Méthodes
Image et antécédents Soit f une fonction défi nie sur une partie D de ˜˚: Image Antécédents x˚=˚2, donc 1 a pour antécé-dents 0 et 2 par la fonction f
Exercice 1 : Soit une fonction définie sur un ensemble Det Cf
Solutions : Exercice 1 : Egalité Image Courbe Equation Antécédent f(2) = 3 2 a pour image 3 par f A(2 ; 3) 2C f 2 est une solu- tion de f(x) = 3 2 est un antécé-dent de 3 par f f(1) = 0 1 a pour image
AP SOUTIEN : « Déterminer l’image d’un nombre par une fonction
sont A et B L'abscisse de A est -1 et l'abscisse de B est 3 b) Les antécédents de - 2 par fsont donc les deux abs- cisses relevées en a) a) On règle la fenêtre graphique : b) L'affirmation de Corentin estfausse En effet, on peut calculer l'image de 0,8 par g : 0,8+1 = 2,25 Donc 0,8 est la solution de l'équation g(x) — — 2,25 mais
National Weather Service
GOES IR Satellite Image North Atlantic evnt99 jpg ICE CHARTS Ice Analysis NW Atlantic (When Available) PIEA88 TIF SEA SURFACE TEMPERATURE SST Analysis North Atlantic (UK MET) PTUK21 TIF SCHEDULE INFORMATION Radiofax Schedule Boston MA (Part 1) PLAZ01 TIF Radiofax Schedule Boston MA (Part 2) PLAZ02 TIF
antécédent flxt-ir-si-1-r-l-rt-1fkkirII-s-flxt--xi-tfloEq74loi4l
a Déterminer la valeur approchée de l’image de 2 par la fonction f b Déterminer la valeur approchée de l’image de 4 par la fonction g c Déterminer le(s) valeur (s) approchée(s) des antécé-dent(s) du nombre 2 par la fonction f d Déterminer le(s) valeur (s) approchée(s) des antécé-dent(s) du nombre 2,5 par la fonction g
Satellite Image of the Atlantic Ocean
V i s u a l 11 A Satellite Image of the Atlantic Ocean © Teachers’ Curriculum Institute Geography Alive Regions and People 53
BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence On appelle fonction numérique f, un opérateur qui a un nombre x appelé antécédent fait correspondre un nombre f(x) appelé image de x par f
Ensembles, applications et relations
Si y 2F, et x 2E sont tels que f(x) = y, on dit que y est l' image de x par f et x un antédentéc de y par f o x n'a qu'une seule image, mais y peut avoir plusieurs, ou aucun, antécédents Identité : On appelle fonction identité de E, notée id E, l'application id E: E E;x 7x Composée : Soient f : E F et g : F H deux fonctions
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BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
On appelle fonction numériquef,
un opérateur qui a un nombrexappelé antécédent fait correspondre un nombref(x) appelé image dexparf.
Le domaine de définition
de la fonctionf,est l"ensemble de toute les valeursxpour les quellesfpeut être appliquée, dans ce casf(x) existe.
1.Fonctions Linéaires/Affines
(a)Définition: fla fonction définie surRparf(x) =axoùaest un réel donné est la fonction linéaire , de coefficient de linéaritéa. Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction linéaire est représentée par une droite passant par l"origine. Réciproquement: Toute droite passant par l"origine, représente une fonction linéaire. (b)Définition: fla fonction définie surRparf(x) =ax+boùaetbsont des réels donnés est la fonction affine , de coefficient de linéaritéa, d"ordonnée à l"origineb. Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction affine est représentée par une droite. Réciproquement: Toute droite, représente une fonction affine.(c)Représentation graphique: Représenter ci-dessous les fonctionshetkdéfinies surRparh(x) =-x+3
etk(x) =1 3x. 123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4
Résoudre graphiquementh(x) = 2,
Vérifier algébriquement
Résoudre graphiquementk(x) =-2
3,Vérifier algébriquement
page : 1/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence(d)Lecture graphique: Donner la nature et l"expression des deux fonctions représentées ci-dessous,
12 -1 -2 -31-1-2 Df fest ................ f(x) =...............Quelle est l"image de
-1 parf? ..........Quelle est l"antécé-
dent de-1 parf? ..Quelle est l"équation
de la droite qui repré- sentef? ............Le pointA(-1;-2)
appartient-il à cette droite? Justifier ..... 12 -1 -2 -31-1-2Dg gest ................ g(x) =...............Quelle est l"image de
1 parg? ............
Quelle est l"antécé-
dent de 1 parg? ....Quelle est l"équation
de la droite qui repré- senteg? ............Le pointB(-1;0,5)
appartient-il à cette droite? Justifier .....2.Fonctions Second Degré
(a)Définitions:a,betcsont donnés,xest la variableOn appelle trinôme du second degré
une expression de la formeax2+bx+c.On appelle fonction du second degré
une fonction définie surRde la formef(x) =ax2+bx+c.(b)Propriété: Dans le plan muni d"un repère, Toute fonction second degré estreprésentée par une parabole
Réciproquement: Toute parabole, représente une fonction second degré. (c) À propos du second degréf(x) =ax2+bx+c: •Deuxtypes de paraboles: "les bras vers le haut" poura >0, et "les bras vers le bas" poura <0. •Lesommetd"une parabole est toujours atteint pourx=-b 2a. •L"axe de symétried"une parabole est la droite d"équationx=-b 2a. •Lediscriminantest donné par Δ =b2-4ac, l"équationax2+bx+c= 0 admet : . Aucune solution réelles lorsque Δ<0, dans ce cas la parabole et l"axe des abscisses n"ont pas de point d"intersection. . Une unique solution lorsque Δ = 0, cette solution est x=-b 2a. . Deux solutions lorsque Δ>0, ces solutions sont x1=-b-⎷
2aetx2=-b+⎷
2a 123-1 -2 -3 -41 2 3 4-1-2-3-4 axe de symétrie a >0,Δ>0 a <0,Δ = 0 a >0,Δ<0
×S×
S 1× S 2 page : 2/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence (d)Prendre un bon départ:Pour représenter une parabole il faut connaître son type, son sommet, son axe de symétrie, placer
plusieurs points.Déterminer les points d"intersection, s"ils existent, avec l"axe des abscisses peut être intéressant.
Exemple: Soitf, définie surRparf(x) =x2+ 4x+ 3. fest une fonction du second degré, du typef(x) =ax2+bx+coù a= 1>0 donc est représentée graphiquement par une parabole du type "les bras vers le haut". D"autre partb= 4, alors le sommet est atteint pourx=-4 2=-2 et vautf(-2) = (-2)2+ 4×(-2) + 3 =-1.Enfin Δ = 4
2-4×1×3 = 4>0, l"équationx2+ 4x+ 3 = 0 admet
donc deux solutions x1=-4-2
2=-3 etx2=-4 + 22=-1,
la parabole et l"axe des abscisses ont donc deux points d"intersection enx1=-3 et enx2=-1. 12345-1-1-2-3-4 a= 1>0,Δ = 4>0 S x 1× x 2 (e)À vous de faire: Exercices.
3.Fonction Inverse
(a)Définition:fla fonction définie surR?parf(x) =1 xest la fonction inverse.(b)Propriété: Dans le plan muni d"un repère, la fonction inverse est représentée par une hyperbole
(c) À propos de l"hyperboleHd"équationy=1 x: •La fonctionfinverse est une fonction impaire.En effet pour toutx?R?,f(-x) =1
-x=-1x=-f(x). L"hyperboleHadmet donc l"origine (0;0) pour centre de symétrie. •La fonctionfinverse n"est pas définie en 0. De plus lorsquexse rapproche de 0, valeurs positives, le quotientf(x) =1 xse rapproche de +∞, On dit quef(x) tend vers +∞lorsquextend vers 0+, on notelimx?→0+f(x) = +∞. On peut obtenir des valeurs aussi grandes que voulu, dès lors quexest suffisamment proche de 0. Mais aussi, lorsquexse rapproche de 0, valeurs négatives, le quotientf(x) =1 xse rapproche de On dit quef(x) tend vers-∞lorsquextend vers 0-, on notelimx?→0-f(x) =-∞. L"hyperboleHadmet l"axe des ordonnées pour asymptote verticale page : 3/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence •Lorsquexse rapproche de +∞, le quotientf(x) =1xse rapproche de 0, On dit quef(x) tend vers 0 lorsquextend vers +∞, on notelimx?→+∞f(x) = 0. On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors quexest suffisamment grand. Lorsquexse rapproche de-∞, le quotientf(x) =1 xse rapproche de 0, On dit quef(x) tend vers 0 lorsquextend vers-∞, on notelimx?→-∞f(x) = 0. On peut obtenir des valeurs aussi petites que voulu, dès lors quexest suffisamment petit. L"hyperboleHadmet en +∞et en-∞l"axe des abscisses pour asymptote horizontale 123-1 -2 -31 2-1-2H ×O 123
-1 -2 -31 2 3 4 5 6-1-2 (d)À vous de faire: Soitgdéfinie surR-2 parg(x) =1x-2+ 1, représentée par l"hyperboleCg. •Préciser le centre de symétrie, les asymptotes deCg. •Placer ce centre et ces asymptotes. •ReprésenterCg. page : 4/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
4.Fonction Racine Carrée:
(a)Définition: fdéfinie surR+parf(x) =⎷ xest la fonction racine carrée.Pour toutx?R+,⎷
xest le nombre positif dont le carré vautx. (b)Représentation graphique, et position relative de courbes:Dans le repère ci-dessous, représenter
h(x) =xpar la courbedh,k(x) =x2par la courbeP,f(x) =⎷ xpar la courbeCfetg(x) =1xpar la courbeH. 1234-1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2 Décrire les positions relatives des courbesdh,PetCfsur [0;+∞[ : page : 5/ 6 BTS-CPI1, A- Fonction Cours1 A1- Fonctions de Référence
5.Fonctions Sinus et Cosinus:
(a) On rappelle les représentations graphiques des fonctionsf(x) = sin(x) etg(x) = cos(x) définies surR:
1 -1 -2π