FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur Rde la forme P(x) = ax2 +bx+c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a 6= 0 Exemple 1 Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas fonctions polynôme de degré 2 coefficients autres fonctions P(x) = 2x2 −5x +3 a = 2, b = −5, c
Fiche de révisions - Free
tudier le sens de variations de2 É f définie par f(x) = 2x3 −3x2 −336x −5 sur [−10 ; 10] f ′ ( x ) = 6 x 2 −6 x −336 Je dois étudier le signe de f ′ ( x ) qui est un polynôme du second degré
DÉRIVATION (Partie 1)
(au sens de "provenir") d'une autre fonction I Fonction dérivée d’une fonction polynôme du second degré Dans ce chapitre, nous allons utiliser un outil nouveau, la fonction dérivée, dont l’utilité est d’établir les variations de la fonction dont elle dérive Soit f une fonction polynôme du second degré définie par f(x)=5x2
Première générale - Polynômes du second degré - Exercices
Soit l’équation du second degré f(x)=ax²+bx+c 1 Ecrire une fonction def delta(a,b,c) qui retourne la valeur de delta pour un trinôme du second degré 2 Ecrire une fonction def resoudre(a,b,c) qui retourne les solutions d’un polynôme du second degré f(x)=0 3 Ecrire une fonction def factorisation(a,b,c) qui retourne la forme
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré ETUDE DE LA
Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré Tableau de variation 2 racines Si le coefficient de x² 0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l’axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x² 0, il y a un maximum et la parabole tourne sa
Trinômes du second degré - Free
Trinômes du second degré A Fonctions trinômes du second degré On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et a non nul ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme 1 Forme canonique Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )²
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques
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Première STMG - Fonction polynôme de degré 3, Fonction dérivée
II) Fonction dérivée d’une fonction polynome de degré trois Soit B une fonction polynôme de degré 3 définie sur 9: : ; L Ü E ² E E où , , et sont des réels avec M Ù La fonction dérivée de , notée ’, est la fonction définie sur 9 par : ′ : ; L Ü ² E Û +c Exemples :
Exercices supplémentaires – Second degré
1) Déterminer les valeurs de * pour lesquelles < admet deux racines distinctes 2) Déterminer les valeurs de * pour lesquelles < admet une racine double 3) Déterminer les valeurs de * pour lesquelles < n’admet pas de racine 4) Déterminer les valeurs de * pour lesquelles le minimum de < est strictement inférieur à 1
Equations · differentielles· d’ordre 2
1 Etudier´ le sens de variation de la fonction f 2 a) Determiner´ la limite de f en +∞ (on pourra mettre e2x en facteur dans f(x)) b) Montrer que la droite ∆ d’´equation y = 2, est asymptote `a Cf Etudier´ les positions relatives de Cf et ∆ c) On note T la droite tangente a` Cf au point d’abscisse 0 Calculer le coefficient
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Définitions1
II Variations et représentation graphique3
IIIMéthodes pratiques pour déterminer les variations deP4I Définitions
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPdéfinie surRde la formeP(x) =ax2+bx+c
oùa,betcsont des réels appelés coefficients aveca?= 0.Exemple 1
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas! fonctions polynôme de degré2coefficients autres fonctionsP(x) = 2x2-5x+ 3a= 2,b=-5,c= 3P(x) =x3+ 2x2-5x+ 3
P(x) =-x2+ 3a=-1,b= 0,c= 3
P(x) =x-5
P(x) =-7x2+ 3x a=-7,b= 3,c= 0
f(x) =x2-5x+1xDéfinition 2
Une expression de la formea(x-α)2+baveca?= 0s"appelle la forme canonique d"un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique.Exemple 2
L"expressionP(x) = 2(x-1)2+ 3est la forme canonique du polynômeP(x) = 2x2-4x+ 5.ÔEn effet :2(x-1)2+ 3 = 2(x2-2x+ 1) + 3
= 2x2-4x+ 5 =P(x). http://mathematiques.daval.free.fr-1-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
II Variations et représentation graphique
Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.Propriété 1
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ]- ∞; +∞[ est : ©strictement décroissante puis strictement croissantesia >0, ©strictement croissante puis strictement décroissantesia <0, Tableau de variations et représentation graphique : a >0 x-∞-b2a+∞ f? ? min x=-b2a minimuma <0 x-∞-b2a+∞ Max f? ? x=-b2a ?MaximumDans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représentative d"une fonction polynôme de degré 2 est une parabole
cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l"axe des ordonnées. http://mathematiques.daval.free.fr-2-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
III Méthodes pratiques pour déterminer les variations deP •Utilisation de la forme canoniquea(x-α)2+β.Sia >0, alorsa(x-α)2≥0
donc,a(x-α)2+β≥β le minimumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.Exemple 3
SoitP(x) = 2(x-2)2-1, on obtient :
Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],
croissante sur[ 2 +∞[.Son minimum atteint en2vaut-1.
x-∞2 +∞ f? ? -11 2 3 4-1
123456
-1 le Maximumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.Exemple 4
SoitP(x) =-1
2(x-2)2-1, on obtient :
Pest croissante sur]- ∞; 2 ],
décroissante sur[ 2 +∞[.Son Maximum atteint en2vaut-1.
x-∞2 +∞ -1 f? ?1 2 3 4 5-1-2-3
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7? http://mathematiques.daval.free.fr-3-2ndeISIFonctions chapitre 42009-2010
•Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.Puisque la courbe est symétrique, si l"on trouve deux pointsAetBde cette courbe de même ordonnée, on
en déduit que leur milieuIest situé sur l"axe de symétrie.L"abscisse deIest donc l"abscisse de l"extremum.
Exemple 5
SoitP(x) =x2-4x+ 3:
On recherche par exemple les2pointsAetBqui ont pour abscissey= 3.Pour cela, on résoutP(x) = 3:
x2-4x+ 3 = 3??x2-4x= 0
??x(x-4) = 0 ??x= 0oux= 4L"abscisse du minimum est doncx=0 + 4
2= 2.L"ordonnée vautP(2) = 22-4×2 + 3 =-1.
Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],
croissante sur[ 2 +∞[.1 2 3 4-1
12345-1 -2????