[PDF] Les matrices

Chapitre 21 Matrices - maths-francefr

Soit A une matrice carrée de format n et soit λ un réel Pour chaque entier i et chaque entier j tels que 1⩽ i ⩽ n et 1⩽ j ⩽ n, on note a i,j le coefficient de la matrice A situé ligne i, colonne j La matrice λA est la matrice carrée de format n dont le coefficient ligne i, colonne j, où 1⩽ i ⩽ n et 1⩽ j ⩽ n, est λa i,j

Matrices, determinants

3 La matrice nulleest la matrice dont tous les coe cients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s'il n'y a pas d'ambigu t e 4 Les matrices carrees sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sontegaux Ce nombre de lignes et de colonnes s'appellel'ordre de la matrice

Les matrices

La matrice Aest dite inversible s’il existe une matrice not ee A 1telle que A A= A A 1 = I ou Iest la matrice identit e de m^eme taille que A(ce qui implique que Adoit au moins ^etre une matrice carr ee ) D es lors on a AX= B,A 1AX= A 1B,IX= A B,X= A 1B A l’aide de la calculatrice, calculer pour la matrice Aci-dessus A 1 et en d eduire

Cours 0D : matrices

La matrice C ˘ ¡ ci,j ¢ 2Mn,m(K) définie par la for-mule 8(i, j) 2[[1,n]]£[[1,m]], ci,j ˘ Xp k˘1 ai,kbk,j, est appelée produit de A et B et notée A£B, ou AB On doit également se souvenir de l’égalité suivante qui donne l’expression d’un produit de deux matrices élémentaires Rappelons que Ei,j est la matrice de Mn,p(K

Définition et opérations sur les matrices

La matrice nulle de format ,np notée O np, (tous ses coefficients sont nuls) est élément neutre c’est-à-dire M p,A, Toute matrice M np, AK admet une matrice opposée notée A telle que O np, c) Multiplication d’une matrice par un scalaire Pour tout K, le produit de la matrice par le scalaire est la matrice , 1 1 ij in jp Pp dd dd notée A

Exo7 - Cours de mathématiques

• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même

Calcul matriciel

B est une matrice colonne, D est une matrice ligne, C et E sont carrées On a par exemple, a 3 , 1 = 9, a 1 , 3 = 3, etc Exercice d’application 5 Écrire explicitement les matrices suivantes :

Cours Méthode des Éléments Finis

Le fichier matrice txt contient des valeurs numériques disposées en tableau La première commande charge les valeurs de la matrice et affecte le nom matrice au résultat par contre la seconde permet de choisir un nom pour la matrice chargée

ours d [introduction à MATLAB - High-Tech

>> eye(3) Matrice unité de taille 3x3 >> zeros(3) Matrice nulle de taille 3x3 >> ones(3) Matrice de 1 de taille 3x3 Il existe également des commandes permettant de créer des matrices contenant des variables aléatoires générées selon les lois de probabilité uniforme ou normale rand et Zrandn ainsi que des

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Les matrices

1 Approche par les systemes

Exemple 1.Resoudre le systeme suivant par la methode de substitution :8>< :2x+y+z= 6 xyz= 0

3x+ 2yz= 7

Exemple 2.Resoudre le systeme suivant par la methode de combinaison lineaire :8>< :x+ 2y+ 3z= 9

5xy+ 2z= 17

x+y+z= 4 Exemple 3.Resoudre le systeme suivant par la methode de votre choix : 8>>>< >>:x+z= 6 y+t= 3 x+y= 5 z+t= 4

Remarque.En plissant un peu les yeux et en penchant la t^ete vers la gauche, on voit une ressemblance

entre ces systemes et l'equation :ax=b...(si si !)

2 Approche par les vecteurs

Vous ^etes familier de l'utilisation des vecteurs en mathematiques mais aussi en mecanique ou

ailleurs. Ce sont des tableaux de nombres presentes sous forme de lignes ou bien de colonne, avec 2, 3

ou 4 nombres.

Exemple 4.

1)

En g eometrieplane : en ligne

!u(1;2), ou en colonne!v 3 4! 2)

En g eometriedans l'espace : en ligne

!u(1;2;3), ou en colonne!v0 B @3 4 51
C A. 3) En mecanique, un vecteur decrit la position spatiale et temporelle d'un objet : en ligne!u(x;y;z;t), ou en colonne!v0 B BB@x y z t1 C CCA. 1

3 Generalisation : les matricesUne matricenpa coecient reels est un tableau de nombres reels denlignes et depcolonnes.

A=0 B B@a

1;1a1;2::: a1;p

a

2;1::: ::: a2;p

::: ::: a i;j::: a n;1::: an;p1 C CA Chaque coecient est designe par ses \coordonnees "dans le tableau :ai;jse situe a l'intersection de la \ieme"ligne et de la \jeme"colonne.Denition

Remarque.

1) u nematrice a nligne etpcolonnes est dite de type ou de format \n;p"ou \np"; 2) u nematrice constitu eed'une seule colonne est dite \matrice colonne" ; 3) u nematrice constitu eed'une seule ligne est dite \matrice ligne" ; 4) u nematrice p ossedantnlignes etncolonnes est dite \carree d'ordren";

4 Les operations sur les matrices

SoientA=(ai;j)etB=(bi;j)toutes les deux de m^eme formatnp, alors la sommeC=A+B est la matrice de terme generalci;j=ai;j+bi;j. 0 @a

1;1::: a1;p

::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A +0 @b

1;1::: b1;p

::: b i;j::: b n;1::: bn;p1 A =0 @a

1;1+b1;1::: a1;p+b1;p

::: a i;j+bi;j::: a n;1+bn;1::: an;p+bn;p1

ALa somme

Remarque.

1) si AetBsont de m^eme format, alorsA+B=B+A; 2) on dit qu'une matrice est nulle si tous ces coecients sont nuls. La matrice nulle de formatn;p sera notee 0 n;pou plus simplement 0 ; 3) si Aest une matrice de formatn;pet 0 la matrice nulle de m^eme format, alorsA+ 0 =A; 4)

si Aest une matrice, on noteAla matrice telle queA+ (A) = 0 ;SoitAune matrice etun reel quelconque, alors:Aest la matrice de terme general:ai;j:

0 @a

1;1::: a1;p

::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A =0 @:a

1;1::: :a1;p

::: :a i;j::: :a n;1::: :an;p1

ALa multiplication par un scalaire

Remarque.

1) a insiA= (1):A; 2)

si 2R,AetBdes matrices de m^eme format, alors:(A+B) =:A+:B;SoientAune matricenpetBune matricepq, alors on peut eectuer le produitC=AB

qui est la matrice de formatnqde terme general : c 0 @b

1;1::: b1;q

::: b i;j::: b p;1::: bp;q1 A 0 @a

1;1::: a1;p

::: a i;j::: a n;1::: an;p1 A0 @c

1;1::: c1;q

::: c i;j::: c n;1::: cn;q1

ALa multiplication entre matrices

Remarque.

1) On ne peut pas multiplier n'importe quelles matrices les unes avec les autres : on peut se souvenir de la sorte de relation de Chasles sur les formats suivante :n;pp;q=n;q; 2) En g eneralAB6=BA: la multiplication n'est pas commutative ; 3)

O na A0 = 0 (avec les formats adequats)

4)

S iAest carree d'ordren, on noteIn=0

B

B@1 0:::0

0 1:::0

:::0 1:::

0 0:::11

C

CAla matrice dont tous les coecients

de la diagonale valent 1 et les autres 0, alorsInA=AIn=A.Inest l'element neutre de la multiplication. 5) Il n'existe pas de division c hezles matrice s,on ne p eutdonc en aucun cas ecrire AB

Remarque.

Un systeme denequations apinconnues peut toujours s'interpreter a l'aide d'un produit de matrices.

Exemple 5.

8>< :2x+y+z= 6 xyz= 0

3x+ 2yz= 7,0

@2 1 1 111
3 211 A |{z} A0 @x y z1 A |{z} X=0 @6 0 71
A |{z}

B,AX=B

L'idee est d'adapter alors ce qu'on fait pour les nombres (ax=b,x=ba sia6= 0). La matriceAest dite inversible s'il existe une matrice noteeA1telle queA1A=AA1=I ouIest la matrice identite de m^eme taille queA(ce qui implique queAdoit au moins ^etre une matrice carree...).

Des lors on aAX=B,A1AX=A1B,IX=A1B,X=A1B.A l'aide de la calculatrice, calculer pour la matriceAci-dessusA1et en deduireX=A1B.

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