)
5 - (-1)(x 2) + f(2) = 5 (-1)
4 - 2(x 2) - 1 = 6
2(x 2) - 1 = 3(x 2) - 1
f(x) = 3x 6 1 = 3x - 7 Vérification algébrique : f(2) = 32 7 = 6 7 = -1 f(4) = 34 7 = 12 7 = 5
Vérification graphique :
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Seconde Cours : Sens de variation et fonctions affines