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Année 2016/2017.

Introduction à l"Étude des Séries Temporelles

Jean-Yves Dauxois

Ce polycopié est construit en vue d"une Progression en Groupe (PEG). Il permet une formation en auto-apprentissage. Les preuves et les exemples sont présentés sous forme d"exercices. Il est plus aisé et conseillé de travailler en groupe de 3-4 étudiants pour favoriser également un apprentissage par les pairs. Cette version du polycopié du cours de Séries Temporelles est encore récente et toujours "en construction". Elle est nécessairement non complete et surtout loin d"être sans coquilles ni sans possibilités d"amélioration. Les lecteurs attentifs et attentionnés auront la gentillesse de me faire remonter des remarques constructives, tant sur le fond que sur la forme. Merci d"avance !

Table des matières

Chapitre 1. Introduction et Analyse descriptive

1

1. Introduction

1

1.1. Exemples de séries temporelles

1

1.2. Quelles questions sont posées au statisticien qui veut étudier une série

temporelle ? 2

2. Décomposition d"une série temporelle

5

2.1. Quelques modéles de séries temporelles avec tendance et/ou saisonnalité

5

2.2. Tendance et saisonnalité d"une série temporelle

5

2.3. Une approche générale de la modélisation des séries temporelles

6

3. Estimation et élimination d"une tendance en absence de saisonnalité

6

3.1. Estimation de la tendance (en l"absence de saisonnalité)

6

3.1.1. Estimation par Moindre carrés

6

3.1.2. Estimation par filtrage de moyenne mobile

7

3.1.3. Estimation par lissage exponentiel

9

3.2. Élimination de la tendance par différenciation

9

4. Estimation et élimination de la tendance et de la composante saisonnière

10

4.1. Estimation

10

4.1.1. Estimation par Moindres carrés

10

4.1.2. Estimation par Moyenne Mobile

1 1

4.1.3. Elimination de la saisonnalité par différenciation

13

5. Travaux Dirigés

14 Chapitre 2. Modélisation aléatoire des séries temporelles 19

1. Processus stochastiques

19

1.1. Définition

19

1.2. Premiers exemples de séries temporelles

19

1.2.1. Bruits blancs

19

1.2.2. Marche aléatoire

2 0

1.2.3. Processus gaussien

20

1.2.4. Processus MA(1)

20

1.2.5. Processus AR(1)

20

2. Processus du second ordre

21

2.1. EspaceL221

2.2. Processus du second ordre

22

3. Processus stationnaires

23

3.1. Stationnarité forte

23

3.2. Stationnarité faible

24

Chapitre 0. Table des matières

3.3. Fonctions d"autocovariance et d"autocorrélation

25

4. Densité spectrale

28

5. Travaux Dirigés

32
Chapitre 3. Statistique des processus stationnaires du second ordre 35

1. Estimation des moments

35

1.1. Estimation de la moyenne du processus stationnaire

35

1.2. Estimation de la fonction d"auto-covariance

36

2. Prévision linéaire optimale

37

2.1. Espaces linéaires engendrés par un processus du second ordre

37

2.2. Régression linéaire et innovations

38

2.3. Prévision linéaire optimale dans le cas d"un passé fini

40

2.4. Evolution des prévisions linéaires optimales en fonction de la taille de la

mémoire 41

3. Autocorrélations partielles

44

4. Tests

45

5. Travaux Dirigés

46

Chapitre 4. Modèles ARMA

47

1. Polynômes et séries enB47

1.1. Définitions

47

1.2. Inversion deIB49

1.2.1. 1er Cas : la racine du polynôme est à l"extérieur strictement du disque

unité, i.e.jj<150

1.2.2. 2ème Cas : la racine du polynôme est à l"intérieur strictement du disque

unité, i.e.jj>151

1.2.3. 3ème Cas : la racine du polynôme est sur le cercle unité, i.e.jj= 151

1.3. Inverse d"un polynôme enB52

2. Processus AR

53

2.1. Définition

53

2.2. Un exemple simple mais très instructif : le processus AR(1)

54

2.2.1. Casj'j= 154

2.2.2. Casj'j<154

2.2.3. Casj'j>154

2.3. Propriétés

55

2.4. Liaisons temporelles

58

2.4.1. Autocovariances et autocorrélations simples

58

2.4.2. Autocorrélations partielles

60

3. Processus MA

60

3.1. Definition

60

3.2. Ecriture AR(1)61

3.3. Liaisons temporelles

61

3.3.1. Autocovariances et autocorrélations simples

61

3.3.2. Autocorrélations partielles

62
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