Chapitre 3 : Régime transitoire IÉtude des circuits RC, RL

Olivier GRANIER Électricité -Électronique Régimes transitoires dans les circuits (RC), (RL) et (RLC)

Chapitre 3 : Régime transitoire IÉtude des circuits RC, RL

Chapitre 3 : Régime transitoire I Étude des circuits RC, RL et RLC série en régime libre 1 Cas du circuit RC a)Équation différentielle Branchons une résistance Raux bornes d’un condensateur chargé (ﬁgure 1a) R C K q 0 t

TSI 2 TP REGIME TRANSITOIRE D’UN CIRCUIT RLC SERIE

TSI 2 TP REGIME TRANSITOIRE D’UN CIRCUIT RLC SERIE 22 nov 2016 Pré-requis Résolution mathématique de l’équation différentielle à oeffiients onstants : u’’ + u’ + 0 ² u = 0 ² E 0: pulsation propre Q : facteur de qualité E : tension constante Condensateur : Bobine idéale

CIRCUITS RLC - Nexgate

Circuit RLC série excité en tension à fréquence variable Circuit RLC série : filtres du 2° ordre Circuit RLC parallèle excité en courant à fréquence variable Circuits RLC en régime transitoire Application : entretien des oscillations dans un circuit RLC série compensé par une résistance négative Extrait du site complet :

Circuits lin´eaires en r´egime transitoire

transitoire 1 Conditions initiales et continuit´e On va ´etudier ce qui se passe entre entre deux r´egimes continus = r´egime transi-toire Les grandeurs´electriques ne sont plus constantes Rappelons les conventions et r´esultats pour la bobine et le condensateur : i u L u = L di dt L inductance en henry (H) i u C q q = Cu i = dq dt = C

EC3-Circuit RLC série - Physagreg

Le circuit RLC étant du deuxième ordre, ce sera aussi le cas de son équation diérentielle Elle fera alors apparaître la notion de régimes : selon l’amortissement du circuit par eet Joule, le régime transitoire est diérent 2 Équation diérentielle On étudie le circuit RL soumis à une tension e(t), on

REGIME TRANSITOIRE - Technologue Pro

REGIME TRANSITOIRE 1 Introduction Lorsqu’on ferme un circuit pour le mettre en fonction, les courants et les tensions mettent un certain temps à s’établir C’est le régime transitoire Ce chapitre fait l’étude des composants dont ce temps dépend : le condensateur et l’inductance

Analyse des circuits en régime transitoire (ordres 1 et 2)

Les régimes transitoires - lewebpedagogiquecom

-Le regime est aperiodique si (amortissement important) -Le regime est pseudo-periodique si (faible amortissement) -Le regime est critique si (amortissement critique, cas limite sans réalité physique) Durée du régime transitoire • En régime apériodique, le terme dont la décroissance est la plus lente

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Cours d"électrocinétique Sup TSI

Chapitre 3 : Régime transitoire

I. Étude des cir cuitsRC, RL et RLC série en régime libr e 1.

Cas du cir cuitRC

Équation dif férentielle

Branchons une résistanceRaux bornes d"un condensateur chargé (figure 1a).RCK q

0t <0Figure 1aRCui

q t0Figure 1b À l"instantt= 0on ferme l"interrupteurK. On a alors (figure 1b) : u=Ri=qC aveci=dqdt

On obtient l"équation différentielle :

dqdt +qRC = 0 oudqdt +q = 0=RChomogène à un temps est appelée constante de temps ou temps de relaxation. Le circuitRCest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =RC. b)

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

dqdt +q = 0)dqq =dt )q(t) =Aet=

Àt= 0,q(t= 0) =q0=A

D"où :

q(t) =q0et=D"autre part,u=qC eti=dqdt . Donc : u(t) =u0et=eti(t) =u0R et=Régime transitoire 1/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

avecu0=q0C La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur les figures 2a et 2b.0q(t)tq 0

Figure 2a0i(t)t

u0R

Figure 2b

Commentaires :

q(t)etu(t)sont des fonctions continues tandis quei(t)est discontinu ent= 0. En régime permanent (t >> ),q(t!+1)!0,u(t!+1)!0eti(t!+1)!0. L"intersection de la tangente à l"origine et l"axe des abscisses se fait ent=. En effet, la tangente à l"origine a pour équationq(t) =kt+q0aveck= (dqdt )t=0=q0

Le point d"intersection est donc pourt=.

Plusest faible, plus la décharge du condensateur à travers la résistance est rapide et inversement. c)

Portrait de phase

La trajectoire de phase est la courbe dé-

crite par le point figuartifPde coordonnées (f(t);df(t)dt

On appelle portrait de phase l"ensemble

des trajectoires de phase lorsque les condi- tions initiales varient.

Dans le cas du circuitRC, le plan de phase

est (q;dqdt =i). Puisquei=q , La trajec- toire de phase est une droite affine (figure 3).Pi q

Figure 3

Bilan éner gétique

L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0

Ri2dt=Z

+1 0u 20R e2t=dt=12

Cu20=q202CRégime transitoire 2/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Conclusion :

L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans le condensateur est intégralement dissipée

par effet joule dans le résistor. 2.

Cas du cir cuitRL

Équation dif férentielle

Soit le circuit de la figure 4a. À l"instantt= 0, on ouvre l"interrupteurK. On a alors (figure 4b) : u(t) =Ri(t) =Ldidt

Soit encore :

di(t)dt +RL i(t) = 0 etdu(t)dt +RL u(t) = 0Le circuitRLest donc un circuit de premier ordre caractérisé par la constante de temps =LR .K I 0LR t <0Figure 4aK I 0LR t0i(t)i(t)u(t)Figure 4b b)

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

i(t) =Aet= iétant continu ent= 0, alorsi(t= 0) =I0=A

D"où :

i(t) =I0et=D"autre part,u=Ri. Donc :

u(t) =RI0et=La représentation des fonctionsi(t)etu(t)sont données sur les figures 5a et 5b.Régime transitoire 3/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0u(t)t

RI0

Figure 5a0i(t)tI

Figure 5b

Portrait de phase

On a :

di(t)dt =RL i(t)

Dans le plan de phase (i;didt

) la trajectoire de phase est une droite affine. d)

Bilan éner gétique

L"énergieWdissipée par effet Joule dans le résistor est : W=Z +1 0

Ri2dt=Z

+1 0

RI20e2t=dt=12

LI20

Conclusion :

L"énergie emmagasinée à l"instant initial dans la bobine est intégralement dissipée par effet

joule dans le résistor. 3.

Cas du cir cuitRLC

Équation dif férentielle

Soit le circuit de la figure 6.

La loi des mailles implique :

Ri+Ldidt

+qC = 0 aveci=dqdt

On en déduit :

d 2qdt 2+RL dqdt +1LC q= 0i LR Cq

Figure 6

Posons :

!0=1pLC : Pulsation propre.Régime transitoire 4/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Q=L!0R

=1RC!

0: Facteur de qualité (sans dimension).

2=RL =!0Q :est le coefficient d"amortissement.

L"équation différentielle s"écrit :

d 2qdt 2+!0Q dqdt +!20q= 0 oud2qdt

2+ 2dqdt

+!20q= 0Le circuitRLCsérie est donc un circuit du second ordre caractérisé par la pulsation propre

0=1pLC

et son facteur de qualitéQ=L!0R =1RC! 0.

Signification physique deQ:

PlusQest grand (est petit), plus l"amortissement dû à la présence de la dérivée première

est faible. b)

Résolution de l"équation dif férentielle

La solution est de la forme :

q(t) =A1er1t+A2er2t A

1etA2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales etr1etr2sont les racines

de l"équation caractéristique : r 2+!0Q r+!20= 0 Le discriminant réduit de cette équation est :

0=!204Q!20=!20(14Q21) =2!20

Il existe trois cas selon le signe de0:

0>0ouQ <0;5; > !0: C"est le régime apériodique.

Les racines sont des réelles :

r 1;2=q 2!20

Donc :

q(t) =et[A1ep

2!20t+A2ep

2!20t]

Lorsquet!+1,etl"emporte etq!0sans osciller.

La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 7a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 7b.Régime transitoire 5/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0q(t)i(t)tq

0Figure 7ai

Figure 7b

La trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d"un système apériodique.

0= 0ouQ= 0;5;=!0: C"est le régime critique.

Les deux racines sont réelles et confondues :r1=r2==!0.

D"où :

q(t) = (B1+B2t)et

Quandt!+1,q!0rapidement sans osciller.

La représentation des fonctionsq(t)eti(t)sont données sur la figures 8a pour les condi- tions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 8b.0q(t)i(t)tq

0Figure 8ai

Figure 8b

0<0ouQ >0;5; < !0: C"est le régime pseudo-périodique.

Les racines sont complexes conjuguées :

1;2=iq!

202=i
avec =p!

202est la pseudo-pulsation.

Donc :

q(t) =et[C1cos( t) +C2sin( t)] =Cetcos( t+') C"est une fonction pseudo-périodique d"amplitudeQm=Cetvariable en fonction du temps et de pseudo-période : T=2 =T0r 1(!

0)2=T0r

114Q2Régime transitoire 6/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

avec :T0=2! 0. La représentation de la fonctionq(t)est donnée sur la figures 9a pour les conditions initialesq(t= 0) =q0eti(t= 0) = 0tandis que la trajectoire de phase est donnée sur la figure 9b.0q(t)tq

0Figure 9aqi

Figure 9b

Bilan éner gétique

On a trouvé :

Ldidt +qC +ri= 0)Ldidt i+qC i+ri2= 0

D"où :

ddt (12

Li2+q22C) =Ri2

que l"on peut écrire : dWdt =Ri2 oùW=12 Li2+q22Cest l"énergie emmagasinée dansLetC. Cette énergie diminue par dissi- pation dans la résistanceR. II. Réponse d"un cir cuitRC, RL et RLC à un échelon de tension 1.

Cas du cir cuitRC

Régime transitoir e

Soite(t)un échelon de tension (figure 10a) c"est à dire :

8>>>><

>>>:e(t) = 0 sit <0 e(t) =E=cstesit >0

Le circuit de la figure 10b est soumis à cet échelon de tension.Régime transitoire 7/11 Y Elmokhtari

Cours d"électrocinétique Sup TSI

e(t)E t0

Figure 10ae(t)iR

Figure 10b

La loi des mailles, pourt >0, s"écrit :

E=Ri+uaveci=dqdt

=Cdudt

Donc :dudt

+u =E avec=RC

La solution de cette équation s"écrit :

u(t) =Aet=+E Si le condensateur est initialement non chargé alors :u(t= 0) = 0et doncA=E. D"où : u(t) =E(1et=) eti(t) =Cdudt =ER et=Ces relations montrent queu(t!+1)!Eeti(t!+1)!0. En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert (i= 0). Il retarde l"établissement de la ddp entre ses bornes. La représentation des fonctionsu(t)eti(t)sont données sur les figures 11a et 11b.u(t)t0E

Figure 11a0i(t)tE

Figure 11b

Étude éner gétique

On a :

E=Ri+qC

)Ei=Ri2+qC iaveci=dqdt

On a donc :

Ei=Ri2+ddt

(q22C

Cette équation traduit un bilan énergétique tel que :Régime transitoire 8/11 Y Elmokhtari

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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Chapitre 3 : Régime transitoire

Cas du cir cuitRC

Équation dif férentielle

0t <0Figure 1aRCui

On obtient l"équation différentielle :

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

Àt= 0,q(t= 0) =q0=A

D"où :

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Figure 2a0i(t)t

Figure 2b

Commentaires :

Le point d"intersection est donc pourt=.

Portrait de phase

La trajectoire de phase est la courbe dé-

On appelle portrait de phase l"ensemble

Dans le cas du circuitRC, le plan de phase

Figure 3

Bilan éner gétique

Ri2dt=Z

Cu20=q202CRégime transitoire 2/11 Y Elmokhtari

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Conclusion :

Cas du cir cuitRL

Équation dif férentielle

Soit encore :

Résolution de l"équation dif férentielle

On a :

D"où :

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0u(t)t

Figure 5a0i(t)tI

Figure 5b

Portrait de phase

On a :

Dans le plan de phase (i;didt

Bilan éner gétique

Ri2dt=Z

RI20e2t=dt=12

Conclusion :

Cas du cir cuitRLC

Équation dif férentielle

Soit le circuit de la figure 6.

La loi des mailles implique :

Ri+Ldidt

On en déduit :

Figure 6

Posons :

Cours d"électrocinétique Sup TSI

Q=L!0R

0: Facteur de qualité (sans dimension).

L"équation différentielle s"écrit :

2+ 2dqdt

0=1pLC

Signification physique deQ:

Résolution de l"équation dif férentielle

La solution est de la forme :

1etA2sont des constantes qui dépendent des conditions initiales etr1etr2sont les racines

0=!204Q!20=!20(14Q21) =2!20

Il existe trois cas selon le signe de0:

0>0ouQ <0;5; > !0: C"est le régime apériodique.

Les racines sont des réelles :

Donc :

2!20t+A2ep

2!20t]

Lorsquet!+1,etl"emporte etq!0sans osciller.

Cours d"électrocinétique Sup TSI

0q(t)i(t)tq

0Figure 7ai

Figure 7b

0= 0ouQ= 0;5;=!0: C"est le régime critique.

D"où :

Quandt!+1,q!0rapidement sans osciller.

0Figure 8ai

Figure 8b

0<0ouQ >0;5; < !0: C"est le régime pseudo-périodique.

Les racines sont complexes conjuguées :