[PDF] Chapitre 2 Le calcul des probabilit s - Renaud Bourles

Cardinalité

Arrangement Arrangementdep élémentsparmin avecrépétition: Nombredelistesordonnéesdep élémentsparmin,maisons’autorisedes répétitionséventuellesdeséléments

Chapitre 2 Le calcul des probabilit s - Renaud Bourles

Distribution UniformeProbabilit e de LaplaceD enombrementsLes Paris Chapitre 2 Le calcul des probabilit es Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance

Probabilités - BAC DE FRANCAIS

Une probabilité en mathématique est un chiffre compris entre 0 et 1 Ce chiffre représente une évaluation du caractère probable d’un événement Si la probabilité de se produire d’un événement est 1, alors il se produira forcément Si cette probabilité est de 0, il ne se produira jamais Prenons un exemple simple et concret :

Calculs de probabilité

, calculer son cardinal 2 Quelle est la probabilité que le joueur obtienne un carré de roi? Exercice 14 8 On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 5 boules blanches et 10 boules noires Après avoir décrit l'univers considéré, donner la probabilité de l'événement A :"le tirage ne contient aucune boule blanche"

Dénombrement et probabilités

Calculer la probabilité de C Dans le jeu de cartes, il y a 8 cœurs et 24 cartes distinctes d'un cœur card C=(8 1)×(24 4)=8× 24 420 =85008 P(C)= 85008 201376 = 759 1798 ≈0,422 e) Soit D l'événement : on extrait une main de 5 cartes contenant au moins un cœur Calculer la probabilité de D

Introduction au Calcul des Probabilit´es

des temps d’attente On ne peut pas ´etudier avec un espace Ω de cardinal fini une exp´erience al´eatoire aussi simple que : « on lance un d´e jusqu’a la premi`ere obtention d’un six » Nous nous posons donc la question de la d´efinition et de l’´etude des probabilit´es sur des univers Ω infinis Il est possible au niveau du

Chapitre 10 : Probabilités

une probabilité Comme il est facile de calculer la probabilité d'un complémentaire et d'une union (voire plus loin dans ce cours les formules correspondantes), les conditions imposées sont en fait assez naturelles Quand Ω est ni, on prendra toujours T = P(Ω) car on sait calculer des probabilités pour tous les sous-ensembles

Ch 1 Ensembles et d´enombrement I Ensembles

cardinal n preuve : clair par le principe du d´enombrement ♣ exemple : combien existe-t-il d’anagrammes de PROBA? 5 Th´eor`eme 16 Soient n objets distinguables Le nombre de permutations de r objets, pris parmi les n objets, est Ar n = n (n − r) (on dit aussi arrangement de r objets pris parmi n)

Probabilit es - ac-nancy-metzfr

Calculer le nombre de facon de choisir simultan ement p el ements dans un ensemble E revient a d enombrer les combinaisons de p el ements de E, c’est a dire les sous-ensemble de E contenant p el ements (pas d’ordre) Il y a donc Cp n = n p fa˘cons de choisir simultan ement p el ements dans E, avec Cp n = n p = n p(n p) si p 6 n: Cp n

Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019 Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 9 mai 2019

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Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Chapitre 2

Le calcul des probabilitesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Equiprobabiliteet Distribution UniformeDeux evenementsAetBsont ditsequiprobablessi

P(A) =P(B)Si il y a equiprobabilite sur

, cad si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. On parlera alors de distribution de probabilite uniformeDenition

On appelledistribution uniformesur

la fonction de distribution qui assigne la m^eme valeur a tous les evenements elementaires. Si =f!1;!2;:::;!ng, la distribution de probabilite uniforme s'ecritp(!) =1n ,8!2

Remarque :On a bien alorsX

!2 p(!) =n:1n = 1Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilitede LaplaceSi la distribution de probabilites sur est uniforme, la probabilite d'un evenementEest deni par

P(E) =card(E)card(

ou card(E) represente le cardinal deEc'est a dire le nombre d'evenements elementaires contenus dansE

Remarque :On a bienP(

) = 1P(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=; (car alors card(A\B)=0)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Exemple

On lance deux des et on fait la somme des resultats. Soit E="le total est 7". Quelle est la probabilite deE?Si on choisit comme evt elementaires la somme : =f2;3;:::;12g, la distribution n'est pas uniforme

(une seule maniere d'obtenir 2, plusieurs d'obtenir 7)Prenons comme univers les couples de resultats :

=f(i;j);1i6;1j6g

Alors la distrib est uniforme et card(

) = 6

2= 36 (arbre)

E=f(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)g

)card(E) = 6 etP(E) =636 =16 Probleme : Comment calculer les cardinaux dans des problemes plus compliques (loto foot, tierce, jeux de carte)? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

DenombrementsOn considere une experience

a plusieurs etapes telle que le nb d'issuesma l'etapenne depend pas du

resultat des etapes precedentesle nb d'issuesmpeut dierer selon les etapeson cherche le nb de manieres dont l'exp peut se derouler

Soit une t^ache qui se deroule enretapes. Siil y an1facons de realiser la premiere etape,pour chaque des cesn1facons, on an2possibilites... et ainsi de suite jusqu'anr

Alorsle nombre total de facons dont cette tache peut se

derouler est donne par le produitN=n1:n2:n3:::nrRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Listes

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-liste deEest une collectionordonneedepelements deE:x1;x2;:::;xp;xi2E

8iRemarques

on tient compte de l'ordre un m^eme element peut revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage avec remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, avec remise apres chaque tirage. Le resultat est une 3-liste def1;2;:::;10g

Autres exemples :une grille de loto-foot est une 16-liste def1;N;2gun code PIN a 4 chires est une 4-liste def1;2;:::;9gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.1

Il existenpp-listes de E (oun= card(E))(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecn1=n2=:::=np)

Exemplesil y a 10

3= 10:000 tirages (de 10 boules avec remise)

possibles (cf. arbre)il y a 3

16= 43:046:721 grilles de loto foot possiblesil y a 9

4= 6:561 codes PIN a 4 chires possiblesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Arrangements

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unp-arrangement deE

est une collectionordonneedepelementsdistinctsdeE (pn):x1;x2;:::;xp;xi2E xi6=xjsii6=jRemarques on tient compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage sans remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, sans remettre les boules tirees. Le resultat est une 3-arrangement de f1;2;:::;10g Autres exemples :Le tierce gagnant dans une course a 18

chevaux est un 3-arrangement def1;2;:::;18gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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Theoreme 2.2

Il existeApn=n!(np)!p-arrangements de E(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecni+1=ni1 )ni=ni+ 1)Denition Soitkun entier positif. La factorielle dek(ou factoriellek), notek! est deni park!k(k1)(k2):::1 =kY i=1i.Par convention 0! = 1

Exemples :1! = 1 ; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3x2x1 = 6

Propriete :p:(p1)! =p!Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ainsi,

A

pn=n!(np)!=n(n1):::(np+1)(np)!(np)!=n(n1):::(np+ 1)Cas particulier:sip=n(classement complet dans l'ordre),

A pn=n! et on parle depermutationdeE(une permutation est donc unn-arrangement) ExemplesIl y aA310= 10x9x8 = 720 tirages (de 10 boules sans remise) possibles (cf. arbre)Il y aA318= 18x17x16 = 4896 tierces dans l'ordre possibles Application :Si equiprobabiliteproba de toucher le tierce dans l'ordre= 14896
= 0;02%proba de toucher le tierce dans le desordre= 54896
= 0;10% ((acb);(bac);(bca);(cab);(cba)) Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Combinaisons

Denition

SoitEun ensemble denelements. Unep-combinaison est une collectionnon ordonneedepelementsdistinctsdeE (pn)Remarques on ne tient pas compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage du loto. C'est une 6-combinaison de f1;2;:::;49g Autres exemples :Un tierce, dans le desordre, d'une course a 18 chevaux est une 3-combinaison def1;2;:::;18gune "main"au poker (tirage de 5 cartes) est une

5-combinaison de l'ensemble des 32 cartes

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Theoreme 2.3

Il existeCpn=n!(np)!p!p-combinaisons de ERemarque

C pnest aussi appele "coecient binomial"et est parfois note n pC pn=Apnp!="arrangements de p elements""permutation des p elements" (Cnn= 1)

Exemples:il y aC649=49!43!6!

= 13:983:816 tirages possibles du lotoil y aC318=18!15!3! =18x17x163x2x1= 816 tierces possibles dans le desordreil y aC532= 201:376 mains possibles dans un jeu de 32 cartes Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Proprietes des combinaisonsPropriete 1 (symetrie)

C pn=CnpnInterpretation C pn=nb de facons d'extrairepelmts d'un ens denelmtsC npn=nb de facons de laisserpelmts dans ens denelmtsPropriete 2 (Triangle de Pascal) C p1 n1+Cp n1=CpnExemple C

649tirages possibles du LotoC

648tirages possibles ne contenant pas la boule 1C

548tirages possibles contenant la boule 1

)necessairementC548+C648=C649Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Ensemble des parties:P(E)Denition

SoitEun ensemble denelements. L'ensemble des parties de

E est alors deni parP(E) =fA=AEgExemples

E=;, cardE= 0,P(E) =f;g, cardP(E) = 1E=fag, cardE= 1,P(E) =f;;fagg, cardP(E) = 2E=fa;bg, cardE= 2,P(E) =f;;fag;fbg;fa;bgg,

cardP(E) = 4 = 22Theoreme 2.4 cardP(E) = 2n= 2cardE"Demonstration"P(E) =C0n+C1n+C2n+:::+Cnn

+ Bin^ome de Newton: (a+b)n=Conanb0+:::+Cknankbk+:::+Cnna0bnRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Permutations d'objets partiellement indiscernables

Soitnobjets que l'on decompose enpgroupes:

n=n1+n2+:::+np. A l'interieur de chaque groupes les objets sont indiscernables.

Le nombre de permutations de ces objets est

n!n

1!n2!:::np!

ExemplesDe combien de facon peut-on aligner 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues?

10!5!3!2!

= 2520Combien de "mots"de 6 lettres peut-on former avec les lettre S, R, R, E, E, E?

6!3!2!1!

= 60Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilites Subjectives : Les ParisProbl^eme :Les distributions de probabilites ne sont pas toujours uniformes et on ne peut pas toujours denir des probabilites objectives! ExemplesProbabilite que le TeFeCe batte l'OM ou qu'un actif soit en hausse. On peut toutefois conna^tre les probabilites subjectives que chaque individu attache a ces evenements a l'aide des paris! Si je suis pr^et a payer 2 euros si Toulouse gagne pour recevoir

1 euro quand Marseille gagne, cela signie que je pense que la

probabilite que Marseille gagne est 2=3Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris

Plus generalement,

paris arcontre 1 que l'evenementEse realise. ,Earfois + de chance de survenir que de ne pas survenir, cadP(E) =rP(E)

)P(E) =rr+1(carP(E) +P(E) = 1)Cas general d'une c^ote arcontres:P(E) =r=sr=s+1=rr+sSi on connait la probaP(E) =p, on ar=s=p1pRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance

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