Signe d’un produit et d’un quotient - Parfenoff org
Signe d’un produit et d’un quotient I) Signe du binôme (Rappel) 1) Propriété : Le signe du binôme ???? + est le même que celui de a sur [- ; +∞[ et il est l’opposé de celui de a sur ]-∞; -
Signe d’un produit, signe d’un quotient
Signe d’un produit, signe d’un quotient 1/ Avec le premier degré 2/ Avec le second degré 1/ Avec le premier degré Étudions le signe de ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) On va étudier séparément le signe de 2 x - 4 et le signe de - 3 x + 2 Étudions le signe de 2 x - 4 2 x - 4 x Jusqu’à x = 2, la droite est sous l’axe donc 2 x - 4 est
Signe d’un produit, signe d’un quotient
Signe d’un produit, signe d’un quotient Étudions le signe de ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) On va étudier séparément le signe de 2 x - 4 et le signe de - 3 x + 2 Étudions le signe de 2 x - 4 2 x - 4 x Jusqu’à x = 2, la droite est sous l’axe donc 2 x - 4 est négatif À partir de x = 2, la droite est au-dessus de l’axe donc 2 x - 4
mathsbdpfr signe d’un produit, d’un quotient de fonctions
Pour déterminer le signe du produit (ou du quotient) de deux fonctions, on construit un tableau de signes à 4 lignes La 1 e ligne indique les éléments de l'ensemble de définition et les valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions s'annulent, c'est-à-dire pour lesquelles leur produit s'annule
Signe d’un produit et d’un quotient
Signe d’un produit et d’un quotient I/ Signe de a x + b II/ Signe de a x 2 + b x + c III/ Signe d’un produit ou d’un quotient I/ Signe de a x + b La fonction f: x a x + b est une fonction affine, c’est-à-dire une fonction représentée par une droite Il y a deux cas : Si a > 0, cette droite monte Si a < 0, cette droite descend
Etude du signe d’une expression
Etude du signe d’un produit ou d’un quotient Comme la règle des signes est la même pour les produits et les divisions, pour connaitre le signe de l’expression, il nous suffit de onnaitre le signe de haun des fateurs puis de faire la synthèse Méthode : signe de −???? 2+5????+6 7????−4
LES FONCTIONS AFFINES I Caractérisation dune fonction affine
2) Signe d'un quotient : Exemple : Résoudre l'inéquation 4 – 2x 7x + 3 0 Il faut étudier le signe de chacun du numérateur et du dénominateur 4 – 2x = 0 –2x = – 4 x = 4 2 = 2 7x + 3 = 0 7x = – 3 x = – 3 7 ATTENTION – 3 7 est une valeur interdite ( un dénominateur ne peut pas être nul )
Études de signes et inéquations, cours de seconde
2 2 Exemple d’étude de signe d’un quotient On considère le quotient 3−2x x+1 • On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x+1 6= 0 c’est à dire
Signe d’une fonction Inéquations
Signe d’une fonction Inéquations Les savoir-faire 130 Déterminer graphiquement le tableau de signes d’une fonction 131 Déterminer le tableau de signes d’une fonction affine 122 Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient 123 Résoudre une inéquation produit ou quotient I Signe d’une fonction 1 Définition
ETUDE DU SIGNE D’UN POLYNOME OU D’UNE FONCTION RATIONNELLE
a x² + b x + c signe de a 0 signe de - a 0 signe de a Remarque : après le dernier 0 on le signe de a comme dans le 1° x) = a x² + b x + c s’annule pour une seule valeur x = - b 2 a et il a toujours le signe de a x - ∞ - b 2 a + ∞ a x² + b x + c 0 signe de a 3°) Polynôme produit On fait un tableau de signes
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1/ Avec le premier degré
2/ Avec le second degré
1/ Avec le premier degré
Étudions le signe de ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 )
On va étudier séparément le signe de 2 x - 4 et le signe de - 3 x + 2.Étudions le signe de 2 x - 4
2 x - 4
x x x - 4 est négatif. À partir de x = 2, la droite est au-x - 4 est positif.Pour x x - 4 = 0.
Le tableau de signes est donc
x 2 signifie que 2 x - 4 est positif si x > 22 x - 4 - 0 +
signifie que 2 x - 4 est nul si x = 2 signifie que 2 x - 4 est négatif si x < 22 » qui apparaît dans le tableau est la valeur de x
telle que 2 x - 4 = 0. x - 4 = 0.On trouve x = 2.
Étudions le signe de - 3 x + 2
- 3 x + 2 xDe la même façon, on trouve
x - 2 3 - 3 x + 2 + 0 -Étudions le signe de ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 )
On regroupe les deux tableaux de signes précédents x 2 3 22 x - 4 - - 0 +
- 3 x + 2 + 0 - - ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) - 0 + 0 - et la dernière ligne donne le signe de ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ).Résolvons ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) < 0
Il suffit de lire sur la dernière ligne du tableau les valeurs de x pour lesquelles ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) est négatif.On trouve S = ]
2 3 ; 2 [.Le même tableau permet de résoudre
( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) > 0 S = ] - ; 2 3 [ ] 2 ; + [ ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) 0 S = [ 2 3 ; 2 ] ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) 0 S = ] - ; 2 3 ] [ 2 ; + [ ( 2 x - 4 ) ( - 3 x + 2 ) = 0 S = { 2 3 ; 2 }Résolvons - 3 ( x - 8 ) ( 6 - 3 x ) > 0
x 2 8 - 3 - - - parce que - 3 est négatif x - 8 - - 0 +6 - 3 x + 0 - -
P + 0 - 0 +
- 3 ( x - 8 ) ( 6 - 3 x ) > 0, on veut donc que le produit soit positif. Cela se lit sur la dernière ligne du tableau.S = ] - ; 2 [ ] 8 ; + [
Résoudre
2 5432xxx()() 0
2 x = 0 x = 0
5 x - 4 = 0 5 x = 4
x = 4 5 ( x - 3 ) 2 est positif pour tout x et nul pour x = 3. x 0 4 5 32 x - 0 + + +
5 x - 4 - - 0 + +
( x - 3) 2 + + + 0 +Q + 0 - + +
La dernière ligne du tableau précédent donnait trois types de résultats: positif, négatif ou nul.
Maintenant, il y a une autre possibilité: la division par 0 qui ne donne pas de résultat et qui est
indiquée par une double barre. Cela se produit si 5 x - 4 est nul ou si ( x - 3) 2 est nul.S = [ 0 ;
4 5Attention
un tableau ne permet pas de résoudre - 3 ( x - 8 ) ( 6 - 3 x ) > 1 , un tableau ne permet pas de résoudre 2 5432xxx()() 0.
Exercices
Résoudre ( 2 x - 7 ) ( - 5 x + 1 ) ( 8 + 2 x ) < 0On trouve S = ] - 4 ;
1 5 7 2Résoudre x ( x + 4 ) ( 5 - x ) 0
On trouve S = ] - ; - 4 ] [ 0 ; 5 ]
Remarque: le signe de x est donné par x 0
x - 0 +Résoudre 7
2354
x x 0.
On trouve S = ] - ;
4 5 3 2Remarque: le signe de 7 est donné par x
7 +
Résoudre
232x x 0