Fonctions Numériques - CRIFPE
A- / Ensemble de définition d’une fonction : 1- / Définition : Soit f : A → B une fonction On appelle ensemble de définition Df de f, l’ensemble des éléments x de A qui ont une image dans B par f 2- / Exemples : Déterminer l’ensemble de définition Df de chacune des fonctions définies par a) f (x) = 3x 2 + 4x – 9 ; b) 7 6 1
Généralités sur les fonctions numériques
Une fonction impaire a sa représentation graphique symétrique par rapport au centre du repère 1 2 Fonctions de référence 1 2 1 Fonctions affines Définition-Propriété : Soit a et b deux réels La fonction x ax+b, définie sur ℝ est appelé une fonction affine La représentation graphique d'une telle fonction est une droite d d
FONCTION NUMERIQUE D UNE VARIABLE REELLE F 1A
www mathsenligne com ICHE FONCTION NUMERIQUE D’UNE VARIABLE REELLE F 1A E XERCICE 1 On considère l’algorithme d’une fonction f: Choisir un nombre x Le multiplier par 3 Enlever 5 au résultat obtenu Ecrire le résultat f(x) EXERCICE 2 On considère l’algorithme d’une fonction g: Choisir un nombre x Lui ajouter 1
FONCTIONS - Généralités
1-3) Domaine de définitions : Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image par cette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f que l’on notera D f 2) Fonctions paires et Fonctions impaires 2 1 Fonction paire :On dit qu’une fonction f est paire si et
La dérivabilité dune fonction numerique
1 Fonction dérivée Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I Si la fonction f admet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que la fonction f est dérivable sur I La fonction, notée f′, définie sur I qui a tout x associe son nombre dérivé est appelée fonction dérivée de f
Chapitre IV : Technologie des circuits intégrés numérique
Les deux graphes précédents sont rassemblés en un seul pour traduire la fonction logique entre ces tensions : c’est le gabarit de transfert (Figure 32) Une porte satisfait le gabarit si sa courbe de transfert se trouve dans la partie non grisée La tension de basculement, notée V T
Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S
• 10 - Intégration – Si fest une fonction continue, positive et croissante sur [a;b] alors la fonction F: x→ Zx a fest une primitive de f • 11 - Produit scalaire – Théorème du toit : soient deux plans sécants contenant deux droites parallèles; alors la droite d’intersection des deux plans est parallèle aux deux droites
Logique numérique 6
Trouvez la fonction de chaque forme pour compléter le dernier carré Dans les deux questions suivantes chaque case a la même valeur que la somme des deux cases juste au-dessous Que vaut la case avec le point d’interrogation ? 7 3 211 59 113 15 7 12 428 16 24 40 32 36 20 11 ?23 14 20 32 26 29 17 8 10 2 3 5 3961815 19 7 8 20 9 5 4? 7391
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UnproblèmehistoriqueLa notion de fonction dérivée ne s"est pas construite en un jour. Un petit problèmehistorique va nous permettre de comprendre les difficultés qu"ont rencontrées lesmathématiciens pour définir la fonction dérivée.Tout commence avec Newton (1643-1727) avec la détermination de la vitesse ins-tantané pour un objet en chute libre.Exemple :Soit une pierre que l"on lâche àt=0 s. Quelle est sa vitesse instan-tanée au bout d"une seconde?Newton savait depuis Galilée que si l"on néglige la force de frottement de l"air surune pierre (matière compacte), sa vitesse ne dépend pas de sa masse. Galilée a pudéterminerl"équationhoraire(positiondel"objetenfonctiondutemps)d"unobjeten chute libre. Cette équation est de la forme, en prenantg=10 m.s-2commeaccélération de la pesanteur :t=0t=1t=1+dtt=2temps en seconde?v(1)zz(t) =12gt2=5t2Pour calculer la vitesse instantanée ent=1, on mesure ladistance entre les instantst=1 ett=1+dt, oùl"intervalle de temps dtest le plus petit possible (quantitéinfinitésimal).v(1) =z(1+dt)-z(1)v(1) =dt5(1+dt)2-5dt5+10dt+5dt2-5dtv(1) =v(1) =10+5dt
Pour Newton la vitesse ent=1 s est de 10 m.s-1. Mais la vitesse est-elle exac-tement égale à 10 m.s-1ou d"environ 10 m.s-1?Si la vitesse est exactement de 10 m.s-1alors dt=0mais si dt=0, la notion de vitesse instantanée n"a aucun sens : le dénomina-teur est nul.Si la vitesse instantanée est d"environ 10 m.s-1comment calculer la vitesseexacte?Ce problème a opposé les mathématiciens. Les uns donnaient raison à Newton,les autres critiquaient sa méthode peu rigoureuse.Ce blocage ne fut résolu qu"au XIXesiècle avec la notion de limite. Si cette no-tion de limite est cette fois rigoureuse, elle a malheureusement complexifiée leproblème de départ. Avec ce nouveau concept de limite, la vitesse instantanée ent=1 vaut :v(1) =limdt→0dzdt:Lanotionrigoureusedelimiteseravueenterminale.Pourcechapitrenousnouscontenteronsd"utiliserlaméthodeintuitivedeNewton.Lavitesseen1estlalimitequanddttendvers0 de la variationd"altitude, dz,surla variation de temps dt.Lenombredérivé1DéfinitionCf(T)(AB)?a+haf(a)f(a+h)hABOLe coefficient directeurαde la droite(AB)est :α=f(a+h)-f(a)hSi le point B se rapproche du point A (htend vers 0), la droite (AB) se rapprochede la tangente (T) à la courbe enx=a.Le coefficient directeur de cette tan-gente (T) est appelénombre dérivé. Cenombre dérivé est notéf?(a).f?(a) =limh→0f(a+h)-f(a)h
??:SoitunefonctionfdéfiniesurunintervalleouvertIetaunpointdeI.On appelletaux d"accroissement(ou taux de variation) de la fonctionfentreaeta+h, le nombretdéfini par :t=f(a+h)-f(a)hLa fonctionfadmet unnombre dérivé, notéf?(a), ena, si et seulement si, letaux d"accroissement de la fonctionfenaadmet une limite, c"est à dire :f?(a) =limh→0f(a+h)-f(a)hou encoref?(a) =limx→af(x)-f(a)x-aOn utilisera par la suite la première notation.Les physiciens utilisent la notation appelée différentielle :f?(a) =dfdx(a)ExemplesDeux exemples graphiques pour montrer la signification du nombre dérivé.La courbe représentativefest donnée ci-après. En chacun des points indiqués, lacourbe admet une tangente qui est tracée. La fonction admet donc des nombresdérivés en ces points. Lire, en se servant du quadrillage les nombres suivants :Soitx0?I.On dit quefest d´erivable `a droite (resp. `a gauche) enx0si le taux d"accroissement defadmet une limitefinie `a droite (resp. `a gauche) enx0. Cette limite est appel´ee nombre d´eriv´e `a droite (resp. `a gauche) etdon notef?(x0) = limx→>x0f(x)-f(x0)x-x0gresp.f?(x0) = limx<→x0f(x)-f(x0)x-x0.Soitx0un point int´erieur `a I. Alorsfest d´erivable enx0ssi?0fest d´eri0vablegd`a droite et `a gauche enx0etf?(x0) =f?(x0)?.gdDans ce casf?(x0) =f?(x) =f?(x).ddInterpre´tation graphique :sifn"est pas d´erivable enx0mais l"est`a droite (ou `a gauche) enx0, ondit quefadmet une demi-tangente enx0(mˆeme ´equation en rempla¸cantf?(x0) parf?(x0) (ouf?(x0)).)gdϘf:x→|x|admetunedrivegaucheedroiteen0:f?(0)=-1etf?(0)=1.1?=-1,(0estunpointanguleux)doncfn"estpasdivableen0.
Fonctiondérivée.Dérivéedesfonctionsélémentaires1Fonctiondérivée:SoitunefonctionfdéfiniesurunintervalleI.Si la fonctionfadmet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que la fonctionfest dérivable sur I. La fonction, notéef?, définie sur I qui a toutxassocie sonnombre dérivé est appeléefonction dérivéedef.:Lebutduparagraphesuivantestdedéterminerlesfonctionsdérivéesdesfonctionsélémentairespuisd"établirdesrèglesopératoiresafindepou-voirdéterminerladérivéed"unefonctionquelconque.2FonctiondérivéedesfonctionsélémentairesFonctionaffineSoitflafonctionaffinesuivante:f(x)=ax+bLafonctionaffineestdéfinieetdérivablesurR.Déterminonsletauxd"accroissementenx:f(x+h)-f(x)h=a(x+h) +b-ax-bh=ahh=aOn passe à la limite :f?(x) =limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→0a=aFonctioncarréeSoitflafonctioncarrée:f(x)=x2LafonctioncarréeestdéfinieetdérivablesurR.Déterminonsletauxd"accroissementenx:f(x+h)-f(x)h=(x+h)2-x2h=x2+2xh+h2-x2h=h(2x+h)h=2x+hOn passe à la limite :f?(x) =limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→02x+h=2xFonctionpuissance(admis)f(x)=xn,n?N?estdérivablesurRet(xn)?=nxn-1Exemple:Soitf(x)=x5onaalorsf?(x)=5x4.
FonctioninverseSoitfla fonction inverse :f(x) =1xLa fonction inverse est définie et dérivable sur]-∞; 0[ou sur]0 ;+∞[.Déterminons le taux d"accroissement enx?=0 :f(x+h)-f(x)h=1x+h-1xh=x-x-hx(x+h)h=-hh×x(x+h)=-1x(x+h)On passe à la limite :f?(x) =limf(x+h)-f(x)=limh→0-1x(x+h)=-1x2h→0hFonctionpuissanceinverse(admis)f(x) =1xn,n?N?est dérivable surR?-ou surR?+et :?1xn??=-nxn+1Exemple :Soitf(x) =1x4on a alorsf?(x) =-4x5.FonctionracineSoitfla fonction racine carrée :f(x) =⎷xLa fonction racine est définie surR+et dérivable surR?+.?La fonction racine est définie mais pas dérivable en 0. Sa courbe représenta-tive admet une tangenteverticale en 0 et donc l"équation de cette tangente n"ad-met pas de coefficient directeur.Déterminons le taux d"accroissement enx?=0 :f(x+h)-f(x)h=⎷x+h-⎷xh=(⎷x+h-⎷x)(⎷x+h+⎷x)h(⎷x+h+⎷x)=x+h-xh(⎷x+h+⎷x)=1⎷x+h+⎷xOn passe à la limite :f?(x) =limh→0f(x+h)-f(x)h=limh→01⎷x+h+⎷x=12⎷x3RèglesdedérivationDanstoutceparagraphe,onconsidèredeuxfonctionsuetvetunréelλDérivéedelasommeOnpeutmontrerfacilementqueladérivéedelasommeestlasommedesdérivéecar(u+v)(x)=u(x)+v(x)La dérivée de la somme :(u+v)?=u?+v?
Exemple :Soit la fonctionftelle que :f(x) =x2+1xen appliquant la règle de la somme :f?(x) =2x-1x2ProduitparunscalaireOnpeutmontrerfacilementqueladérivéeduproduitparunscalaireestleproduitduscalaireparladérivéecar(λu)(x)=λu(x)La dérivée du produit par un scalaire :(λu)?=λu?Exemple :Soient :f(x) =3x4etg(x) =5x3+12x2-7x+3en appliquant la règle ci-dessus :f?(x) =3(4x3) =12x3enappliquantlesdeuxrègles:g?(x)=15x2+24x-7Dérivéeduproduit?La démonstration n"est pas au programme. Elle est donnée ici à titre indicatif.Calculons le taux d"accroissement de(uv)(x) =u(x)v(x):(uv)(x+h)-(uv)(x)h=u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)hOn retranche puis on ajoute un même terme(uv)(x+h)-(uv)(x)h=u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h) +u(x)v(x+h)-u(x)v(x)h=v(x+h)(u(x+h)-u(x)) +u(x)(v(x+h)-v(x))h=v(x+h)u(x+h)-u(x)h+u(x)v(x+h)-v(x)hOn passe ensuite à la limite :(uv)?(x) =limh→0(uv)(x+h)-(uv)(x)h=limh→0?v(x+h)u(x+h)-u(x)h+u(x)v(x+h)-v(x)h?=limh→0v(x+h)limh→0u(x+h)-u(x)h+limh→0u(x)limh→0v(x+h)-v(x)h=v(x)u?(x) +u(x)v?(x)La dérivée du produit :(uv)?=u?v+uv??La dérivée du produit n"est malheureusement pas le produit des dérivées!Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR+telle que :f(x) = (3x+1)⎷xfdérivable surR?+et :f?(x) =3⎷x+ (3x+1)12⎷x=6x+3x+12⎷x=9x+12⎷x
Dérivéedel"inverse?Ladémonstrationn"estpasauprogramme.Elleestdonnéeiciàtitreindicatif.Calculons le taux d"accroissement de?1v?(x) =1v(x):1v(x+h)-1v(x)h=v(x)-v(x+h)v(x)v(x+h)h=-v(x+h)-v(x)h×1v(x+h)v(x)On passe ensuite à la limite :?1v??=limh→0?-v(x+h)-v(x)h×1v(x+h)v(x)?=limh→0-v(x+h)-u(x)h×limh→01v(x+h)v(x)=-v?(x)v2(x)La dérivée de l"inverse :1v=-v?v2Exemple :Soit la fonctionfdéfinie et dérivable surRpar :f(x) =1x2+x+1En appliquant la règle de l"inverse :f?(x) =-2x+1(x2+x+1)2DérivéeduquotientOn cherche la dérivée du produit par l"inverse :?uv??=?u×1v??D"après la règle du produit, on obtient :?uv??=u?1v+u-v?v2=u?v-uv?v2La dérivée du quotient :?uv??=u?v-uv?v2Exemple :Soit la fonctionfdéfinie et dérivable surR, par :f(x) =2x+5x2+1En appliquant la dérivée du quotient :f?(x) =2(x2+1)-2x(2x+5)(x2+1)2=2x2+2-4x2-10x(x2+1)2=-2x2-10x+2(x2+1)2Dérivéedelapuissanceetdelaracine?Ondonnesansdémonstrationladérivéedelapuissanceetdelaracine.(un)?=nu?un-1et?⎷u??=u?2⎷uExemple :Soientf(x) = (3x-5)5etg(x) =⎷x2+1
En appliquant les règles sur la dérivée de la puissance et de la racine, on a :f?(x) =5×3(3x-5)4=15(3x-5)4etg?(x) =2x2⎷x2+1=x⎷x2+14TableaurécapitulatifVoiciletableaudesfonctionsélémentairesquel"onvientdemontrerainsiquelesfonctionstrigonométriquessinusetcosinus.FonctionDfDérivéeD?ff(x) =kRf?(x) =0Rf(x) =xRf?(x) =1Rf(x) =xnn?N?Rf?(x) =nxn-1Rf(x) =1xR?f?(x) =-1x2]-∞;0[ou]0;+∞[f(x) =1xnn?N?R?f?(x) =-nxn+1]-∞;0[ou]0;+∞[f(x) =⎷x[0;+∞[f?(x) =12⎷x]0;+∞[f(x) =sinxRf?(x) =cosxRf(x) =cosxRf?(x) =-sinxRVoici maintenant les principales règle de dérivation.Dérivée de la somme(u+v)?=u?+v?Dérivée du produit par un scalaire(λu)?=λu?Dérivée du produit(uv)?=u?v+uv?Dérivée de l"inverse?1v??=-v?v2Dérivée du quotient?uv??=u?v-uv?v2Dérivée de la puissance(un)?=nu?un-1Dérivée de la racine?⎷u??=u?2⎷u
2ApproximationaffineCf(Ta)a+haf(a)yf(x+h)?A?M"?MOLorsquexest proche dea, on peutconfondre en première approximationle point M sur la courbeCfd"une fonc-tionfavec lepoint M" d"abscissexdela tangente (Ta) à la courbe ena.On posex=a+havechproche de 0.Si on confond le point M avec le pointM", on a :y?f(a+h)On obtient alors :f(a+h)?f(a) +h f?(a)Exemple :Déterminer une approximation affine de⎷4,03.On posef(x) =⎷x, on aa=4 eth=0,03. On calcule alors la dérivée en 4.f?(x) =12⎷xdoncf?(4) =14et doncf(4,03)?f(4) +0,03×14?2,0075On obtient donc :⎷4,03?2,0075 à comparer à⎷4,03?2,007 486. La préci-sion est donc de 10-4.3CinématiqueLa cinématique est l"étude du mouvement : position, vitesse, accélération d"unsolideenphysique.C"estjustementl"étudedelavitesseinstantannéequiapermisà Newton de concevoir le concept de dérivée. La vitesse est alors la dérivée del"équation horaire et l"accélération la dérivée de la vitesse par rapport au temps.Exemple :Deux mobiles M1et M2sont sur l"axe des abscisses animé d"un mou-vement dont les lois horaires en fonction du tempstsont respectivementx1(t) =2t2+t+4 etx2=-t2+5t+8a) Calculer l"instant auquel les deux mobiles se rencontrent.b) Calculer les vitesses respectives de ces deux mobiles à cet instant.c) En déduire si lors de la rencontre, les deux mobiles se croisent ou si l"un dé-passe l"autre.a) Pour que les deux mobiles se rencontrent, il faut que leurs abscisses soient lesmêmes. On a donc :x1(t) =x2(t)soit2t2+t+4=-t2+5t+8?3t2-4t-4=0
On calcule le discriminant :Δ=16+48=64=82On obtient deux solutions :t1=4+86=2 out2=4-86=-23On ne retient que la solution positive (on ne sait pas ce qui se passe avantt=0). Les mobiles se rencontrentdonc au bout de 2 secondes.b) La vitesse est déterminée par la dérivée de la loi horaire. En dérivant, on ob-tient les vitesses des deux mobiles en fonction du temps :v1(t) =4t+1 etv2(t) =-2t+5Si au point de rencontre, les vitesses ont même signe, l"un des mobiles doublel"autre, si les vitesses ont des signes opposées, les mobiles se croisent. Calcu-lons les vitesses àt=2.v1(2) =9 etv2(2) =1c) Lesvitessesontmêmesigne,donclesmobilesserencontrent,commev1(2)>v2(2),c"est le mobile 1 qui double le mobile 2.Remarque :On peut simuler (position et vitesse) des deux mobiles en fonc-tion du temps. Par exemple aux deux moments àt=0 s ett=1 s.0246810 1214t=0t=1M2?v2(0)M2?v2(1)M1?v1(0)M1?v1(1)Sensdevariationd"unefonctionSensdevariationOnadmettralethéorèmesuivantquipréciselelienentrevariationetdérivée.:SoitunefonctionfdérivablesurunintervalleI.Si la fonction dérivéef?estnulle, alors la fonction estconstante.Si la fonction dérivée eststrictement positive(sauf en quelques point isolé deI où elle s"annule), alors la fonctionfeststrictement croissantesur I.Si la fonction dérivée eststrictement négative(sauf en quelques point isolé deI où elle s"annule), alors la fonctionfeststrictement décroissantesur I.
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