Introduction à l’Étude des Séries Temporelles
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S´eries temporelles, avec R Florin Avram
S´eries temporelles, avec R Florin Avram Objectif : La r´egression et l’interpolation d´et´erministe sont parmi les m´ethodes les plus importantes en statistique et dans les math´ematiques ap-pliqu´ees Leur but est d’´estimer la valeur d’un ”signal” g(x) en un point xquel-conque, en connaissant des observations Y
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Séries temporelles – Modèles ARIMA Didier Delignières Séminaire EA "Sport – Performance – Santé" Mars 2000 Il existe deux catégories de modèles pour rendre compte d'une série temporelle Les premiers considèrent que les données sont une fonction du temps (y = f(t)) Cette catégorie de modèle
Initiation à l’analyse des séries temporelles et à la prévision
Nous présentons l’analyse des séries temporelles qui est employée dans de nombreuses sciences et techniques Nous mettons notamment l’accent sur les méthodes de prévision telles qu’elles sont utilisées, en particulier pour la prévision des ventes dans les entreprises Nous
TD de S eries Temporelles - Université de Nantes
TD de S eries Temporelles F Lavancier, A Philippe Processus ARMA Processus L2 Ex 8 Soit ( n) n un bruit blanc de variance ˙2 Soit (X n) le processus suivant la r epr esentation X n = 1 2 X n 1 1 4 X n 2 + n: 1) Montrer qu’il existe X n stationnaire et que la repr esentation pr ec edente est cano-nique 2) Montrer que les termes d
Séries chronologiques (avec R - unicefr
temporelles: —Avant de charger le fichier dans R, taper l’adresse dans le navigateur pour le visualiser Charger un fichier de données numériques en sautant les k premières lignes (s’il y a du texteaudébut): data=scan(file=”donnee dat”,skip=k) Définirlerépertoirecourant:
Econométrie Appliquée Séries Temporelles
pour les processus DS il existe une propriété de persistance des chocs qui n’existe pas dans les processus TS Unetellehypothèse impliquepar exemplequesi lesséries macroéconomiquessatisfont une représentation de type DS, l’impact des chocs conjoncturels peut avoir un e ffet permanent sur
Maîtrise dÉconométrie Cours de Séries empTorelles
servées à la surface du soleil pour les années 1700 1980 Il y a une donnée par an, soit donc 281 points reliés par des segments C'est une des séries temporelles les plus célèbres On y distingue la superposition de deux phénomènes périodiques (une période d'à peu près 11 ans et une autre d'à peu près 60 ans, cette dernière étant
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Séries chronologiques (avecR)
(Cours et exercices)M1 IM, 2023-2024
Sylvain Rubenthaler, Athanasios Vasilieiadis
Table des matières
Préfaceiii
Chapitre 1. Introduction 1
1.1. Tendances et composantes saisonnières 2
1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle 2
1.3. Feuille d"exercices numéro 1 (durée : 3h) 4
1.4. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 1 5
Chapitre 2. Lissages exponentiels 15
2.1. Lissage exponentiel simple 15
2.2. Lissage exponentiel double 16
2.3. Méthode de Holt-Winters 18
2.4. Feuille d"exercices numéro 2 (durée : 3h) 20
Chapitre 3. Estimation et élimination de la tendance et de la saisonnalité 233.1. Bruit blanc 23
3.2. Processus stationnaire 23
3.3. Estimation paramétrique de la tendance 23
3.4. Estimation non paramétrique : moyenne mobile 26
3.5. Élimination de la tendance et de la saisonnalité par la méthode des différences 27
3.6. Test sur la série résiduelle 29
3.7. Exemple : un système proies-prédateurs 31
3.8. Feuille d"exercices numéro 3 (durée : 3h) 32
Chapitre 4. Modélisation des séries stationnaires et des séries non-stationnaires 354.1. Auto-corrélation partielle 35
4.2. Les processus linéaires généraux 35
4.3. Les processus auto-régressifs 36
4.4. Les processus moyennes mobiles 41
4.5. Les processus mixtes ARMA(p,q). 42
4.6. Tableau des propriétés 44
4.7. Les modèles des séries non-stationnaires 44
4.8. La méthodologie de Box-Jenkins 47
4.9. Feuille d"exercices numéro 4 (durée : 6h) 55
4.10. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 4 57
4.11. Feuille d"exercices numéro 5 (durée : 6h) 63
Chapitre 5. Analyse spectrale 73
5.1. Densité spectrale 73
5.2. Le périodogramme 76
5.3. Récupération des composantes périodiques 77
5.4. Feuille d"exercices numéro 6 (durée : 3h) 77
Chapitre 6. ProcessusARCHetGARCH83
6.1. ProcessusARCH83
6.2. ProcessusGARCH85
i6.3. Feuille d"exercices numéro 7 (durée : 3h) 86
6.4. Feuille d"exercices numéro 8 (révisions) 87
6.5. Corrigé de la feuille d"exercices numéro 8 88
Table de la loi normale 97
Bibliographie99
Liste des symboles101
Index103
iiPréface
Ce polycopié s"inspire fortement de [Jac, OPV]. Les TP se feront enR, les exemples de programmes seront aussi donnés enR. Les corrigés des exercices sur tables sont inclus dans ce polycopié. Pour les corrigés des exercices sur ordinateur : voir surhttps://www.math.unice.fr/ ~rubentha/cours.html. Prérequis : cours de L3 MASS d"introduction aux séries chronologiques et cours de L3 MASS de probabilités. Important : les fichiers sources sont disponibles sur :https://www.math.unice.fr/~rubentha/cours.html. J"encourage toute personne enseignant ce cours à utiliser ces fichiers et à ajouter son
nom à la liste d"auteurs de ce polycopié. iii ivChapitre 1
Introduction
Définition1.1.Une série temporelle (ou série chronologique) est une suite réelle finie(xt)1tn
(n2N). L"indicetreprésente une unité de temps (qui peut être le mois, l"année ...). Exemple1.2.La figure 1.0.1 représente le total mondial des passagers aériens par mois entre1949 et 1960. Noter que les points sont reliés par des traits (qui sont là pour faire joli et n"ont pas
de signification particulière). Les données (AirPassengers) sont disponibles dansR.Figure 1.0.1.AirPassengers
L"objectif de l"étude des séries temporelles est de faire des prédictions sur l"évolution de la
série. Voici une liste non-exhaustive des modèles mathématiques que l"on pourra utiliser : Régression. On supp oseque xtest polynomial ent, par exemplext=2t2+1t+0+t (avectun bruit aléatoire). On estime les coefficients parb2,b1,b0(à partir des valeurs x1;:::;xn). Ainsi, avec la donnée dex1;:::;xn, on fera la prédictionbxn+1=b2(n+1)2+
b1(n+ 1) +b0de la valeurxn+1. 12 1. INTRODUCTION
Lissages exp onentiels(v oirc hapitresuiv ant).
Mo dèlesARMA, qui cons istentà e nleverde la série les tendances et la saisonnalité (=p é-
riodicité). Ces modèles sont plus lourds numériquement, mais plus performants.Les défis à relever (dans l"ordre) :
Définir un mo dèlea vecun nom brefini de paramètres.Estimer les paramètres du mo dèle.
Vérifier la qualité de l"a justementdu mo dèle,comparer d ifférentsmo dèles(on p ourra
découper les données en un échantillon d"apprentissage et un échantillon de test).Effectuer des prédictions.
1.1. Tendances et composantes saisonnières
Définition1.3.On dit que la série admet une tendance si on peut écrirext=f(t)+tavec fune fonction fixée et(t)des bruits aléatoires. Si f(t) =t+, on dit que la tendance est linéaire. Plus généralement, sixt=Pp i=0iti, on dit que la tendance est polynomiale. Si f(t)est périodique, on dit que la tendance est périodiqe. Si f(t) =s(t) +t+avecsune fonction périodique on dit que la série a une tendancelinéaire et une composante périodique (/saisonnière). (On remarque que ces définitions ne
sont pas très cohérentes.)1.2. Indices descriptifs d"une série temporelle
1.2.1. Indice de tendance centrale.Moyenne empirique :x
n=1n P n t=1xt.1.2.2. Indices de dispersion.Variance empirique :bn(0) =1n
P n t=1(xtx n)2(sa racine carrée est l"écart-type empirique).1.2.3. Indices de dépendance.(qui renseignent sur la dépendance entre les donnéesxt)
Auto-covariance empirique d"ordreh(hdansN) :bn(h) =1nhP nh t=1(xtx n)(xt+hx n) (h < npour que la formule ait un sens).Fonction d"auto-covariance empirique :h7!bn(h).
Auto-corrélation empirique :bn(h) =bn(h)bn(0)(prend ses valeurs dans[1;1]). Fonction d"auto-corrélation empirique :h7!bn(h). Remarque1.4.Les quantités empiriques ci-dessus sont des estimateurs consistants de cer- taines grandeurs (c"est à dire qu"elles convergent vers certaines grandeurs quandn!+1). Les convergences sont basées sur des applications de la loi des grands nombres. En particulier, pourh proche den(disonsjnhj<50), la quantitébn(h)n"a pas beaucoup d"intérêt. La représentation graphique deux nuage de points(xt;xt+1)1tn1illustre la valeur debn(1)(voir figure 1.2.1). Plus le nuage est arrondi, plusbn(1)est proche de0. Plus le nuage est allongé,
plusbn(1)est proche de1. Cette remarque est aussi valable pour lesbn(h)avech2. Proposition1.5.Supposonsxt=a+bt+t, avec(t)t1une suite de variable aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) eta6= 0. Supposons queE(21)<1. Alors, pourhfixé dansN, bn(h)p.s.!n!+11: