Chapitre 6 Courbes param´etr´ees - Université Grenoble Alpes
6 2 3 Points singuliers Propri´et´e : Si ’ f#(a) g#(a) (’= ’ 0 0 (, alors la tangente `a la courbe au point de param`etre a est la droite qui passe par le point de coordonn´ees (f(a),g(a)) et dirig´ee par le vecteur de coordonn´ees ’ f#(a) g#(a) ( En particulier : – Si g#(a)=0et f#(a) ’=0 , alors il y a une tangente
Cours 1: Courbes Planes Param etr ees 1
Cours 1: Courbes Planes Param etr ees 6 {Une courbe param etr ee est la donn ee du rep ere et d’une application a F : I ˆR R2 continue, ou F(t) = (x(t);y(t)), qui m enent a un ensemble de points M(t) quand t d’ ecrit l’intervale
TD 1 - Courbes param etr ees en coordonn ees cart esiennes
Exercice 6 La tractrice Etudier la courbe param etr ee d e nie par ˆ x(t) = t tanht; y(t) = 1 cosht: Remarque : cette courbe pr esente des points singuliers (x0(t) = 0 et y0(t) = 0)
TD Courbes param´etr´ees Courbes param´etr´ees planes
1 D´eterminer les points singuliers de C 2 Montrer que C est sym´etrique par rapport a la premi`ere bissectrice 3 D´eterminer les points de C a tangente horizontale et a tangente verticale 4 En coupant C par les droites d’´equations y = tx, t ∈ R, trouver une repr´esentation param´etrique de C 5
Exo7 - Cours de mathématiques
Points singuliers Branches infinies Vidéo — partie 4 Plan d'étude d'une courbe paramétrée Vidéo — partie 5 Courbes en polaires : théorie Vidéo — partie 6 Courbes en polaires : exemples Fiche d'exercices ⁄ Courbes planes Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par
Chapitre 11 : utilisation graphique de Application a l’ etude
5 Compl ement sur les points singuliers des courbes param etr ees : 9 5 1 Pourquoi, en un point non singulier, la tangente est-elle dirig ee par v(t 0)? 9 6 Excursion au pays des d eveloppements limit es : maths 9 7 Retour a l’ etude des points singuliers 9
courbes parametrees - Université Paris-Saclay
natures des points singuliers et des branches infinies, il ne reste plus qu’a` ´etudier les variations des fonctions x(t) et y(t) En effet, cela permet de placer les points remarquables, `a savoir les points singuliers et les points ou` la tangente est parall`ele a l’un des axes de coordonn´ees Entre deux
Cours de Mathematiques 2´ premiere partie :` Analyse 2
equations diff´ ´erentielles, et les d ´eveloppements limit es pour l’analyse des points´ singuliers des courbes param´etr ees Notons aussi que nous faisons le lien avec´ l’alg`ebre lin ´eaire (notion de sous-espace vectoriel, application lin eaire, noyau) lors de´
[PDF] courbe paramétrée tracer
[PDF] courbe paramétrée symétrie
[PDF] courbes paramétrées exercices corrigés prépa
[PDF] courbe paramétrée exo7
[PDF] comment dessiner une branche parabolique
[PDF] résumé branches infinies
[PDF] branches infinies developpement limité
[PDF] branche parabolique de direction asymptotique
[PDF] methode branches infinies
[PDF] etudes des fonctions branches infinies
[PDF] mode d'emploi lave linge brandt
[PDF] comment utiliser machine a laver brandt
[PDF] bras de levier définition
[PDF] levier inter appui
Universit´e de Reims Champagne Ardenne
UFR Sciences Exactes et NaturellesAnn´ee universitaire 2011-2012EM 801 - M1 Capes
TD Courbes param´etr´ees
Courbes param´etr´ees planes
Exercice 1
Etudier et tracer les courbes param´etr´ees suivantes : (1) ?x(t) =t2+2t y(t) =t2+1t2(2)?x(t) =11-t2
y(t) =t31-t2(3)?x(t) = 2t+t2 y(t) = 2t-1t 2Exercice 2 Folium de Descartes
SoitCl"arc d"´equation implicite :x3+y3-xy= 0.
1. D´eterminer les points singuliers deC.
2. Montrer queCest sym´etrique par rapport `a la premi`ere bissectrice.
3. D´eterminer les points deC`a tangente horizontale et `a tangente verticale.
4. En coupantCpar les droites d"´equationsy=tx,t?R, trouver une repr´esentation param´etrique
deC.5. Retrouver queCest sym´etrique par rapport `a la premi`ere bissectrice en comparant les points
M(t) etM(1/t).
6. Etudier et construireC.
Exercice 3 L"astro¨ıde
A tout arc r´egulier du plant?I→M(x(t),y(t)), on peut associer la famille de ses tangentes qui
forme une famille de droitesDt:y?(t)(x-x(t))-x?(t)(y-y(t)) = 0.R´eciproquement, ´etant donn´e une famille de droites (Dt)t?I, s"il existe un arc param´etr´et?I→
M(x(t),y(t)) dont la tangente en tout pointM(x(t),y(t)) estDt, alors on dit que l"arc est une enveloppe de la famille de droites (Dt)t?I.1. On consid`ere un segment [P,Q] de longueura >0 dont les extr´emit´esP,Qsont assujetties
`a d´ecrire respectivement les droitesOxetOy. Montrer que l"enveloppe des droites (PQ) est l"astro¨ıde (x(t),y(t)) = (acos3(t),asin3(t)).2. Etudier et tracer le support de l"arc param´etr´e associ´e `a l"astro¨ıde.
3. Calculer la longueur de l"astro¨ıde.
Exercice 4 La cyclo¨ıde
On consid`ere la trajectoire d"un pointMd"un cercle de rayonRroulant sans glisser sur une droite qu"on prendra comme axeOx.On supposera queMest initialement `a l"origineOet on noteratune mesure de l"angle (--→CM,-→CT)
o`uCd´esigne le centre du cercle etTle point en lequel celui-ci est tangent `aOx.1. D´eterminer les ´equations de la trajectoire deMen fonction du param`etret.
2. Etudier et repr´esenter le support de l"arc param´etr´e ainsi obtenu.
3. Calculer la longueur d"une arche de la cyclo¨ıde.
4. D´eterminer le rep`ere de Serret-Frenet et la courbure.
Exercice 5
On consid`ere la chaˆınette d"´equationy=ach(xa ) o`ua >0.1. Etudier et repr´esenter le support de l"arc param´etr´e associ´e.
2. D´eterminer le rep`ere de Serret-Frenet et la courbure.
Courbes en coordonn´ees polaires
Exercice 6
Etudier et tracer les courbes polaires suivantes : r1(θ) = cos(3θ)r2(θ) = ln(1-sin(θ))r3(θ) = sin?2θ3
r4(θ) = 1 + tan?θ2
Exercice 7 Cardio¨ıde
1. Etudier et repr´esenter l"arc d"´equation polairer(θ) =a(1-cos(θ)) aveca >0.
2. Calculer la longueur de la cardio¨ıde.
3. D´eterminer le rep`ere de Serret-Frenet, la mesureαde l"angle (-→e1,-→T) et la courburecde la
cardio¨ıde.Exercice 8 Lemniscate de Bernoulli
On consid`ere dans le plan deux pointsF,F?situ´es `a une distance 2a >0 (qu"on choisira sur l"axe des abscisses, de coordonn´ees (-a,0),(a,0)).1. Donner une ´equation cart´esienne de l"ensemble des pointsMtels queMF×MF?=a2.
2. Donner une ´equation polaire de l"ensemble des pointsMtels queMF×MF?=a2.
3. Etudier et repr´esenter l"arc d"´equation polaire ainsi obtenu.
4. Etablir que la longueur de la lemniscate est donn´ee par l"int´egrale suivante :
⎷2a? π20dθ?cos(θ).
5. D´eterminer le rep`ere de Serret-Frenet et la courbure.
Exercice 9 Stropho¨ıde droite
SoitDla droite d"´equationx=-1 etCle cercle de centreI(1,0) et de rayon 1. Une droite Δ passant
par l"origine coupeDenPetCenQ. Donner une repr´esentation polaire de l"ensemble Γ d´ecrit par
le pointMmilieu dePetQet le tracer.