Physique des ondes
Equation de propagation d’onde dans la corde vibrante de Melde Description et mod elisation de la situation Figure {Dispositif exp erimental de la corde de Melde La corde est suppos ee inextensible, de longueur L, de masse lin e que Elle est tendue a l’aide d’une masse M accroch ee a la corde via une poulie (parfaite) et excit ee
asin t x Définition T - CACSUP
La corde de MELDE est une corde AB donc les extrémités B et A sont respectivement fixes et actionnées par un vibreur de fréquence déterminée Dans ce cas la longueur de la corde est L = 2 n avec n le nombre de fuseaux ; comme é F N 1 è F et c N c O; donc é F 2 N n L Lorsque l'extrémité B est libre ou mobile
Ondes mécaniques stationnaires - AlloSchool
Le dispositif de la corde de Melde consiste à faire vibrer une extrémité de la corde, tandis que l'autre est xée On s'aperçoit expérimentalement que les vibrations sont importantes uniquement si la fréquence d'excitation est une fréquence propre de la corde Il y a alors résonance
CONCOURS D’ADMISSION 2014 PC
L’équation décrivant les petits mouvements vibratoires d’une corde très souple (corde de Melde) s’écrit : ∂2Y ∂t2 −c2 ∂2Y ∂x2 =0 (2) 1 Rappeler les hypothèses, portant sur les propriétés de la corde et les conditions expérimentales, associées à cette équation Définir c Représenter le dispositif expérimental
Equation d’onde de d’Alembert (unidimensionnelle)
Equation d’onde de d’Alembert (unidimensionnelle) I – Chaîne infinie d’oscillateurs et approximation des milieux continus : II – Vibrations transversales d’une corde : équation d’onde de d’Alembert : III – Familles de solutions de l’ équation d’onde de d’Alembert : 1 - Ondes progressives :
Mise à jour pour la session 2007 - SNES
Équation de propagation Corde de Melde : ondes stationnaires, résonance (PC) 24 Ondes sonores dans les fluides Équation des ondes sonores dans l'approximation
Physique des ondes
R´eversibilit ´e de l’´equation des ondes L’´equation des ondes s’´ecrit ∂2s ∂x 2 − 1 c ∂2s ∂t2 = 0 Sans entrer dans les d´etails : s est aussi une solution de l’´equation si on prend −t `a la place de t Vid´eo : renversement temporel en bassin La r´eversibilit ´e des ´equations de la physique est un probl`eme
Poynting(1852-1914) Maxwell (1831-1879) Laplace(1749-1827) 19
Les ondes stationnaires forment une base des solutions de l’ equation de d’Alembert, i e toute solution de l’ equation de d’Alembert peut s’ ecrire comme une combinaison lin eaire d’OS b) Description de l’onde stationnaire : Consid erons l’onde stationnaire s(x;t) = A 0 cos(t+ ˚)cos(kx+ ) avec k= c
Exercices corrigés de Physique Terminale S
La célérité des ondesle long d’une corde élastique dé-pend de sa tension F (en newtons N) et de sa masse linéique µ (masse par unité de longueur, en kg m−1) : v = s F µ a Calculez la célérité v pour une corde de longueur ℓ = 10 m dont la masse est de 1,0 kg, tendue par une force de 2,5 N b Comment varie cette célérite si :
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Physique des ondes.
P. Ribiere
College Stanislas
Annee Scolaire 2016/2017
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 1 / 57 1 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.2L'equation d'onde de d'Alembert.3Ondes dans la corde vibrante.
4Onde dans une ligne bilaire.
5Exemple d'une onde sonore dans un solide.
6Conclusion.
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 2 / 57Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.
Plan1Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.
Equation de propagation de l'onde.
2L'equation d'onde de d'Alembert.
3Ondes dans la corde vibrante.
4Onde dans une ligne bilaire.
5Exemple d'une onde sonore dans un solide.
6Conclusion.
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 3 / 57Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.
Figure{Disp ositifexp erimentalde la co rdede Melde. La corde est supposee inextensible, de longueur L, de masse lineque. Elle est tendue a l'aide d'une masseMaccrochee a la corde via une poulie (parfaite) et excitee par un vibreur a son autre extremite.y(x;t) est le deplacement transversale d'un morceau de la corde de Melde situe en x a l'instant t.P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 4 / 57
Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.
Figure{Disp ositifexp erimentalde la co rdede Melde.Pour cette etude, trois hypotheses sont necessaires :1Le deplacement de la corde suivant l'axe des x est neglige,
tant et si bien que un point de la corde situe en (x;0) a l'equilibre se retrouve en (x;y(x;t))lors de la vibration de la corde.2Le deplacement de la corde est supposee de "faible" amplitude de maniere a ce que l'angle
(x;t) de la corde avec l'horizontal reste faible et donc on se limite a ordre 1 dans les DL en cet inniment petit.3Le poids est neglige devant les forces de tension. Le l est suppose parfaitement horizontal a l'equilibre. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 5 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Plan1Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Description et modelisation de la situation.
Equation de propagation de l'onde.
2L'equation d'onde de d'Alembert.
3Ondes dans la corde vibrante.
4Onde dans une ligne bilaire.
5Exemple d'une onde sonore dans un solide.
6Conclusion.
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 6 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Figure{El ementde longueur dxde la corde etudiee . Le principe fondamental de la dynamique applique a un element innitesimaldxde la corde dans le referentiel terrestre suppose galileen donne :dx@2y@t2~uy=~Tg(x;t) +~Td(x+dx;t)P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 7 / 57
Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde. Le principe fondamental de la dynamique applique a un element innitesimaldxde la corde dans le referentiel terrestre suppose galileen donne : dx@2y@t2~uy=~Tg(x;t) +~Td(x+dx;t)En projetant sur les axes, on trouve :
sur ~ux0 =T(x)cos((x)) +T(x+dx)cos((x+dx)) sur ~uydx@2y@t2=T(x)sin((x)) +T(x+dx)sin((x+dx))En se limitant a des inniment petits d'ordre 1 :
0' T(x) +T(x+dx) d'ouT(x) =cste=T0=Mg
dx@2y@t2' T0(x) +T0(x+dx)'DL1T0@@xdxLa longueurdxchoisie arbitrairement se simplie.
Puis, en utilisant,'tan()'@y@x, il vient nalementEquation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert.
2y@x21c
2@2y@t2= 0 avecc=sT
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 8 / 57 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.Equation de propagation de l'onde.La celerite de l'onde dans la corde est donc :
c=sT La vitesse varie avec la raideur du milieu (ici la tension du lT0) La varie varie avec l'inverse de l'inertie du milieu (ici la masse lineque). Ceci se generalise pour toutes les ondes mecaniques. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 9 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Plan1 Equation de propagation d'onde dans la corde vibrante de Melde.2L'equation d'onde de d'Alembert. Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique.Solutions sous forme d'onde plane stationnaire.
Lien entre les diverses solutions.
3Ondes dans la corde vibrante.
4Onde dans une ligne bilaire.
5Exemple d'une onde sonore dans un solide.
6Conclusion.
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 10 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Cherchons les solutions possiblesa(x;t) a l'equation de propagation unidimensionnelle de d'Alembert.2a@x21c
2@2a@t2= 0
Pour cette resolution, il est judicieux d'introduire de nouvelles variables : (x;t)!(u;v) avec u=txc etv=t+xc Par ce changement de variable, l'equation de d'Alembert devient :4:@2a@u@v= 0
La forme des solutions est alors
a(x;t) =f(u) +g(v) =f(txc ) +g(t+xcMontrer que
P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 11 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Interpretation de ces solutions :Onde Plane Progressive. a(x;t) =f(txc ) correspond a une propagation dans le sens des x positifs, sans attenuation ni deformation. Cette solution est appele Onde Plane Progressive selon + ~ux, notee OPP+.Demonstration : a(x;t) =f(txc ) =f((txc ))0c =a(x0= 0;t0=txc L'onde qui se trouve enxa l'instant t est l'onde qui se trouvait enx0= 0 a l'instantt0=txc L'onde s'est donc propagee dans le sens des x positifs, sans attenuation ni deformation. a(x;t) =f(txc ) correspond a une propagation dans le sens des x decroissant, sans attenuation ni deformation.Cette solution est appele Onde Plane Progressive selon~ux, notee OPP.P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 12 / 57
L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique.Onde Plane Progressive Harmonique.
Comme l'equation est lineaire, il est possible de recourir a l'idee de Fourier et de n'etudier qu'une
composante "generique" de Fourier et donc de se ramener a : a(x;t) =a0cos(!:(txc )) =a0cos(!:tk:x) Cette solution est appele Onde Plane Progressive Harmonique selon ~ux, notee OPPH+Le vecteur d'onde ~k=k:~uxest donc de module :Relation de dispersion. k=!c ce qui donne =c:T=cf P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 13 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Etude de la phase de l'onde plane progressive harmonique. '(t) =!:tk:xSurface d'onde. Le lieu des points ou la phase de l'onde est constante a un instanttxee, est appelee surface d'onde. Le vecteur d'onde est perpendiculaire a la surface d'onde en tout point.Pour l'Onde Plane Progressive Harmonique, la surface d'onde est un planx=cste.Vitesse de phasev'.La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase de l'onde.
'(t) =!:tk:x=!(txv v '=!k Pour l'Onde Plane Progressive Harmonique, la vitesse de phasev'=!k =c. Cette vitesse de phase est la m^eme pour toutes les composantes de Fourier du signal, donc le signal se propage sans deformation : le milieu est non dispersif. P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 14 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. Onde Plane Progressive Harmonique et notation complexe.L'equation est lineaire et compte tenu de la forme du signal, il est possible et judicieux de recourir
a la notation complexe. a(x;t) =a0exp(j!:tk:x+')a(x;t) =a0 exp(j!:tk:x) aveca0 =a0exp(j') Pour revenir de la forme complexe a la forme reelle, il sut de prendre la valeur reelle : a(x;t) =<(a(x;t)) @a@tj!a(x;t) @a@xjka(x;t)P. Ribiere (College Stanislas)Physique des ondes.Annee Scolaire 2016/2017 15 / 57 L'equation d'onde de d'Alembert.Solutions sous forme d'onde plane progressive harmonique. @a@tj!a(x;t) @a@xjka(x;t) Utilisons donc cette forme complexe pour retrouver la relation de dispersion.Pour cela, injectons la forme complexe dans l'equation de d'Alembert :Relation de dispersion de d'Alembert.
k 2=!2c