2 ALGEBRE` - Major-Prépa

AM= MA Then either M = ° or M is nonsingular Furthermore if A = A (so that M commutes with each element of ~l) then M is scalar :l PROOF Suppose that the rank of M is r, and write (II" M = P ° where P, Q are nonsingular and II' is the r X r identity matrix Then for each AE~l, (2) (II' (P-IAP) ° ° 0) _ (QAQ-I) Put (All P-IAP= A~I

EXERCISES OF MATRICES OPERATIONS Question 1

EXERCISES OF MATRICES OPERATIONS 3 (24) If A,Bare both n×nmatrices and ABis singular, then Ais singular or Bis singular (25) Ais diagonalizable, then Ais non-singular (26) Ais symmetric, then Ais non-singular

2 ALGEBRE` - Major-Prépa

6 La matrice triangulaire A admet deux valeurs propres r´eelles 1 et −1 : elle est diagonalisable a) Si M ∈ R, alors AM = M3 = MA et M ∈ C Par la question pr´ec´edente, M est donc de la forme αI + βA b) Comme A2 = I, on a (αI +βA)2 = (α2 +β2)I +2αβA et cette matrice vaut A lorsque α2 + β2 = 0 et 2αβ = 1, on a donc β

TD 03 : Matrices

(c)Montrer qu’il existe une base B de R3 dans laquelle la matrice de u est égale à 0 1 0 0 0 0 0 0 2 (d)Déterminer les endomorphismes qui commutent avec u 6 / Montrer que 0 0 0 1 1 −1 2 2 −2 est semblable à −1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 / Montrer qu’une matrice A ∈M n(K) est semblable à la matrice dont

Rank of Matrix by Determinant

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ij] is row (column) equivalent to a unique ma-trix in reduced (column) row echelon form The uniqueness proof is involved, see Ho man and Kunze, Linear Algebra, 2nd ed Note: the row echelon form of a matrix is not unique Why? Theorem 2 3 Let Ax= band Cx= dbe two linear systems, each of mequations in nunknowns If

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R3 R3 –R2, ????≅ 1 0 0 2 0 0 3 1 0 C2 C2-2C1, ????≅ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 As, Normal Form of given matrix A is having Identity Matrix of Order 2 rank (A)= r(A) = 2 ????≅ 1

64 Hermitian Matrices - Naval Postgraduate School

Ch 6: Eigenvalues 6 4 Hermitian Matrices We consider matrices with complex entries (a i;j 2C) versus real entries (a i;j 2R) 1 in R the length of a real number xis jxj= the length from the origin to the number

TD - Matrices

Exercice 17 Soit A ∈Mn (R)une matrice nilpotente d’ordre p >1 On pose B =In −A 1 Montrer que B est inversible et exprimer son inverse à l’aide de A (penser à la factorisation de I −Ap) 2 Application : B = 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1

Matrix Multiplication - University of Plymouth

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2 ALG `EBRE

Exercice 2.1.

SoitA∈ Mn(C) admettantnvaleurs propres.

1. Montrer que la famille (In,A,...,An-1) est libre.

2. On noteC={M∈ Mn(C)/AM=MA}. Montrer queCest un sous-espace

vectoriel deMn(C) de dimension>n.

3. Montrer l'existence d'une matricePdeMn(C) inversible et d'une matrice

∆ deMn(C) diagonale, telles que

A=P∆P-1.

4. SoitM∈ C. Montrer que tout vecteur colonne propre deAest un vecteur

colonne propre deM. En d´eduire que la matriceP-1MPest diagonale.

En d´eduire queCest de dimension6n.

5. Montrer que (In,A,...,An-1) est une base deC.

6. SoitA=(1 2

0-1) ∈ M

2(C). On noteR={M∈ M2(C)/M2=A}.

a) Montrer queR ⊂Vect(I,A). b) Montrer queRest de cardinal 4. D´eterminer les 4 matrices v´erifiant M 2=A.

Solution :

1. Supposons la famille (I,A,...,An-1) li´ee : il existe alors des complexes

0,a1,...,an-1non tous nuls tels quen-1∑

i=0a iAi= 0.

48ESCP-Europe 2012 - Oral

Le polynˆomeP(X) =n-1∑

i=0a iXiqui est de degr´e inf´erieur ou ´egal `an-1 est annulateur deAet n'est pas le polynˆome nul. Soit (X1,...,Xn) une base de vecteurs propres deA,Xk´etant associ´e `a la valeur propreλk.

Pour toutk∈[[1,n]], on aAiXk=λikXket :

0 =P(A)Xk=n-1∑

i=0a iAiXk=(n-1∑ i=0a iλik)Xket commeXk̸= 0 :n-1∑ i=0a iλik= 0. Le polynˆomePadmetnracines distinctes, il est donc identiquement nul, en contradiction avec notre hypoth`ese.

2. On montre facilement queCposs`ede une structure deC- espace vectoriel.

Par la question pr´ec´edente, il est au moins de dimensionn, puisqueAet toutes ses puissances commutent avecA.

3. La matriceAest d'ordrenet admetnvaleurs propres distinctes : elle est

diagonalisable.

4. SoitMtelle queAM=MAetXun vecteur-colonne propre deAassoci´e

`a la valeur propreλ. Alors,AMX=MAX=MλX=λMX. Le vecteurMXappartient donc au sous-espace propreE(A) deAassoci´e `a la valeur propreλ. Or cet espace est de dimension 1. Donc, il existe un complexeµtel queMX=µX, puisque (X) est une base deE(A). Ainsi toute base de vecteurs propres deAest une base de vecteurs propres de M, et ces deux matrices sont diagonalisables dans la mˆeme base de vecteurs propres : siP-1APest diagonale, alorsP-1MPl'est aussi. DoncCest inclus dansPdiagn(C)P-1et cet espace est de dimension inf´erieure ou ´egale `an.

5. AinsiCest de dimensionnet la famille libre (I,A,...,An-1) est une base

deC.

6. La matrice triangulaireAadmet deux valeurs propres r´eelles 1 et-1 : elle

est diagonalisable. a) SiM∈ R, alorsAM=M3=MAetM∈ C. Par la question pr´ec´edente,

Mest donc de la formeαI+βA.

b) CommeA2=I, on a (αI+βA)2= (α2+β2)I+2αβAet cette matrice vautAlorsqueα2+β2= 0 et 2αβ= 1, on a doncβ=±iαet 2iα2= 1, soit

α∈ {1-i

2 ,i-1 2 }etβ∈ {i+ 1 2 ,-i+ 1 2 }et les valeurs deMs'en d´eduisent. Variante: Par r´eduction les calculs sont aussi simples :

Alg`ebre49

SoitPtelle queA=Pdiag(1,-1)P-1, on aM=Pdiag(λ,µ)P-1. La relationM2=Aentraˆıne queλ2= 1 etµ2=-1, soit (on est dansC)

λ=±1 etµ=±i.

On peut prendreP=(1-1

0 1) , d'o`uP-1=(1 1 0 1) et les quatre solutions sont : M

1=(1-1

0 1)( 1 0 0i)( 1 1 0 1) =(1 1-i 0i) M

2=(1-1

0 1)( 1 0 0-i)( 1 1 0 1) =(1 1 +i 0-i) et les matricesM3=-M1etM4=-M2.

Exercice 2.2.

On consid`ere un endomorphismefd'unC-espace vectorielEde dimension finien(avecn>2), tel quef2est diagonalisable. Le but de cet exercice est de montrer quefest diagonalisable si et seulement si Kerf= Kerf2.

1. On suppose quefest diagonalisable.

a) Montrer que, si Kerf={0}, alors Kerf2={0}. b) On suppose maintenant que Kerf̸={0}. Montrer que Kerf= Kerf2. c) Conclure.

2. On suppose que Kerf= Kerf2.

a) ´Etablir que siµest une valeur propre defalorsµ2est une valeur propre def2. b) Soitλune valeur propre non nulle def2, etµ1,µ2ses deux racines carr´ees complexes. i) Montrer que : Ker(f-µ1I)⊂Ker(f2-λI) et Ker(f-µ2I)⊂Ker(f2-λI) ii) Montrer que : Ker(f2-λI) = Ker(f-µ1I)⊕Ker(f-µ2I) c) En distinguant les cas o`u 0 est ou n'est pas valeur propre def, montrer que f est diagonalisable.

Solution :

1. a) Il n'est mˆeme pas n´ecessaire quefsoit diagonalisable : si Kerf={0},

alorsfest injectif, donc bijectif (endomorphisme d'un espace de dimension finie) etf2est aussi bijectif, donc injectif.

50ESCP-Europe 2012 - Oral

b) Dans une baseBadapt´ee, on aMB(f) = diag(0,...,0,λ1,...,λn-k), o`u lesλinon n´ecessairement deux `a deux distincts sont non nuls. Le nombre kest donc la dimension de Ker(f) =E(0)(f). On aMB(f2) = diag(0,...,0,λ21,...,λ2n-k) etkest aussi la dimension de Ker(f2). Ces deux sous-espaces ont de plus la mˆeme base et ils sont donc ´egaux (de toutes fa¸cons on savait que Kerf⊂Ker(f2)) c) On vient de montrer que sifest diagonalisable, alors dans tous les cas

Kerf= Kerf2.

2. a) Siµest une valeur propre def, alors il existe un vecteurxdeEnon

nul tel quef(x) =µxetf2(x) =µf(x) =µ2x. Commexest non nul, ceci prouve queµ2est une valeur propre def2. b i) Sixappartient `a Ker(f-µiI), aveci∈ {1,2},alorsf2(x) =µ2ix=λx, doncx∈Ker(f-λI) et Ker(f-µiI)⊂Ker(f2-λI). ii) On a : Ker(f-µ1I)∩Ker(f-µ2I) ={0}, car les deux valeursµ1,µ2 sont distinctes. Ainsi la somme Ker(f-µ1I) + Ker(f-µ2I) est directe. De plus le r´esultat i) montre que cette somme est incluse dans Ker(f2-λI).

Soit alorsx∈Ker(f2-λI).

On a :f(f(x)+µix) =f2(x)+µif(x) =λx+µif(x) =µi(µix+f(x)), donc f(x) +µix∈E(i)(f).A fortiorixi=1

1-µ2(f(x) +µix)∈Ker(f-µiI)

Maisx=x1-x2, doncx∈Ker(f-µ1I) + Ker(f-µ2x). Ainsi Ker(f-λx)⊂Ker(f-µ1I) + Ker(f-µ2I), ce qui prouve l'´egalit´e et le r´esultat :

Ker(f-λx) = Ker(f-µ1I)⊕Ker(f-µ2I)

c)•Si 0 est valeur propre def, alors Kerfn'est pas r´eduit au seul vecteur nul, et c'est le sous-espace propre defassoci´e `a la valeur propre 0, mais c'est aussi, par hypoth`ese, le sous-espace propre def2associ´e `a la valeur propre

0. Commef2est diagonalisable, on a :

E= Ker(f2)⊕Ker(f2-λ1I)⊕ ··· ⊕Ker(f2-λpI)

Comme Kerf2= Kerf, on obtient :

E= Ker(f)⊕Ker(f2-λ1I)⊕ ··· ⊕Ker(f2-λpI) D'apr`es la question pr´ec´edente, on peut enfin ´ecrire, en notantµi;1etµi;2les racines carr´ees deλi: E= Ker(f)⊕Ker(f-µ1;1I)⊕Ker(f-µ1;2I)⊕ ··· ··· ⊕Ker(f-µp;1I)⊕Ker(f-µp;2I) Ceci prouve queEest somme directe de sous-espaces propres def(et ´eventuellement de sous-espaces r´eduits `a{0}que l'on peut ´eliminer) donc quefest diagonalisable.

Alg`ebre51

•Si Kerf={0}, alors Kerf2={0}et la d´emonstration pr´ec´edente s'applique.

Exercice 2.3.

On noteEl'espace vectoriel r´eel des fonctions continues deRdansR, E

1le sous-espace vectoriel deEconstitu´e des fonctions 1-p´eriodiques,T

l'application qui, `a une fonctionfdeEfait correspondre la fonctionT(f) =F d´efinie par : ∀x∈R,F(x) =∫ x+1 x f(t)dt.

1. a) Justifier queTest un endomorphisme deE.

b) Justifier que, pour toutf∈E, la fonctionF=T(f) est de classeC1 surRet expliciter sa d´eriv´ee. c)Test-il surjectif? d) `A quelle condition (n´ecessaire et suffisante) surfla fonctionF=T(f) est-elle constante? e) Expliciter la fonctionT(f) lorsquefest d´efinie par :∀t∈R,f(t) = |sin(π t)|. On appellevecteur propredeTassoci´e `a lavaleur propreλ∈Rtoute fonction f∈E, autre que la fonction nulle, telle queT(f) =λf. Un r´eelλestvaleur propredeTs'il existe un vecteur propre associ´e `aλ.

2. a) Montrer quef∈Ker(T)⇐⇒[f∈E1et∫

1 0 f(t)dt= 0].

L'applicationTest-elle injective?

b) V´erifier que, pour tout r´eela, la fonctionha:t7→eatest vecteur propre deTet pr´eciser la valeur propre associ´ee. c) Justifier que l'ensembleSdes valeurs propres deTcontientR+.

Solution :

1. a) La lin´earit´e deTr´esulte de la lin´earit´e de l'int´egration sur tout

segment. De plus si Φ d´esigne une primitive de la fonction continuef, on aF(x) = Φ(x+1)-Φ(x) etFest continue surRet mˆeme de classeC1, avec b)...∀x∈R,F′(x) =f(x+ 1)-f(x). c) Non, car on vient de voir que Im(T)⊂C1(R,R), donc la fonction⟨⟨valeur absolue ⟩⟩qui est continue, mais pas de classeC1, n'a pas d'ant´ec´edent. d)Fest constante si et seulement siF′= 0, soit si et seulement sif∈E1.

52ESCP-Europe 2012 - Oral

e) La fonctionf:t7→ |sin(πt)|appartient `aE1, doncFest constante et :

F(x) =F(0) =∫

1 0 sin(πt)dt=2

2. a) D'apr`es la question 1.d),F=T(f) = 0 si et seulement siFconstante et

F(0) = 0, soit si et seulement sif∈E1et∫ 1 0 f= 0 (fonction 1-p´eriodique de moyenne nulle). AinsiTn'est pas injective car Ker(T) contient par exemple la fonctiont7→cos(2πt). b)⋆ a̸= 0 =⇒T(ha)(x) =∫ x+1 x eatdt=ea-1 a eax=ea-1 a ha(x); ⋆ T(h0)(x) =∫ x+1 x dt= 1 =h0(x). Donch0est propre pour la valeur propre 1 et poura̸= 0,haest propre pour la valeur propre ea-1 a c) Soitφ:u7→eu-1 u . On a limu→0φ(u) = 1, limu→+∞φ(u) = +∞et lim u→-∞φ(u) = 0. La continuit´e deφsurR∗+etR∗-suffit `a montrer, grˆace au th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) queφ(R∗) contientR∗+\ {1}. Comme on a vu que 0 est valeur propre (2. a)) et 1 aussi (2. b)), on peut affirmer que : R +⊂S.

Exercice 2.4.

On note⟨,⟩et∥ ∥respectivement le produit scalaire et la norme deR3 euclidien usuel, et on appelleisometriedeR3une applicationf∈ L(R3) telle que

1. On d´efinit une forme quadratiqueQsurR3en posant, pour tout vecteur

ude coordonn´eesX= x y dans la base canoniqueCdeR3:

Q(u) = 3x2+ 2y2+ 3z2-2xz

a) D´eterminer une matrice sym´etriqueS∈ M3(R) telle que ∀u∈R3,Q(u) =tX S X b) D´eterminer une matrice orthogonaleP∈ M3(R) et une matrice diagonaleD∈ M3(R) telles quetP S P=D. On noteE={u∈R3,Q(u) = 1}et on dit qu'une isom´etrie deR3conserve

Esi et seulement si elle v´erifief(E)⊆ E.

Alg`ebre53

2. a) Montrer qu'un vecteuru∈R3appartient `aEsi et seulement si ses

coordonn´eesX′= x′ y z dans une base orthonorm´eeBque l'on pr´ecisera v´erifient :

4(x′)2+ 2(y′)2+ 2(z′)2= 1 (1)

b) Montrer que (x′,y′,z′)∈R3v´erifie (1) si et seulement s'il existeθ∈[0,π]

etα∈[0,2π[ tels que x ′=1 2 cos(θ),y′=1 2 sin(θ) cos(α),z′=1 2 sin(θ) sin(α) c) Pouru∈ E, exprimer||u||en fonction deθd´efini ci-dessus et en d´eduire les vecteurs deEde norme minimale. On noteu1un tel vecteur etPle plan orthogonal au1.

3. Soitfune isom´etrie deR3.

a) Pouru∈R3, comparer||f(u)||et||u||. b) Montrer que sifconserveEalors : f(u1)∈ {-u1,u1}etf(P ∩ E)⊆ P ∩ E

On admet la r´eciproque.

Donner un exemple, autre queidou-id, d'isom´etrie conservantE.

Solution :

1. a) et b) On a :S=

3 0-1 0 2 0

S-λI=

3-λ0-1

0 2-λ0

0 0-1 + (3-λ)2

0 2-λ0

(λ-2)(λ-4) 0 0

02-λ0

. Ainsi Spec(A) ={2,4} E (2)(A) est le plan d'´equation-x+z= 0,E(4)(A) est la droite engendr´ee par la colonne t(1 0-1) (droite orthogonale au plan pr´ec´edent pour le produit scalaire canonique) En choisissant une base orthonorm´ee du planE(2)(A), on peut donc prendre :

P=

1 2 01 2 0 1 0 -1 2 01 2 D= 4 0 0 0 2 0

54ESCP-Europe 2012 - Oral

2. a) SoitBla base d´efinie par la matricePpr´ec´edente.

Un vecteuruest tel queMC(u) =XetMB(u) =X′, o`uXetX′sont li´ees par la relation :X=PX′. On a alors :

Q(u) =tXSX=tX′tPSPX′=tX′DX′

Donc la baseBconvient.

2(y′)2+ 2(z′)2= sinθ

puis∃α∈[0,2π[, y ′=1 2 sin(θ)cos(α) z ′=1 2 sin(θ) sin(α) et r´eciproquement en substituant dans (1). c) En base orthonorm´ee, (x′)2+ (y′)2+ (z′)2=1 4 cos2θ+1 2 sin2θ=1 2 -1 4 cos2θ minimal pourθ= 0 ouθ=π.

Doncu1est de coordonn´ees (±1/2,0,0) dansB.

⟨u,u⟩=||u||. b)f(u1)∈ Eest de mˆeme norme queu1donc est minimale, d'o`u f(u1) =±u1. D'autre part,fconserve l'orthogonalit´e et laisse Vect(u1) stable, donc laisse

Pstable, et aussiP ∩ E.

c) La sym´etrie (orthogonale) par rapport `aPlaisse tous les points deP invariants, donc laisseP ∩ Estable, et changeu1en-u1, donc convient. Toute sym´etrie (orthogonale) par rapport `a une droite dePlaisse le cercle P ∩ Estable et laisseu1invariant, donc convient ´egalement.

Exercice 2.5.

Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 2 etMn(R) l'espace vectoriel des matrices carr´ees r´eelles d'ordren. SoitAun ´el´ement deMn(R) etB=tAA, o`utA repr´esente la transpos´ee de la matriceA. On supposeRnmuni de son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associ´ee not´ee∥.∥. Selon l'usage, on confond tout vecteur deRn avec la matrice colonne canoniquement associ´ee.

1. a) Montrer queBest une matrice sym´etrique r´eelle, qui v´erifie pour tout

X∈Rn,tXBX>0.

b) En d´eduire que les valeurs propres deBsont positives ou nulles. On noteλ1< λ2<···< λpses valeurs propres avecλ1>0.

Alg`ebre55

quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] 2 ALGEBRE` - Major-Prépa

Exercice 2.1.

SoitA∈ Mn(C) admettantnvaleurs propres.

1. Montrer que la famille (In,A,...,An-1) est libre.

2. On noteC={M∈ Mn(C)/AM=MA}. Montrer queCest un sous-espace

3. Montrer l'existence d'une matricePdeMn(C) inversible et d'une matrice

A=P∆P-1.

4. SoitM∈ C. Montrer que tout vecteur colonne propre deAest un vecteur

En d´eduire queCest de dimension6n.

5. Montrer que (In,A,...,An-1) est une base deC.

6. SoitA=(1 2

2(C). On noteR={M∈ M2(C)/M2=A}.

Solution :

1. Supposons la famille (I,A,...,An-1) li´ee : il existe alors des complexes

0,a1,...,an-1non tous nuls tels quen-1∑

48ESCP-Europe 2012 - Oral

Le polynˆomeP(X) =n-1∑

Pour toutk∈[[1,n]], on aAiXk=λikXket :

0 =P(A)Xk=n-1∑

2. On montre facilement queCposs`ede une structure deC- espace vectoriel.

3. La matriceAest d'ordrenet admetnvaleurs propres distinctes : elle est

4. SoitMtelle queAM=MAetXun vecteur-colonne propre deAassoci´e

5. AinsiCest de dimensionnet la famille libre (I,A,...,An-1) est une base

6. La matrice triangulaireAadmet deux valeurs propres r´eelles 1 et-1 : elle

Mest donc de la formeαI+βA.

α∈ {1-i

Alg`ebre49

λ=±1 etµ=±i.

On peut prendreP=(1-1

1=(1-1

2=(1-1

Exercice 2.2.

1. On suppose quefest diagonalisable.

2. On suppose que Kerf= Kerf2.

Solution :

1. a) Il n'est mˆeme pas n´ecessaire quefsoit diagonalisable : si Kerf={0},

50ESCP-Europe 2012 - Oral

Kerf= Kerf2.

2. a) Siµest une valeur propre def, alors il existe un vecteurxdeEnon

Soit alorsx∈Ker(f2-λI).

1-µ2(f(x) +µix)∈Ker(f-µiI)

Ker(f-λx) = Ker(f-µ1I)⊕Ker(f-µ2I)

0. Commef2est diagonalisable, on a :

Comme Kerf2= Kerf, on obtient :

Alg`ebre51

Exercice 2.3.

1le sous-espace vectoriel deEconstitu´e des fonctions 1-p´eriodiques,T

1. a) Justifier queTest un endomorphisme deE.

2. a) Montrer quef∈Ker(T)⇐⇒[f∈E1et∫

L'applicationTest-elle injective?

Solution :

1. a) La lin´earit´e deTr´esulte de la lin´earit´e de l'int´egration sur tout

52ESCP-Europe 2012 - Oral

F(x) =F(0) =∫

2. a) D'apr`es la question 1.d),F=T(f) = 0 si et seulement siFconstante et

Exercice 2.4.

1. On d´efinit une forme quadratiqueQsurR3en posant, pour tout vecteur

Q(u) = 3x2+ 2y2+ 3z2-2xz

Esi et seulement si elle v´erifief(E)⊆ E.

Alg`ebre53

2. a) Montrer qu'un vecteuru∈R3appartient `aEsi et seulement si ses

4(x′)2+ 2(y′)2+ 2(z′)2= 1 (1)

3. Soitfune isom´etrie deR3.

On admet la r´eciproque.

Solution :

1. a) et b) On a :S=

S-λI=

0 2-λ0

0 2-λ0

02-λ0

P=

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2. a) SoitBla base d´efinie par la matricePpr´ec´edente.

Q(u) =tXSX=tX′tPSPX′=tX′DX′

Donc la baseBconvient.

2(y′)2+ 2(z′)2= sinθ

Doncu1est de coordonn´ees (±1/2,0,0) dansB.

Pstable, et aussiP ∩ E.

Exercice 2.5.

1. a) Montrer queBest une matrice sym´etrique r´eelle, qui v´erifie pour tout